B6 LIVRE VII. ~ SURFACES GAUCHES

menant ensuite par f;. un plan parallèle h R et à S; ce plan coupe la droite G' en un point fJi.' de la génératrice cherchée.

Si, au contraire, on veut connaître le point de contact d'un plan H contenant une génératrice G, après avoir construit comme précédemment une génératrice G', on cherchera son intersection p.' avec le plan donné. La génératrice du second système contenue dans le plan H passe par le point y.' et est dans un plan parallèle aux tangentes R et S; on peut donc la déterminer : le point de contact (x est son point de rencontre avec G.

Nous allons développer les constructions que nous venons d'indiquer, en disposant les données de manière à simplifier le problème.

(jio. Nous prenons le plan directeur pour plan vertical, et nous supposons la surface déterminée par deux directrices planes A et B {Jig. 297) situées dans des plans verticaux xy et x^y, que nous supposons rabattus sur le plan horizontal. Le point pour lequel on doit construire le plan tangent est donné par sa projection horizontale p..

La droite Jij. parallèle a la ligne de terre XY est la projection horizontale de la génératrice qui passe par le point considéré. Cette droite rencontre les directrices en des points dont les projections horizontales m el n font trouver les rabattements M etN; on détermine ensuite leurs projections verticales m' et n' (art. 59). La projection verticale fx' du point de la surface est sur la droite m' n'.

Le paraboloïde qui a pour directrice les tangentes Me et NF des courbes A et B aux points M et N, et pour plan directeur le plan vertical, se raccorde avec la surface le long delà génératrice (/nn, m'n'). Le plan horizontal étant perpendiculaire au plan directeur du premier système, les projections horizontales des génératrices du second système divergent d'un même point (art. 611 ); et, comme nous connaissons deux d'entre elles xy et x^y^, projections des tangentes directrices Me et NF, nous avons immédiatement le point de concours L et nous pouvons tracer la projection horizontale Lp.de la génératrice du second système qui passe par le point donné.

Le paraboloïde coupe le plan vertical suivant la droite qui passe par les traces E' et G' des tangentes directrices; la trace verticale de la génératrice Lp. est en G' sur cette ligne; il n'y a plus qu'à faire passer un plan par la droite [mn, m' n') et par le point (G, G') : sa trace verticale est la droite l'K parallèle à m'n' .

Les données peuvent être disposées d'une manière différente, mais les constructions devront toujours être établies sur les mêmes principes.

646. Si l'on demande le point de tangence d'un plan contenant une génératrice [mn, m'n') et ayant une trace verticale l'K nécessairement parallèle à m' n' , on déterminera comme précédemment la trace verticale E'C du paraboloïde de raccordement qui a pour directrices les tangentes Me et NF, et pour plan directeur le plan vertical. L'intersection G' des droites E'C' et l'K sera la trace de la