CHAPITRE II. — THÉOIUE GÉNÉRALE

a la distance des points centraux A et A';

X l'abscisse AM d'un point considéré M ;

& et B' les obliquités des plans tangents des deux surfaces en M;

ïj l'angle que forme le plan central de la deuxième surface avec celui de la première;

£ l'angle du plan tangent de la deuxième surface en M avec celui de la première au même point.

Le plan de la figure est le plan central de la première surface. Nous supposons qu'un second plan perpendiculaire à la génératrice XY est rabattu sur celui-là par une rotation autour de sa trace MZ, de manière que sa partie antérieure se trouve amenée à la droite de MZ. Les lignes Mn, Mn' et Me' sont les traces, sur ce nouveau plan, des plans tangents en M et du plan central de la deuxième surface.

D'après la convention que nous avons faite à l'article 625, les paramètres k et k' sont positifs pour les surfaces auxquelles se rapporte la fig. 292, et, les abscisses étant mesurées positivement de A vers Y, l'équation (i) donne des valeurs positives pour 0 et 0' . Les angles a et -/j sont positifs, car, d'après leur définition et les dispositions de la figure, le sens dans lequel on doit les mesurer est le même que celui des angles positifs Q et Q' .

Nous avons

tang6^|,

taneô' -^

tang(5' — 5) =

k — k')x-(ik kk' + X- — ax

Ordonnant par rapport à x'- et observant que la différence (5' — ô) est égale à

(s — •/;), on a

a;-tang(£ — -/j) — x[k — k' ^-a tang(£ — >?)] -H [ak -+- X-A:'tang(£ — vj)] = o.

L'équation est du second degré; par conséquent, il existe deux points où l'angle s des surfaces a une valeur donnée. Ces points d'ailleurs peuvent se confondre ou devenir imaginaires.

Si l'angle e a une même valeur en trois points différents, l'équation doit être satisfaite quelle que soit l'abscisse x, et l'on a

rt = £, /•■ — ^■', a = o;

par conséquent, quand deux surfaces gauches se coupent sous un même angle en plus de deux points d'une génératrice commune, l'angle quelles comprennent aux

l48 LIVRE Vil. — SUIîFACliS GAUCHES.

différents points de celte droite est constant, et la génératrice a un même paramètre et un même point central, quand on la considère comme appartenant à l'une ou à l'autre de ces surfaces.

626. On peut résoudre par des constructions et des considérations géométriques très-simples les questions relatives aux angles compris entre deux surfaces gauches qui ont une génératrice commune.

A chaque point central A et A' {fig. 268) élevons à la génératrice GX, et dans un même plan, deux perpendiculaires AK, A'E' respectivement égales aux paramètres k et k' , et joignons les points E et E' a un point quelconque M de GX : les angles AEM, A'E'M sont les valeurs de S et de 0' pour le point M, et par conséquent leur diilérence EME' est (e — -/j). D'après cela, lorsque l'angle n sera connu, si l'on veut déterminer le point où les surfaces comprennent un angle d'une grandeur donnée z, on décrira sur EE' un segment capable de l'angle (a — Y}); les points cherchés seront ses intersections avec la génératrice : on en trouvera généralement deux, M et M,.

Si l'angle (e — 77) était négatif, on tracerait le segment capable de l'autre côté de la corde EE', et l'on obtiendrait deux points m et /«, tels que la direction des segments Nmel N7?2, serait celle des abscisses négatives.

Si du point N nous menons une tangente à l'un des cercles, sa longueur Ny sera moyenne proportionnelle entre les segments NE et NE'. En portant cette longueur sur NX, on aura un point P tel, que le cercle qui passerait par les points E, E' et P toucherait NX en ce dernier point. L'angle EPE' est évidemment la plus grande valeur de (s — yj). L'angle E/;E', obtenu en portant la longueur N^ sur NG', est le maximum absolu des valeurs négatives de (a — ry).

On voit d'après cela que les surfaces se couperont en deux points sous un angle donné £, si [i~ jj) est positif et plus petit que EPE', ou négatif et d'une grandeur absolue plus petite que E/»E'.

Au point N l'angle (s — ■/;) est nul, et les surfaces comprennent un angle égal à celui que font les plans centraux ou les plans tangents au point commun situé à l'infini (').

627. Quand les paramètres k et Â' sont de signe différent, on doit les porter de cotés opposés de la génératrice GX {Jîg. 2G9). La construction du reste est la même : un cercle qui passe par E et par E' détermine sur la génératrice deux points M et M, où les surfaces se coupent sous une même inclinaison. En ayant égard aux signes des angles, on trouve que la valeur de (5' — 5) est — EME' pour

{' ) Les points M et Mi où les deux surfaces se coupent sous un même angle forment sur la génératrice deux divisions du genre de celles que M. Chaslcs a appelées dUisions homogrophiques en iiwolulion [Géoiiiélrie supérieure, p. 121 et 167). P ei p sont les points doubles, et N le point central des divisions. Les points oii deux plans contenant une génératrice d'une surface gauche, et perpendiculaires l'un à l'autre, louchent cette surface (art. G24) forment également deux divisions homographiques en involution.

CllAIMÏHU H. — TIlliOIilE GÉNÉRALli. I /jq

le point M, et + E'M.E pour le point M, : ces angles sont supplémentaires et de sens contraire; par suite, leur diflérence algébrique est de i8o", mais cette diflerence est égale à celle des deux valeurs de £ en M et en M, ; les plans tangents en ces deux points ont donc une même position relative.

Quand les paramètres sont de signe contraire, quelle que soit la valeur de £, on trouve sur la génératrice deux points où les surfaces se coupent sous cet angle.

628. Lorsque deux génératrices G et G' de deux surfaces gauches A et A' ont des paramètres égaux, on peut placer ces surfaces de manière qu'elles se touchent le long des lignes G et G', confondues en une seule droite. Alors, si, A restant fixe, on fait tourner A' de 180° autour de la normale commune au point central, il y aura encore raccordement, car les plans tangents situés de part et d'autre du point central et à égales distances ont des obliquités égales et de sens opposé. Ensuite, si, considérant la surface A' dans sa première position et dans celle que nous venons de lui donner, on la fait tourner de 180° autour de la génératrice commune, les plans tangents aux divers points de cette droite accompliront une demi-révolution qui les ramènera à leurs positions premières. Les surfaces A et A' peuvent donc se raccorder le long des génératrices G et G' dans quatre positions relatives différentes.

Si A' est le paraboloïde formé par les tangentes aux sections faites dans A par des plans perpendiculaires à G, la rotation de 180° autour de la normale au point central amènera chaque génératrice tangente à une position précédemment occupée par une autre génératrice, et la rotation autour de G ne changera pas la position d'une génératrice tangente considérée comme une droite indéfinie. La surface A et le paraboloïde A' placé successivement dans ses quatre positions de raccordement ne formeront donc qu'un seul système géométrique.

Sommets et arêtes.

629. Nous appellerons sommets d'une surface gauche les points singuliers où deux génératrices consécutives G et G' se rencontrent. Le plan déterminé par ces droites est tangent tout le long de G; cependant la largeur de l'élément superficiel, qui dans ce cas est xg au point dont l'abscisse est x, devient nulle au sommet, qui est évidemment le point central, et l'on ne voit pas si le plan des génératrices est tangent en ce point à la surface.

La distance /3 de la génératrice G à la génératrice voisine G' étant nulle, le paramètre Â: est également nul d'après l'équation (2) : la formule (1) donne par suite une obliquité indéterminée pour le plan tangent au sommet et une obliquité de go° pour les plans tangents à toua les autres points de la génératrice.

l5o IlVRIi vu. — SURFACES GAUCHES.

Afin d'éclaii'cir cette question, nous allons reehercher comment se modifient les positions du plan tangent aux divers points d'une génératrice, quand le paramètre k diminue indéfiniment.

630. Supposons qu'aux difTérenls points d'une génératrice, et dans un même plan, on élève à cette droite des perpendiculaires égales aux cotangentes de l'angle 0 : en considérant ces perpendiculaires comme des ordonnées correspondantes aux abscisses mesurées sur la génératrice à partir du point central, nous obtiendrons une courbe dont l'équation sera

ocy = RÂ-,

R étant le rayon du cercle par rapport auquel la cotangente de l'angle 0 a une longueur/.

Cette ligne est une byperbole dont les asymptotes sont la génératrice et la droite qui lui est perpendiculaire au point central. Lorsque le paramètre k est petit, les branches de l'hyperbole sont rapprochées de ces droites, ce qui indique que le plan tangent accomplit presque entièrement sa demi-révolution de i8o° (art. 617) quand le point de contact parcourt une petite longueur près du point central, et qu'au delà, sur presque toute la longueur de la génératrice, les plans tangents diffèrent peu du plan tangent à l'infini. A la limite, quand le paramètre est nul, l'hyperbole se confond avec ses asymptotes, le point central est un sommet, et le plan tangent fait son évolution complète quand le point de contact y est parvenu (').

Tous les points de la seconde asymptote ont une abscisse nulle; cela indique que tous les plans contenant la génératrice qui passe au sommet doivent être considérés comme tangents en ce point, quelle que soit leur inclinaison sur le plan central. Nous verrons cependant que l'un d'eux a, en général, un contact plus intime que les autres avec la surface. Nous nous bornerons ici à examiner ce qui se passe sur les développables.

651. Sur une développable à arête de rebroussement, une génératrice rencontre la génératrice qui lui est infiniment voisine au point où elle touche l'arête. Chaque point de cette courbe est donc un sommet; nous savons que la développable y a une infinité de plans tangents, mais que le plan de rebroussement a un contact plus intime avec la surface (art. 442).

(') M. Bour a remarqué le premier que l'on devait considérer le plan tangent d'une surface gauche en un point de la génératrice qui passe à un sommet comme faisant une rotation de iSo° pendant que son point mobile de contact est au sommet [Théorie de la déformation des surfaces, art. 22).

Nous avons emprunté à M. Bour les dénominations de sommets et à'arétes, mais, ainsi qu'il le dit, nous avons le premier signalé l'importance de ces points et de ces droites dans l'étude des courbes d'ombre des surfaces gauches.