CHAPITRE I. — PARAnOLOIDE

l'origine an point 0 [fig. 282), que les abscisses de la section projetée, mesnrées parallèlement à XY, sont proportionnelles aux carrés des ordonnées parallèles a la tangente ()/.

Les sections planes du paraboloïde sont ainsi des liyperljoles ou des paraboles, suivant la position du plan sécant, dans tous les cas des courbes du second ordre, et par conséquent la surface est elle-même de cet ordre.

Digression sur les faisceaux harmoniques ( ' ).

001. Nous avons parlé à l'article 59S de droites conjuguées harmoniques; nous allons montrer les relations qui existent entre ce système géométrique et la division harmonique dont nous nous sommes occupés précédemment (art. 514).

Considérons les quatre droites A, B, C et D divergeant d'un même point 0 et coupées par une sécante TT [Jig. 271): les deux triangles aOc et aO^/ donnent

d'où

On a pareillement

Donc

siiiaOf ac shirtOr/ ail

siii c «O s'md «O

sinaOc ne sine

sinaOfi^ ad sine?

siniOe bc sine

s'mbOd hd sinr/

sinrtOf . &\nl)Oc ac , hc

siiwMJ(/* s\\\bOd ad' bd

Pour attribuer des signes aux angles que forment des droites divergentes, on prend pour origine celui de leurs côtés qui est écrit le premier, et l'on considère chaque angle comme positif ou négatif, suivant que son ouverture à partir de ce côté est dirigée dans un même sens convenu ou en sens contraire. Quand doux angles ont la même origine, leur rapport est positif s'ils ont leur ouverture dirigée dans le même sens, négatif dans le cas contraire.

Il est facile de voir sur la figure que les rapports -7- - ^ "^ et ^, auront toujours

le même signe, et qu'il en est de même des autres rapports ' . , ,, , et 7— ,• d'où il ° 1 ' ' snif'Of/ b<l

résulte que les deux membres de l'équation ci-dessus sont de même signe, et que

cette équation doit être considérée comme complètement exacte et non pas comme

impliquant seulement une égalité de grandeurs absolues.

C) Ce paragraphe est emprunté presque textuellement aux articles 13, If. la et 110 du Tniiic de Gcnmètrir stipériciirc de M. Ciiasles.

l36 LIVRE VU. — SURFACES GAUCHES.

L expression ~. — n—, - — rrr-yest 10 rapport anliarmonuiiie des quatre droites A,

B, C et D. Nous voyons donc que, si par quatre points en ligne droite on mènequatre droites concourantes en un même point, le rapport anharmonique de ces quatre droites sera égal à celui des quatre points et aura le même signe.

Il suit de là que, quand deux transversales rencontrent un faisceau de quatre droites en des points a, h, c, d et a' , h', c', d', le rapport anJiarmonique des quatre premiers points est égal à celui des quatre autres et de même signe.

Ainsi l'on a

ac bc a' c' , h' c' ad ' Int a' d' ' h' d'

La transversale T'T' est quelconque. Si nous considérons une transversale T"T" parallèle à la droite B, le point b" où elle rencontre cette ligne sera à l'infini, le

rapport jjrjr, sera égal h l'unité, et nous aurons

ac . Ijc a" c"

aj ' bd a" d"

Si le rapport anharmonique est égal à l'unité négative, la division des transversales sera harmonique (art. 514), et le faisceau sera aussi harmonique . Les segments à' c" et a!' d" seront alors égaux et de signe contraire. Réciproquement, si ces segments sont égaux et de sens opposé, le rapport anharmonique des droites sera égal à — 1, et le faisceau sera harmonique : tel est le cas des quatre droites Ma, MZ), M^' et M/> de la fig. 270.

Il est facile de reconnaître que deux droites situées dans un plan sont conjuguées harmoniques des bissectrices des deux angles qu'elles comprennent.

G02. Les lignes PA et PB de la fig. 22G sont coupées par les quatre droites QP, QA, QD et QG qui divergent du point Q, et par suite on a entre les segments déterminés par ces droites sur les premières la relation