II. ifi

SURFACES nEVKLOPPABI.ES.

o76. Dans l'épure (jiie nous présentons, afin de donner une certaine symétrie à la figure et de simplifier les constructions, nous avons supposé que le plan de A coupait les plans verticaux passant par les axes de la projection horizontale de cette conique, suivant des droites ayant l'inclinaison des génératrices : les points de A situés dans ces plans verticaux sont alors évidemment des sommets de la développable.

D'après l'Iiyp^thèse admise, nous avons

d'ailleurs, nous pouvons supposer que l'on a choisi le sens des ordonnées positives de manière que m et 71 soient de même signe. Les équations (i/j) et (17) deviennent

(i/| l>is) tangç; = rp -,

{i-^ bis) a'\ = a{a±h], h\^h{h±a).

577. La projection horizontale de la directrice donnée est l'ellipse I/I,?, {fig. 286) ; on détermine les axes des projections horizontales des autres coniques parles constructions faciles qu'indiquent les équations (17 his) : nous n'avons pas conservé ces constructions sur la figure. La projection de la seconde ligne double A" est l'ellipse B,DAB A, ; celle de la troisième A , l'hyperbole JABB, A,/î|.

Les coefficients m et /; étant égaux, la trace horizontale du plan de A est la droite P|OP, qui fait avec l'axe des abscisses un angle de — 4">" : l'intersection des plans des directrices A" et A'" se projette, par conséquent, sur la perpendiculaire D,OD (art. 575). Les projections AA, et BB, des deux autres arêtes du trièdre formé par les plans des lignes doubles sont construites par les relations qu'indiquent les équations (i4 bis). Les droites AA,, BB, et DD,, prises deux à deux, forment des systèmes de droites diamétrales conjuguées des courbes.

En déterminant avec soin les extrémités A, A,, D et D, des diamètres conjugués de l'hyperbole A'", on trouve qu'ils sont en projection sur l'ellipse A"; de même les extrémités B etB, du diamètre BB, conjugué deDD, pour la directrice A" sont, en projection, sur l'hyperbole A". On peut vérifier à l'aide des formules de l'article 576 ces diverses coïncidences; elles résultent de symétries introduites dans la surface par les hypothèses de cet article. D'après cela, les projections horizontalcs des diamètres conjugués des directrices, dirigés sur les arêtes du trièdre formé par les plans de ces courbes, sont (X, etGGj pour l'ellipse A, DD, etBB, pour l'ellipse A", AA, et DD, pour l'hyperbole A".

Les points D el D,, étant sur l'intersection des plans de A' et de A', sont dans

CHAPlTliE ni. — SLRIACES D'iiGALE PEME. 123

l'espace, comme en projection, les extrémités d'un diamètre de l'ellipse A' et d'un diamètre non transverse de l'iiyperbole A"'.

Les traces horizontales des plans de A' et de A" sont les droites P", P " et P" P'" respectivement perpendiculaires à A, A et à B|B.

578. Nous prenons trois plans verticaux auxiliaires respectivement perpendiculaires aux plans des trois coniques : leurs lignes de terre sont P,a:, P", a;" et V[x"'. Nous établissons la trace P,K du plan de A sur le premier plan auxiliaire : l'angle KP, x est une des données du problème ( ' ) ; nous obtenons ensuite la trace de cbacun des plans de A" et de A" sur le plan vertical qui lui est perpendiculaire, en cliercliant la projection d'un point pris sur son intersection avec le plan de A (art. 59j. Ainsi la trace P", K" du plan de A" passe par la projection T., du point (G, r, ) de la droite (013, P, K . et la trace P™ K" du plan de A" passe par la projection -j du point (-, r:,) de la droite (OA, PiK).

Il faut maintenant établir les projections des arêtes du trièdre formé par les plans des directrices et de ces courbes elles-mêmes sur le plan vertical de l'épure, qui est celui des grands axes des ellipses II, etADA, : cette construction est un simple changement de plan de projection fart. o9). Nous déterminons le point G' qui correspond à (G, Fo), nous traçons O'G' et nous relevons les ])oints B, B, et G, en B', B', el G',. Nous plaçons ensuite la nouvelle projection -'du point (:t,-,\ nous traçons 0'-', et nous relevons les points A, G, G, et A, en A', C', C\ et A', . Nous établissons d'une manière analogue la droite O'D', projection de l'arête (OD, P", K"), en opérant sur un point de cette ligne, et nous relevons les points D et D, en D' et U', . On pourrait obtenir par la même construction des points appartenant aux courbes, mais il vaut mieux remarquer que nous avons des couples de diamètres conjugués : (7C'i et G'G', pour la projection de A, D'D', el B'B', pour la projection de A", et enfin A' A', et D'D', pour la projection de A'". A l'aide de ces diamètres, on détermine facilement la projection verticale de chaque ligne double.

Deux génératrices de la surface sont parallèles à chaque génératrice du cône directeur; il y a donc quatre génératrices parallèles au plan vertical; elles forment sur ce plan le contour a|)parent de la développable (art. 545). Les projections verticales des lignes doubles sont par conséquent inscrites dans un même parallélogramme, et de là résultent entre ces coni(|ues diverses relations à l'étude desquelles nous ne nous arrêterons pas.

Les directrices A et A" percent respectivement le plan de A" aux points C, C,

(') Si, pour achever de déterminer le plan de A, on donnait, non son angle avec le plan liorizonlal, mais la tangente m de l'inclinaison de sa trace sur le plan vertical de l'épure, on construirait 1 angle KP,X, comme nous l'avons expliqué à l'article 58.

Nous n'avons pas à nous donner la pente des génératrices; elle résulte de la position du |)laii du A, conl'orniémciil aux relations que nous avons adiiiises à l'article ."iTti.

\?/\ LlVIili VI. — fSUlU-ACliS UliVLL0I'l'Al;Lli8.

et D, \), ' ; les droites (ID, C,D|, 1)C, et D,C forment donc un groupe simple : ce sont des gt'néi'iUriees tangentes à A', et leurs points de contHcly,/, , J, et J sont des sommets de la développable.

Les droites (AB, A'B'), (A,B,, A',B',), (BA,, B'A'.j et (B.A, B'.A'j sont de même des génératrices tangentes à A; elles déterminent les quatre sommets 1, l'j, (Ii> l'i )) («1» 'i ) et (/", j"). Les deux dernières sont parallèles au plan vertical, et par suite leurs projections sur ce plan forment deux des côtés du quadrilatère circonscrit dont nous venons de parier; les droites W \\ et B', A' sont donc tangentes à la projection de A'" en A', et en A', et a la projection de A" en B' et en B', ; le diamètre D',D', respectivement conjugué à A', A' et à B',B', est par conséquent parallèle à B'A', et à B, A'.

L'angle constant formé par les génératrices de la surface avec le plan horizontal est égal à l'angle que forment les droites B'A', et B',A' avec O'X', ou liD'O'X'.

S79. Sur la directrice A, quatre points e, c, e, et c, d'un groupe sont les sommets d'un parallélogramme qui a ses cotés respectivement parallèles aux diamètres conjugués B,B et A, A, traces des plans des deux autres directrices sur celui de A (art. o62). On peut, par la même considération, déterminer sur A" quatre points a, b, a, et b, qui dépendent d'un groupe, et, si ce groupe est le même que celui des points e, c, c, et c,, le rapport des abscisses Or et 0/7 sur le diamètre BOG,, intersection des plans de A et de A', sera indépendant de la position des points considérés sur A et A" (art. 516;. Mais les points i et B, sont sur une génératrice; on doit donc avoir

();• {),/ Os ()/

D'après cela, pour obtenir le point/* du parallélogramme aba,b, dont les sommets appartiennent au même grou|)e que ceux du parallélogramme cce,c,, il hullit de tracer sp parallèle a î\i,.

La construction se simplitie pour la directrice A , parce que le diamètre DD, 'est commun à A" et à A en direction et en grandeur. Les carrés désignés par/>- et 7" à l'article 51G sont égaux, mais de signe coulraire, car le diamètre DD, n'est pas Iransverse pour l'hyperbole A" . Il résulte de la (jue les points de A" et de A" <jui appartiennent à une même génératrice ont sur DD, des abscisses égales et de sens opposé. OH et OU, étant, sur le diamètre DD,, les abscisses des sommets du parallélogramme rt/ya,/>,, si l'on mène par les points H et H, des parallèles a A, A,

C) Quelques-unes des indications se rapportent seulement au |)lan horizontal, mais on peut suivre les raisonnemenis sur les deux projections. Le point J,, synuHrii|iie de J. na pu être Irauj sur la ligure.

t:iiAi'n r.i'; m. — suiiiACts de(;.vll; piiMi;. i2j

on déterminera sur à'" les puiiils />t, /<,, m, et n cjui a|)ii;irtiennent au groupe considéré.

Les points a et b, de A" (jui ont pour abscisse OH sont sur les génératrices qui passent par les points n, et m de A ', dont l'abscisse est — OH ou OH,.

Aous n'avons pas tracé les génératrices de ce groupe })ar crainte de confusion : ce sont les liuit droites

'lea,, ?icù,

(tcin, meb^,

A|f|//|, n,eia,

bc\//t,, a,c,m,.

Nous avons construit la trace horizontale de la surface; elle se compose de deux branches fermées qui se coupent aux traces s et v de A", et de deux points isolés W| et t/j, traces des arcs parasites de A. Les traces de toutes les génératrices du groupe qui a été déterminé sont indiquées par des lettres.

580. Cas où (a directrice donnée est une hyperbole. — Dans tous nos exercices nous avons choisi pour première directrice A une ellipse, parce que celle conique a une certaine analogie de forme avec les courbes que l'on rencontre le plus souvent dans les applications. Nous allons maintenant examiner sommairement les diverses dispositions que peut présenter la surface d'égale pente circonscrite à une "hyperbole.

Rappelons d'abord que tout [)lan tangent a la directrice A et faisant avec le plan horizontal le même angle que la développable touche cette surface le long de la génératrice (jui passe au point de contact. D'après cela, si la conique A est une hyperbole dont une asymptote se trouve plus inclinée que les génératrices, on pourra faire passer par celte droite deux plans ayant la pente des plans tangents de la développable, et chacun d'eux contiendra une génératrice située à l'intini. La surface a donc deux génératrices situées à l'intini, c'est-à-dire dans le |)lan de A'; elles sont tangentes à celle direclrice (art. io7), et leurs points de contact sont deux sommets de la développable.

Si la seconde asymptote de A est moins inclinée que les génératrices, la surface n'a que deux sommets sur A', et par suite elle appartient à la variété portée sous le n" 5 à l'article o2l (' ; les groupes sont formés de quatre génératrices, et les plans de A" et de A" n'existent plus : on peut vérifier que les racines de l'équalion (l'i) (art. 575) sont imaginaires quand les généralrices sont moins inclinéesque l'une des asymptotes de A, et plus inclinées que l'autre. Enfin, si l'on coupe le cône directeur par un plan parallèle à celui de A, on aura une hyperbole

(') Nous n'avons pas trouvé ceUe disposilion clans la discussion de l'article 508, parce que nous avons supposé que les plans des trois directrices concentriques étaient réels.

126 LlVllE VI. — .SUIUACES DEVEI.OPPABLKS.

dont les nsyniplotes scrunt croisées avec celles de A (art. r>02); il est en effet trèsfacile de reconnaître que, lors(|u'on coupe un cône de révolution par un plan contenant deux droites, Tune plus inclinée que les génératrices du cône, l'autre moins inclinée qu'elles, la section est une hyperbole dont les asymptotes sont croisées avec les droites.

581. Quand la seconde asymptote de l'hyperbole A est, coniuie la première, plus inclinée que les génératrices, la surface a quatre génératrices à l'infini. Ces droites, étant dans un même plan (art. 56o), se coupent en six points qui sont des points doubles étrangers à A' : chacune des coniques A" et A" a donc comme A deux points à l'infini, et par conséquent les trois coniques concentriques sont des hyperboles. Leurs six asymptotes sont les intersections mutuelles des quatre plans qui touchent la surface le long des génératrices situées à l'infini. On détermine facilement ces plans, comme nous l'avons vu à l'article précédent, quand on connaît les asymptotes d'une directrice et la pente des génératrices; ils sont tangents au cône directeur placé de manière à avoir son sommet au centre de la surface. Les droites de contact de ces plans avec le cône sont parallèles aux génératrices situées il l'infini.

L'arête de rebroussement possède deux rebroussemeuts à l'infini dans le premier des cas que nous venons d'examiner, et quatre dans le second. Les branches sont paraboliques, car la génératrice tangente est tout entière à l'infini (').

582. Quand la directrice A est une hyperbole ayant ses deux asymptotes-plus inclinées que les génératrices, la section du cône directeur par un plan parallèle à celui de A est une ellipse ou une hyperbole ayant avec A un système de diamètres conjugués parallèles. La discussion de l'article 521 montre que la surface peut être imaginaire; lorsqu'elle est réelle, elle n'a pas de génératrice à l'infini, et par conséquent elle ne possède dans le plan de A', outre cette conique, (jue deux points isolés appartenant à A. Les directrices A" et A" sont donc des ellipses. C'est à ce cas que se rapportent les surfaces représentées sur \cs/ig'. 272, 274 et 275, 28G et 287, si l'on y considère l'hyperbole comme étant la directrice donnée A.

385. Si l'on veut déterminer les conditions auxquelles doivent satisfaire deux coniques concentriques pour que la développable qui leur est circonscrite soit d'égale pente, on exprimera que le cône directeur dont l'équation en coordonnées obliques a été donnée à l'article 545 est de révolution. On trouve deux équations de condition. Nous ne nous arrêterons pas à cette question.

58i. Cas où la directrice donnée est une parabole. — Lorsque la directrice A est une parabole, la surface d'égale pente circonscrite ne possède à distance finie qu'une autre ligne double qui est également une parabole. Les équations de la

(' ) Nous avons indiqué à l'article t8i comment on peut étudier la disposition des brandies paraboliques lorsqu'il y a un rebroussement à l'infini.