PD . GD PÂ • G A

Les droites PQ, GQ, DQ et AQ forment donc un niisccau li;ii'inoni(iue, et une droite quelconque telle que PM est divisée harmoniquement par ces lignes; par conséquent, si la droite QG est peu éloignée de la bissectrice de l'angle DQA, la droite PQ sera rapprocliée de la bissectrice de l'angle supplémentaire, ce qui justitir l'observation que nous avons présentée à l'article 421.

Représcntiitiuii du pavahohude. Plans principaux. Paraboles pvinvipalcs .

605. (Considérons un paraboloide donné comme précédemment par ses traces GK et KF sur deux plans coordonnés P et Q respectivement parallèles aux deux plans directeurs ^ fig. 28(S), par l'angle de ces plans et par les projections 0 et 0' du sommet : nous déterminons la projection 0" de ce point, sur un troisième plan R, perpendiculaire aux deux autres et rabattu sur P, et nous allons représenter par un certain nombre de génératrices la partie de la surface qui est projetée sur le losange A"B"C"D" dont le centre est en 0", qui est appuyé sur la ligne de terre YY, et dont les côtés A"B" et A"D" comprennent un angle égal à celui des plans directeurs.

Nous divisons les côtés du losange en un même nombre de parties égales, et, joignant par des droites les points correspondants des côtés opposés, nous obtenons deux séries de lignes qui sont respectivement parallèles aux traces YY, et YZ, des plans P et Q, et qui représentent les unes des génératrices du système P, les autres des génératrices du système Q.

Il est facile d'avoir sur les plans P et Q les projections des lignes considérées. On peut opérer comme il suit : mener par les points de division de A"B" des parallèles à XY qui seront sur le plan P les projections des génératrices indéfinies du système Q; projeter sur XY les points de rencontre de ces droites avec AB et joindre ces projections au point 0' par des droites qui seront les secondes projections des génératrices du système Q; des points de division de A"D" ramenés sur YZ tracer des parallèles à XY et ne conserver de ces lignes que les segments compris entre les droites indéfinies A'O' et B'O'; entin ramener les points de division des lignes A'D' et C'B' sur AD et C13, et joindre les points correspondants par des droites qui passeront nécessairement par 0.

Pour faire comprendre la disposition de la surface dans l'espace, nous avons supposé que l'une de ses faces était blanche et l'autre noire.

604-. Xous prenons un nouveau plan de projection S perpendiculaire à R et parallèle h la diagonale A"C". Pour la facilité du langage, nous considérons R comme un plan horizontal, P cl S iunime des plans verticaux. Nous pouvons II. i8

l38 LIVRK VU. — SUIUACES GAUCHES.

nppliqiior, pour construire la projection S, la méthode très-simple de l'article î>î). Les projetantes sur le plan P ne sont pas, il est vrai, perpendiculaires à ce plan, mais elles sont parallèles à R, et la distance d'une projection à la ligne de terre \\, indique bien la hauteur du point dans l'espace au-dessus du plan horizontal R.

Nous avons diminué toutes les hauteurs, sur le plan S, d'une longueur égale à AA".

Par suite des symétries que nous avons pu introduire sur les figures, les côtés du quadrilatère gauche (A"B"C"1)", ARCD) ont deux a deux une même projection sur le plan S; les points de division coïncident aussi deux à deux, et par suite les différentes génératrices des deux systèmes se superposent.

Un point m, sommet de l'un des losanges élémentaires de la figure R, a par rapport à A"C" une position symétrique d'un autre sommet m, ; les génératrices qui passent par l'un de ces points se confondent, en projection sur le plan S, avec les génératrices qui passent par l'autre; la corde mm, de l'espace est donc projetée sur un seul point m'; de là résulte qu'elle est perpendiculaire au plan A"C" et coupée par lui en deux parties égales comme sa projection mm,. D'ailleurs on peut disposer la figure de manière qu'un point quelconque donné sur la surface soit au sommet de l'un des losanges; le plan A"C" perpendiculaire à R est donc principal, c'est-à-dire qu'il partage en deux parties égales les cordes de la surface qui lui sont perpendiculaires.

(>0o. La construction des projections des génératrices sur le plan T perpendiculaire à R, et passant par la diagonale B"D" du losange, se fait de la même manière et donne lieu aux mêmes considérations. Le plan T est donc un second plan principal, et le paraboloïde a ainsi deux plans principaux rectangulaires entre eux, contenant l'axe, et parallèles aux plans bissecteurs des angles des deux plans directeurs.

Un troisième plan principal (s'il pouvait exister) couperait au moins un des premiers, et l'intersection serait un axe de la surface; mais, comme le paraboloïde n'a qu'un axe (art. 59o), le nouveau plan principal devrait contenir cette ligne. Maintenant, si l'on remarque que les sections par des plans perpendiculaires aux deux plans directeurs sont des hyperboles (art. 595), on verra que les plans déterminés par les axes de ces courbes sont seuls principaux.

tJOG. Deux génératrices qui sur le plan R se croisent en un point n de A"C" ont une même projection verticale sur S; leur plan est donc perpendiculaire à S, et le point n où il louche la surface appartient au contour apparent sur ce plan. L'enveloppe des projections des génératrices sur le plan S est donc précisément la section de la surface par le plan A"C" qui contient l'axe, c'est-à-dire une parabole (art. 600).

Le contour apparent sur le plan! est également une parabole, section de la

CHAPITHE I. — l'ARABOLOIDE. iSg

surface par le plan B"D". Quand l'angle des plans directeurs est droit, ces deux paraboles sont évidemment superposables, et le paraboloïde est isoscéle. Dans le cas général, lors(jue les plans directeurs ne sont pas irctangulaires, Xv?. parahoh s principales ont des pai-amèlies inégaux, et le paraboloïde est scalèiie.

Cônes et cylindres circonscrits. Coitrhes cV ombre.

G07. Considérons une parabole section du paraboloïde par un plan parallèle à l'axe [Jig. 277), un de ses diamètres kx, les tangentes SM et SM' issues d'un point de cette droite, et la sécante de contact MM' polaire du point S : on sait que celte droite est parallèle à la tangente en A, et que les segments SA et AP sont égaux.

Si le plan tourne autour de kx, il coupera la surface suivant des paraboles de différents paramètres, mais les polaires du point S passeront toujours par le point P, et, comme elles doivent être parallèles au plan tangent en A, elles formeront un plan qui est le plan polaire du point S.

L'intersection de la surface par le plan polaire est le lieu des points de contact des tangentes issues du point S, et par conséquent la courbe de contact du cône circonscrit qui a son sommet au point S; cette ligne est une byperbole, parce que le plan est parallèle aux génératrices qui se croisent en A.

En résun)é, la courbe de contact d'un cône circonscrit à un paraboloïde est une hyperbole située dans un plan parallèle à celui qui touche la surface au point où elle est rencontrée par le diainéue qui passe au sommet du cône. Les segments interceptés sur le diamètre entre le sommet, la surface ei le plan de la courbe de contact sont égaux.

G08. Quand le sommet S est sur le paraboloïde, le point P se confond avec lui, et la courbe de contact se compose de deux génératrices. Pour comprendre comment il peut y avoir une ligne d'ombre quand le point lumineux est sur la surface, il faut concevoir qu'elle recouvre un corps opaque, qui sera, par exemple, du coté noir [fig. 288). Un point lumineux placé en (0",0"',0"'j n'éclairera pas les points B''' et D'", tandis qu'il enverralibrement des rayons aux points A"'etG".

609. Si une sécante d'un paraboloïde se transporte parallèlement à elle-même jusqu'à devenir tangente, les deux points situés sur la surface se confondront avec le point milieu qui est dans le plan diamétral conjugué à sa direction ( art. 59G j. La courbe de contact d'un cylindre circonscrit à un paraboloïde est donc située dans le plan diamélral conjugué avec la direction des génératrices du cylindre : c'est par conséquent une parabole, car tous les plans diamétraux sont parallèles à l'axe.

On arrive au même résultiit en remar(|uant que, quand le point S s'éloigne

l4o LIVRE VII. — SURFACES GAUCHES.

indéfiniment sur la tangente MS [ftg. 277), le point M' s'éloigne aussi sur la parabole, et qu'à la limite la droite M.M' est parallèle à l'axe.

On voit (|ue la courbe d'ombre d'un paraboloïde est toujours plane.

Diverses gciiérations du paraboloïde.

610. La surface déterminée par trois directrices reclilignes A, Ji' , A" , qui sont parallèles à un plan P {/ig- 281) et dont deux quelconques ne se trouvent pas dans un même plan, est un paraboloïde, car les droites A, A' et A" appartiennent à un paraboloïde dont le plan P est directeur et qui a pour directrices deux génératrices quelconques B et B' de la surface; les droites qui rencontrent les directrices données sont donc les génératrices du second système de ce paraboloïde.

Les di'oites A, A', A" déterminent sur B et B' des segments que l'on peut considérer comme interceptés par trois plans parallèles. On a donc

Il résulte de là que, au lieu de donner un [)lan P auquel la génératrice doit rester parallèle, on peut assigner deux de ses positions A et A', et l'assujettir à se mouvoir de manière à intercepter sur les directrices B et B' des segments E"E' et F" F' proportionnels à E'E et F'F.

611. Si les droites B et B' sont projetées sur un plan quelconque [f'g- 285), en portant sur leurs projections B, et B', une suite de longueurs respectivement égales aux projections des segments EE' et FF' [fig- 281), et joignant les points de division, nous aurons les projections des génératrices parallèles au plan P, qui sont aussi celles de l'autre système, car chacun de leurs plans projetants contient deux droites de la surface (art. 392).

L'enveloppe des projections des génératrices est le contour apparent du paraboloïde ou la trace du cylindre circonscrit perpendiculaire au plan de projection, et par conséquent une parabole (art. 609). Le point de tangence de l'une des droites est la projection du point où lo plan projetant dont elle est la trace louche la surface et où les deux génératrices qu'il contient se croisent.

Nous avons ponctué la Jîg. ^85, en ne considérant les diverses droites que comme des projections de génératrices parallèles au plan P.

Quand le plan de projection est perpendiculaire au plan directeur parallèle àB et à B' [fig. 281), les projections B, et B', {fig. 283) sont parallèles, et les génératrices du système P sont projetées suivant des droites convergentes. La figure se trouve par conséquent disposée comme les projections obliques P ou Q [fig. 288), mais le point de concours n'est pas la projection du sommet.

612. Si nous prenons sur les directrices B et B' [fig. 281) deux points fixes

CEIAPITni' II. — THÉOKIE GÉNÉRALE. l/,!

quelconques h et b' , en iippelaiit x et x' les longueurs ^E" et h'Y", et k le rapport de E'E a F'F, l'équation de l'article GIO deviendra

bE' — X j b'V — x' ~ '

d'où, en désignant par ^'- le hinùme (A x //F' — b]i') qui est constant, ainsi que A-, lorsque l'on suppose que la génératrice A" est seule mobile,

.r — kx' + o- z= o.

Cette équation détermine les positions successives de la génératrice, et, toutes les fois qu'il y aura sur deux directrices rectilignes des séries de points liées par une relation de cette forme, les droites passant par les points qui se correspondent formeront un paraboloïde, car il sullit de déplacer l'origine b de la longueur i,'pour que les segments mesurés sur les deux directrices soient proportionnels.

Un second paraboloïde qui aurait les mêmes directrices B et B' serait déterminé par une équation analogue du premier degré

Il y aura toujours un système de valeurs de x et de x' qui satisferont à ces équations, et, par conséquent, deux paraboloùles qui ont deux directrices rectilignes communes se coupent suivant une génératrice, de sorte que leur intersection se compose de trois droites. On doit de plus considérer comme appartenant aux deux surfaces la droite qui passe par les points situés à l'intini sur les directrices.