CHAPITRE I. — l'AllADOLOIDE

celte dernière inélhode pour la tangente (0/, 0', /') au point (0, 0',). On obtient facilement le plan tangent en remarquant ([u'il contient les deux génératrices qui se croisent en (0, 0'|).

îiOi'. Nous prenons un plan (Y, Y, YZ) perpendiculaire à la ligue de terre, et nous le rabattons sur le plan borizontal : la trace YZ se place sur la droite Y'Z, faisant avec YY, l'angle connu des plans directeurs. Nous désignerons ce nouveau plan de projection par la lettre R.

Les plans tangents du paraboloïde aux points de la courbe situés à l'infini sont, comme nous l'avons vu, le plan la' parallèle à P, et le plan JF" parallèle à Q; ils ont pour traces sur le plan R les droites «A" et F"A" respectivement parallèles à YY^, et à Y'Z,, et ils projettent sur ces traces toutes les lignes qu'ils contiennent, notamment les génératrices [b], b'I') et (iJ, b'i') parallèles au plan sécant, et les asymptotes (AE, A'E'), (AF, A'F') de la section.

Si l'on transporte le plan (FH, HE') parallèlement à lui-même, la projection de la section sur le plan R aura les mêmes asymptotes ciA" et F" A", et le centre de l'byperbole se projettera toujours en A". Le lieu des centres de toutes ces sections parallèles sera donc la droite parallèle a XY dont A" est la projection, et, comme on appelle diamètre d'une surface le lieu des centres d'une série de sections parallèles, nous voyons que tous les diamètres du paraboloïde sont des droites parallèles à r intersection des plans directeurs.

Réciproquement, toute droite parallèle à l'interseclion des plans directeurs est un diamètre, car, si par sa projection A" sur le plan R on fait passer deux droites respectivement parallèles à YY, et à Y'Z,, les sections faites par les plans parallèles aux génératrices dont ces lignes sont les projections auront leurs centres projetés en A".

595. Un diamètre est un axe quand il est perpendiculaire aux plans des sections dont il contient le centre. Tous les diamètres du paraboloïde étant parallèles, cette surface a un seul axe lieu des centres des sections faites par les plans qui les coupent à angle droit. Les génératrices perpendiculaires aux diamètres, et par suite parallèles au plan R, sont projetées, l'une en 0 sur P, l'autre en 0' sur Q. Appliquant aux sections par des plans perpendiculaires à XY^ les raisonnements faits à l'article précédent pour les hyperboles contenues dans des plans parallèles, on reconnaît que le diamètre passant par le point (0, 0', 0") est l'axe de la surface. Ce point est le sommet du paraboloïde.

596. On sait que dans une hypeibole le milieu d'une corde est aussi le milieu du segment intercepté sur la même droite par les asymptotes. IMais les asymptotes des sections faites par des plans parallèles à (HF, HE') [fig. 282) sont dans deux plans perpendiculaires à R, ceux qui ont pour traces ak" et F" A"; la surface diamétrale, lieu des milieux d'une série de cordes parallèles entre elles et à un plan (HF, HE'), est donc le lieu dos milieux des segments interceptés sur les

l34 LIVRE VU. — SURFACES GAUCHIS.

niêiiies droites par les plans r/ A" et F" A", c'cst-ii-dire un plan conlenant le (lia mètre pi'ojelé en A' sur R. Il en résulte que les surfaces diamétrales du paraboloide sont des plans parallèles à Vaxe.

597. Pour déterminer le plan diamétral d'un système de cordes, on commence par cberclier la projection M, sur un plan R perpendiculaire à l'axe, de l'un des points du paraboloide oii le plan tangent est parallèle à ces lignes [fig. 270). Il suffît pour cela de faire passer par une génératrice quelconque un plan parallèle à la direction donnée et de chercher son point de contact (art. 592). Dans ce plan sont deux génératrices et une tangente parallèle aux cordes; on trace leurs projections Mrt, Wh et M/; : la droite M<7, qui partage en parties égales les segments parallèles à RI/7, tels que gh, est la trace du plan cherché, qui est d'ailleurs perpendiculaire au plan de projection R.

598. Les droites M/; et M^r forment un système de diamètres conjugués des hyperboles qui ont pour asymptotes Ma et IM 6, et par suite du système de ces droites. Il est du reste facile de voir sur la figure même, et sans la considération des livperboles, que le point/est le milieu du segment ih parallèle à ]\I(/, comme le point e est le milieu du segment ijA, parallèle à }i\p.

Ces propriétés sont réciproques entre les projections Ma et MZ» des génératrices d'une part et les droites M/>et \\q de l'autre; ainsi la droite Mi divise en parties égales les segments, tels que qp, parallèles à Ma.

Les quatre droites Ma, Mi et M/^, "Wq forment un système de conjuguées harmoniques.

599. Les sections planes des surfaces gauches ont des branches infinies de deux genres généralement très-distincts: les unes sont déterminées par une génératrice parallèle au plan sécant, les autres par une génératrice à l'infini. Dans le paraboloide, chacun des deux points d'une section plane situés à l'infini est sur la génératrice à l'infini d'un système et sur la génératrice de l'autre système qui est parallèle au plan. Chaque branche réunit ainsi les caractères des deux genres.

GOO. Nous avons démontré a l'article 593 que la section plane du paraboloide est une hyperbole lorsqu'il existe, à distance finie, une génératrice du système P parallèle à la trace horizontale HF du plan sécant {fig. 282) et une génératrice du système Q parallèle à la trace HE', c'est-à-dire toutes les fois que ces deux traces ne sont pas parallèles à l'intersection XY des deux plans directeurs (art. 591). Lorsque le plan sécant sera parallèle à XY et par suite à l'axe de la surface, la génératrice qui se trouvera lui être parallèle dans l'un des systèmes, tel que P, sera précisément celle qui est à l'infini. La courbe n'aura donc qu'une branche infinie. Le plan contenant la génératrice et parallèle à P sera tout entier à l'infini; l'asymptote de l'intersection se trouvera avec lui à l'infini, et cette courbe sera une parabole.

Quand on examine directement cette question, on trouve facilement, en plaçant