CHAPITRE II

TUKOIUE GÉKÉRALE DES IsURFACES GAUCHES.

Raccordement des surfaces gauches. ParahoUndes de raccordement. Paraboloïdes normaux.

G15. On dit que deux surfaces se raccordent le long d'une courbe commune lorsqu'elles ont les mêmes plans tangents en tous les points de cette ligne. Une surface qui se raccorde avec une autre peut être considérée comme lui étant inscrite ou circonscrite.

l/p LIVRE VI. — SURFACES GAUCHES.

Deux surfaces gauc/ies qui ont les mêmes plans tangents en trois points m, n et p d'une génératrice commune G se raccordent le long de cette droite.

Si nous coupons les surfaces par Irois plans passant respectivement par les points m, n et p [Jig- 278), nous aurons trois couples de courbes tangentes A et A', B et B', C et C que nous pourrons considérer comme des directrices. Si la génératrice se meut en glissant sur les courbes A, B et C de la première surface, elle s'éloignera progressivement des lignes A', B' et C; mais, dans sa position infiniment voisine de G, on devra la considérer comme les rencontrant encore, parce qu'elles sont respectivement tangentes aux premières. Les deux surfaces ont donc deux génératrices consécutives communes, et leurs sections par un plan quelconque ayant en commun deux points situés sur ces droites ont la même tangente, ce qui démontre la proposition énoncée.

(H i. Deux surfaces gauches se raccordent le long d'une génératrice commune G lonqu' elles ont les mêmes plans tangents en deux points m et n de cette ligne, et que leurs cônes directeurs C et G ont des plans tangents parallèles le long des génératrices correspondantes g et g .

On peut considérer les surfaces comme déterminées par des couples de directrices A et B pour l'une, A' et B' pour l'autre, respectivement tangentes aux points m ei n {ftg. 28g), et par des cônes directeurs tangents le long d'une droite g, parallèle à G. Lorsque la génératrice se meut sur la première surface, en glissant sur les courbes A et B, elle s'éloigne progressivement de la seconde, mais elle lui appartient encore dans sa position infiniment voisine'de G, parce qu'elle rencontre les lignes A' et B' qui sont respectivement tangentes ;i A et à B, et qu'elle est parallèle à une génératrice du cône C qui, étant infiniment rapprochée de g, se trouve sur le second cône. Nous sommes donc conduit aux mêmes conséquences qu'à l'article précédent.

Quand les surfaces considérées ont un même cône directeur ou un même plan directeur, il suffit, pour qu'elles se raccordent le long d'une génératrice commune, qu'elles aient les mêmes plans tangents en deux points de cette droite.

61 o. Si l'on coupe une surface gauc/ie par une série de plans parallèles à un plan don /lé Q, les tangentes de toutes les sections aux points situés sur une même "énératrice formeront un paraboloïde.

La surface gauche dont trois de ces tangentes /«B, /«S et/jT (fig. 283) sont les directrices est un paraboloïde (art. 610) qui a les mêmes plans tangents que la surface aux points m, n elp, et qui par conséquent se raccorde avec elle le long de la génératrice G. Tout plan parallèle à Q coupera ce paraboloïde suivant une droite tangente i\ la section correspondante de la surface, ce qui démontre le théorème énoncé.

Le paraboloïde a en commun avec la surface la génératrice G et une autre génératrice infiniment voisine; le second plan directeur P du paraboloïde est

CHAI'lTliE II. — TIlliORIE GliMillALi:. l/|3

parallèle à ces deux droites ou au plan tangent du cône directcui' de la suil;i(e gaiiclie, le long de la génératrice parallèle à G. Le plan P est encore parallèle au plan qui passe par la génératrice G et qui est tangent au paraboloide (ou à la surface avec laquelle il se raccorde), au point de celte droite situé à l'infini (art. 51)2 j. On voit ainsi que les plans tangents du cône directeur- sont respecthement parallèles aux plans passant par les différentes génératrices de la surface gauche et tangents à l'infini.

616. Il résulte de ce qui précède (|u'H/?e suiface gatic/ie a le long d'une génératrice quelconque une infinité de paraboloïdes de raccordement. Un de leurs plans directeurs est le plan tangent du céme di lecteur le long de la génératrice parallèle ; l'autre est parallèle aux plans sécants, et par suite complètement arbitraire. On peut le prendre perpendiculaire au premier dans une infinité de positions, cl en conséquence la surface admet, le long de chaque génératrice, une infinité de paraboloïdes isoscèles de raccordement.

617. Si un plan contient une génératrice, sa courbe d'intersection avec la surface rencontrera celle droite, car elle a un point sur cbacune des autres génératrices, si rapprochées (ju'elles soient de celle qui est dans le plan. Au point de rencontre, le plan contiendra la tannente de l'intersection et la génératrice; il sera donc tangent.

La considération des paraboloïdes de raccordement conduit à un résultat analogue et montre de plus comment le point de contact se déplace quand le plan tourne autour de la génératrice (art. o92^\

En résumé, tout plan contenant une génératrice d'une surface gauche est tangent en un point; la courbe suivant laquelle il coupe la surface passe par le point de contact; s'il fait une rotation de 180° autour de la génératrice, le point de contact parcourra la longueur indéfinie de celte droite. Dans aitcnne position, le plan n'est tangent en deux points.

La courbe de contact d'un cône circonscrit avec une surface gauche est le lieu des points de tangence des plans qui passent par le sommet donné et par les difTérentes génératrices; celte courbe a par conséquent un point sur chacune de ces droites.

618. Si une surface gauche est algébrique et de l'ordre n, sa section par un plan contenant une génératrice rencontrera cette droite en (/t— i) points réels ou imaginaires; l'un d'eux est celui où le contact a lieu : il est mobile quand le plan tourne; les autres sont des points doubles de la surface, car, s'ils étaient simples, chacun d'eux serait un point de contact et le plan toucherait la surface en plus d'un point de la génératrice. On voit ainsi qu'une surface gauche de l'ordre n a sur chaque génératrice (« — 2) points doubles, ou plutôt des points multiples représentant {n — 2) points doubles.

619. Les paraboloïdes de raccordement deviennent normaux quand on les fait

114 I.IVUE VU. — SURI-ACES GAUCHES.

tourner de qo° autour de la généralricc. Une surface gauche admet donc une in/lnité de paraboloïdes normaux le long de chaque génératrice : un de leurs plans directeurs est le plan normal du cône directeur le long de la génératrice parallèle. Vautre peut être pris arbitrairement.

On peut considérer un paraboloïde normal comme engendré par une droite qui se meut de manière à rencontrer la génératrice considérée G de la surface gauche, à être parallèle ù un plan arbitraire Q et à se trouver successivement dans les différents plans passant par G et normaux a la surface. Ces plans étaient tangents avant la rotation.

Il y a une infinité de paraboloïdes normaux isoscèles.

620. Nous aurons souvent à considérer le paraboloïde normal pour lequel le plan directeur Q est perpendiculaire à la génératrice G : chaque génératrice de ce paraboloïde est l'intersection de deux plans normaux h la surface, l'un parallèle à Q, l'autre contenant G; elle est donc normale. De là ce théorème : Les normales à une sujface gauche aux différents points d'une génér-atrice forment un paraboloïde. Nous l'appellerons paraboloïde des normales; il est évidemment isoscèle.

Point central dune gcncratricc. Ligne de striction. Parawclre de distribution des plans tangents.

G21 . On appelle point central d une génératrice le pied de la commune peipendiculaire à cette droite et à la génératrice voisine, ou la limite des positions du pied de la commune perpendiculaire à la droite considérée et à une autre génératrice, lorsque celle-ci, se rapprochant de la première, rient se confondre aicc elle. Le lieu des points centraux des génératrices est la ligne de striction de la surface (').

Soient G et G' deux génératrices d'une surface gauche, AB leur plus courte distance, et Ag' une droite parallèle à G' fg. 284).

Si nous concevons que des différents points de G' on abaisse des perpendiculaires sur G, ces droites formeront un paraboloïde dont les plans directeurs seront l'un Q perpendiculaire a G, l'autre P parallèle à G et à G'. On peut prendre pour ce dernier le plan des droites G et g'.

Les diamètres du paraboloïde qui passent par les différents points a, a,, a.,, . . . de G sont les droites an, «, n,, . . ., intersections du plan P avec des plans parallèles à Q (art. 594). Toutes ces droites sont perpendiculaires à G, et celle qui passe par le point A est de plus perpendiculaire à la génératrice AB du second système, car cette ligne, par sa définition, est perpendiculaire à P. Le dia-

(' ) Les expressions c!e />oi/it central et de %/?c de striction sont de M. Cliasles; celle de />'ti;i cent ml que nous employons plus loin est de M. Bour.