CHAPITRE II. — THÉORIE GÉNÉRALE. l5l

Le paramètre A est infiniment petit du second ordre pour les génératrices d'une développable à arête de rebroussement, car, lorsque l'angle a de deux génératrices est infiniment petit du premier ordre, leur distance/) est infiniment petite du troisième (an. 485). Lorsque, dans la question dont on s'occupe, il n'y a pas lieu de considérer des infiniment petits de différents ordres, on doit regarder le paramètre des génératrices des surfaces développables comme nul.

652. Considérons une surface gauche déterminée par trois directrices A, B etC: les génératrices qui passent par un point m de A sont les intersections de deux cônes qui ont leurs sommets en ce point, et respectivement pour directrices les courbes B et C. Ces cônes peuvent se couper suivant plusieurs génératrices ou ne pas avoir d'autre point commun que leur sommet; il en résulte qu'une directrice considérée dans toute son étendue géométrique est composée, en général, d'arcs multiples et d'arcs parasites.

Les deux cônes auxiliaires qui ont leur sommet commun en un point limite sont tangents et déterminent deux génératrices consécutives qui se coupent : un point limite est donc un sommet.

Quelquefois le nombre de génératrices qui se croisent en chaque point de la directrice diminue de deux unités, sans que cette courbe devienne parasite. Ainsi, quand les lignes B et C sont du second ordre, la directrice A peut avoir des arcs quadruples, des arcs doubles et des arcs parasites : tous les points limites sont des sommets.

653. Réciproquement, si les directrices n'ont ni inflexion ni rchroiissement, tout sommet est l'extrémité de l'arc utile d'une ligne double.

Pour le prouver, considérons la surface donnée par trois directrices A, B et C [fig. agS) dont les rayons de courbure ne sont ni nuls ni infinis, et supposons que la génératrice G rencontre en I la génératrice qui lui est infiniment voisine : les deux cônes qui ont leur sommet en ce point, et respectivement pour directrices les courbes A et B, se louchent le long de G, et .^^i l'on transporte successivement leur sommet commun à une distance infiniment petite dans deux directions opposées et d'ailleurs quelconques, le résultat de l'un de ces déplacements sera de séparer les cônes, et celui de l'autre de les faire se pénétrer suivant deux droites situées de part et d'autre de G.

Prenons arbitrairement sur une génératrice G' infiniment voisine de G un point e situé à une distance infiniment petite de 1 : les deux cônes qui ont leur sommet en e, et respectivement pour directrices A etB, se coupent suivant G' et une autre droite em" n", qui, en général, ne sera pas une génératrice de la surface, parce qu'elle ne rencontrera pas la directrice C. Mais si le sommetedes cônes se meut sur G' en restant toujours à une distance infiniment petite de I, la droite em"n" décrira une surface, et dans une certaine position elle coupera C. Soit alors E la position de e : deux génératrices passent par E, et la ligne lE est double; elle

r52 LIVRE VII. — SURFACES GAUCHES.

devient parasite au delà de I, car les cônes se sépareraient si leur sommet glissait sur elle dans celte direction.

634. Une surface gauche étant supposée éclairée par un point lumineux, le contour de son ombre sur un plan quelconque est l'enveloppe des ombres de ses génératrices (art. 455). Si deux génératrices consécutives G et G' se coupent en un point I, leurs ombres g et g' se rencontreront sur l'ombre i de I, et le point i appartiendra au contour de l'ombre portée; le sommet I sera donc un point de la ligne d'ombre propre.

Chacune des droites "• Gi g' touche la courbe d'ombre portée en un point, et par suite la courbe d'ombre propre a deux points distincts sur les génératrices G et G'; comme d'ailleurs le point de rencontre I est l'un des deux, cette courbe y est tangente à G. Nous avons par conséquent ce théorème :

Toute ligne d'omhre et de contour apparent d'une surface gauche passe par chaque sommet et y est tangente à la génératrice.

En considérant les surfaces développables comme formant une variété de surfaces gauches, on voit que leurs lignes d'ombre et de contour apparent doivent comprendre, outre un certain nombre de génératrices, l'arête de rebroussement qui est une ligne de sommets.

635. Si l'on suppose qu'un sommet s'éloigne sur la génératrice et disparaisse à l'infini, cette droite deviendra parallèle à la génératrice infiniment voisine et sera asymptote de toutes les courbes de contact des cônes et des cylindres circonscrits. Par conséquent, en appelant arêtes les génératrices qui sont respectivement parallèles à celles qui leur sont infiniment voisines, nous avons ce théorème :

Les arêtes d'une sur/ace gauche sont asymptotes de tontes les courbes d'ombre et de contour apparent.

Le point d'une arèle situé à l'infini est un sommet et par conséquent l'extiémité de l'arc utile d'une ligne double, mais cette courbe peut n'avoir que ce point à l'infini ou y être tout entière. De là deux dispositions que nous étudierons plus loin. Nous supposons toujours que les directrices n'ont ni inflexions ni rebroussements.

636. Quand une génératrice G est parallèle a la génératrice voisine G', un même plan est tangent tout le long de celte droite, et l'on ne peut déterminer la position du point central qu'en le considérant comme appartenant à la ligne de striction. Ce point peut être à une distance finie ou à l'infini : dans le premier cas, p reste un infiniment petit de premier ordre, et, comme c est nul, la formule (2) montre que k est infini; dans le second, les génératrices se rencontrent au point central; par conséquent,/) devient nul comme cr, et l'équation (2) ne donne aucune indication sur la valeur de k. Nous verrons plus loin, en étudiant diverses surfaces, comment on peut reconnaître quelle est alors la valeur du paramètre (art. 655, 663, 669, 677); nous nous bornerons, quant à présent, à remar-