CHAPITRE M. — THÉORIE GÉNÉRALE. I^S

quer que l'asymptote de l'arête de rebroussement d'une développable est une génératrice parallèle à la génératrice voisine, et que son paramètre est nul, comme celui de toutes les autres génératrices de la surface.

Un sommet à distance finie est nécessairement le point central d'une génératrice dont le paramètre est nul (art. 650); mais un sommet à l'infini peut être distinct du point central de l'arête, qui est déterminé par la ligne de striction, et se trouve quelquefois à distance finie.

637. On ne peut considérer une ligne de striction et des paramètres sur un cylindre que quand il fait partie d'une série de surfaces réglées. S'il appartient à un système de cônes ayant une même directrice et un sommet mobile sur une droite, on devra regarder que sa ligue de striction est à l'infini et que les paramètres sont nuls. S'il dépend d'un système d'byperboloïdes de révolution ayant même centre et même axe, et dans lesquels le rayon du cercle de gorge et l'angle de la génératrice avec l'axe sont liés par une certaine loi, pour la continuité la ligne de striction aura une position déterminée à distance finie, et les paramètres seront infinis.

658. Le point où la ligne d'ombre d'une surface gauche rencontre une génératrice s'éloigne à l'infini dans trois circonstances différentes : i° lorsque le plan tangent de la surface au point situé à l'infini sur la génératrice contient le point lumineux; 2° quand la génératrice est tout entière à l'infini; 3" quand la génératrice est une arête. Les courbes d'ombre des surfaces gauches ont donc des branches infinies de trois espèces différentes.

Développable asymptote.

659. Supposons qu'on trace sur une surface gauche une courbe Q. qui ait un point sur chaque génératrice, et considérons la développable 2 circonscrite le long de cette courbe, c'est-à-dire enveloppe des plans tangents aux différents points de O. Si l'on conçoit que la courbe O se modifie de telle sorte que tous ses points glissent sur les génératrices et arrivent ensemble à l'infini, la développable 2 se trouvera tangente tout le long d'une courbe située à l'infini, c'està-dire asymptote.

La développable^ asymptote étant l'enveloppe des plans tangents à l'infini, ses génératrices sont respectivement parallèles aux génératrices du cône directeur qui est enveloppe de plans parallèles à ceux-là (art. 6I0). La développable asymptote a donc ses génératrices parallèles à celles de la surface; on dit qu'elle est directrice.

134 LIVliE VII. — SURFACES GAUCHES.

CHAriTRE m.

CONOIDE.

Propriétés générales. Retour sur le par aboi aide.

G40. Lorsqu'une surface réglée a un plan directeur, si elle est développable, deux g'énéralriccs consécutives quelconques étant dans un même plan et parallèles à un autre plan sont parallèles, et la surface est un cylindre. Par conséquent, toute surface réglée à plan directeur qui n'est pas un cylindre est gauche.

On appelle conoïde général ou simplement conoïde la surface gauche qui a un plan directeur. Le cône directeur de la surface se réduit h ce plan.

Le paraboioide ayant un plan directeur dans chacun de ses deux systèmes de génération rectiligne peut être considéré comme un conoïde de deux manières différentes.

641. Nous avons reconnu que tout plan contenant une génératrice d'une surface gauche et tangent au point de celle droite situé à l'infini est parallèle au pian tangent du cône directeur le long de la génératrice correspondante (art. (>15); il suit de là que tous les plans tangents d'un conoule aux points situés Cl r infini sont parallèles au plan directeur, et que ce plan est directeur de tous les paraholoïdes de raccordement comme de la surface elle-même. Nous voyons de plus (\uun conoïde n'a pas de développable asymptote, parce que tous les plans dont cette surface est l'enveloppe sont parallèles.

Une surface réglée et son cône directeur sont coupés suivant une même ligne par un plan situé à l'infini (art. 466); un conoide a donc une directrice rectiligne située à l'infini dans son plan directeur.

642. Les droites sur lesquelles se mesurent les plus courtes distances entre deux génératrices consécutives d'un conoïde sont des tangentes perpendiculaires aux génératrices (art. 622) et par suite au plan directeur; elles forment un cylindre circonscrit à la surface le long de la ligne de striction ; par conséquent, la ligne de striction d'un conoide est le contour apparent de celte surface par rapport à sonplan directeur, et sa projection orthogonale surce plan est l'enveloppe des projections des génératrices.

Nous ajouterons que les plans centraux de toutes les génératrices sont perpendiculaires au plan directeur, ce qui résulte d'ailleurs immédiatement des considéralions présentées à l'article 641.

645. Un paraboloïde a une ligne de striction pour chacun de ses deux systèmes de génératrices. Sur \^Jig. 288, nous avons pris un nouveau plan de projection U

CHAPlTRi; III. — CONOIDE. l55

parallèle au plan directeur Q du paraboloide, et par conséquent perpendiculaire au plan R que nous considérons comme horizontal fart. 603). La ligne de terre A^C, intersection des plans R et U, est parallèle à YZ,. L'enveloppe i'f des projections orthogonales des génératrices sur le plan U est la projection de la ligne (le striction du système Q.

La ligne de slrictiou elle-même est une parabole située dans le plan diamétral conjugué aux cordes perpendiculaires au plan Q (art. 609). Les deux génératrices ab et eh qui se croisent au sommet 0" sont horizontales : la droite ae, perpendiculaire h YZ| et limitée à ces génératrices, est donc la projection d'une corde perpendiculaire à Q, et par conséquent son point milieu /appartient au plan de la ligne de striction; mais ce plan, étant diamétral, doit être perpendiculaire au plan R (art. 596); le point/appartient donc à sa trace surR. Nous avons déterminé de la même manière un second point g de cette trace.

En relevant sur les droites iVD' et CR' les points i ety où la trace/g- coupe les génératrices A"D" et C"B", nous avons les extrémités i' elf de l'arc de la parabole représenté sur la projection U.

On obtiendrait de la même manière les projections de la ligne de striction du système P. Ces deux paraboles se croisent au sommet 0", car le plan tangenl en ce point est perpendiculaire à l'axe, et par conséquent h chacun des plans directeurs.

Il résulte de la construction même que le plan de la parabole de striction du système P fait avec le plan directeur P le même angle que le plan de la parabole de striction Q avec le plan directeur Q,d'où l'on conclut que les plans principaux sont bissecteurs des plans des paraboles de striction, et que ces paraboles sont égales.

Si le paraboloide était isoscèle, les deux projections faites sur les plans P et Q seraient orthogonales, et par suite les génératrices qui se projettent aux points 0 et 0' couperaient respectivement à angle droit les génératrices des systèmes P et Q; chacun de leurs points serait donc le point central de la génératrice sur laquelle il se trouve.

Nous voyons ainsi (jue les lignes de striction du paraboloide isoscèle sont les génératrices qui se croisent au sommet.

Plans taiii^ents et lignes d'unibrc.

644. Un conoïde étant donné par deux directrices A et B, et un plan directeur P [Jig. 294), on obtient uu paraboloide de raccordement le Jong d'une génératrice G, en prenant pour directrices les tangentes R et S, et le plan P pour plan directeur (art. 614). Pour construire le plan tangent H en un point /^ de G, il suffit de connaître la génératrice du second système qui passe à ce point. On y parvient en déterminant d'abord une génératrice G' du premier système, et