CHAPITRE m. — CONOIDE. I Sg

face (art. 045) et prendre ensuite son intersection avec le plan du la courbe.

Go2. Les sections du cylindroide cl du cylindre primitif par un plan vertical sont équivalentes, car les éléments dans lesquels on peut concevoir ces aires décomposées par des droites verticales infiniment rapprochées ne diffèrent que de quantités infiniment petites d'un ordre élevé. Il suit de là que les sections du cylindroide par des plans verticaux et parallèles sont équivalentes .

655. Sur le cylindre primitif, chaque génératrice est parallèle à la génératrice voisine; mais ces droites, étant inégalement distantes de la verticale du point 0, sont, après la déformation, inégalement inclinées ; cependant la génératrice (Gg-, G' g') et celle qui en est infiniment rapprochée sont à la même distance de cette verticale, et par suite elles restent parallèles sur le cylindroide.

La droite (G^, G' g') est donc une arête; il en de même de (Aa, A'a'). Ces génératrices forment le contour apparent de la surface sur le plan horizontal et sont asymptotes du contour apparent sur le plan vertical.

Les autres génératrices sont parallèles deux à deux de part et d'autre de chaque arête, et leurs intersections mutuelles déterminent une ligne double qui est la droite située à l'infini dans le plan directeur (art. 641). Les extrémités du segment utile de cette ligne sont sur les arêtes (art. 652).

En général, une surface a deux plans tangents en chaque point d'une ligne double; mais, dans le cas que nous examinons, deux génératrices parallèles sont telles, que le plan tangent au point de l'une situé à l'infini contient l'autre, parce qu'elles sont à la même distance du plan directeur. Il en résulte que la ligne double située à l'infini est une ligne de contact.

On peut rendre cette circonstance sensible en coupant le cylindroide par un plan oblique sur le plan directeur et parallèle à deux génératrices qui seront, par exemple, /'F' et/'^F', :1a section aura deux branches infinies, et l'intersection du plan sécant par le plan vertical F/sera asymptote de ces deux branches.

La courbe de section de la surface par un plan contenant une génératrice a cette droite pour asymptote (').

Un cylindroide n'a pas de sommets à dislance finie, car si deux génératrices consécutives se coupaient, leurs homologues sur le cyliudi'e se rencontreraient au point correspondant.

654. La ligne de striction contour apparent de la surface par rapport au plan vertical (art. 642) est facilement déterminée, sur ce plan, comme enveloppe des projections des génératrices. Pour avoir sa projection horizontale, il faut chercher par un paraboloide de raccordement le point oii le plan qui projette verticalement

(<) On reconnaît facilement que le cylindroïde de la fg. 298 est une surface algébrique du quatrième ordre; chaque génératrice passe par conséquent par deux points doubles (art. 618). Ces points sont réunis l'un à l'autre à l'infini.

l6o LIVRE VU. — SURFACES GAUCHES.

chaque génératrice considérée touche la surface. On pourrait, il est vrai, rapporter sur la projection horizontale de la génératrice le point où sa projection verticale est tangente à l'enveloppe, mais la position de ce point est trop incertaine pour que l'on puisse s'en servir si l'on veut mettre un peu d'exactitude dans les tracés.

Si nous considérons la génératrice (Ee, E'e'), nous remplacerons les deux directrices courbes par leurs tangentes (EP, E'P,), [ep, e'p,). La trace du paraboloïde ainsi obtenu sur le plan vertical, qui est toujours plan directeur, sera la droite P,p,. La génératrice du deuxième système contenue dans le plan projetant de la génératrice considérée a sa trace verticale à l'intersection r' des droites P,p, et E'e'. Sa projection horizontale est déterminée par le point r et par le point de concours 0 des droites de ce système; le point /jl, où elle rencontre la ligne Ee, est la projection horizontale du point où le plan qui projette la génératrice sur le plan vertical louche le paraboloïde, et par suite le cylindroide. La ligne de striction a d'ailleurs deux branches infinies dont les arêtes sont les asymptotes; elle passe par les points (a, a'), (a, a', ) : sa projection est la courbe (J.a5.../3a£...7,y..

6o3. En général, pour déterminer le paramètre d'une génératrice d'une surface gauche, on cherche le point de contact d'un plan qui fait un angle de 45 degrés avec le plan central, et l'on détermine la vraie grandeur du segment compris entre ce point et le point central. Puis, si l'on veut avoir l'expression du paramètre, on fait la traduction analytique des constructions. Mais, dans le cas des eonoïdes, le calcul peut se faire d'une manière directe et très-simple.

Appelant a l'angle que fait avec le plan horizontal la génératrice considérée {Bh, Wb') du cylindroide, et/? l'ordonnée OH qui est la distance de la génératrice à la verticale du point 0, nous aurons

B"B' Â"Â'xOa I

tangff = -td" = tf;

ou

tansc = -I s p

en représentant par g le premier facteur du second membre, qui est constant.

La distance de deux génératrices consécutives et leur angle sont les dilTérentielles dp et d'y; le paramètre A- étant le rapport de ces grandeurs infiniment petites (art. 024), on obtient par une dilTérentiation

JCOS'T

enfin, éliminant a entre ces deux équations,

CIIAPlTUr: 111. — CONOIDE. l6l

On remarquera que le parnnièlro ne dépend pas de la forme des directrices, qu'il n'est jamais nul, et qu'il ne devient infini que quand une génératrice s'éloigne à l'infini. Sur notre cylindroïde il est toujours fini, et à cet égard les arêtes ne se distinguent des autres génératrices que parce que leur paramètre est un maximum ou un minimum.

D'après la convention faite à l'article 625, le paramètre d'une génératrice du cylindroïde représenté sur la fig. 298 est positif. Pour établir l'accord entre cette convention et la formule, il suffit de considérer les ordonnées Oa et A" A' comme positives, et la projection r/D qui est dirigée de droite a gauche comme négative, car alors la longueur g sera négative.

606. Si le cylindre primitif était un plan P, le cylindroïde serait un paraboloïde dont le second plan directeur serait le plan P, et dont le sommet se projetterait horizontalement en 0; l'équation de l'article précédent est donc applicable au paraboloïde. Elle montre que toutes les génératrices d'un même système ont des paramètres de même signe, que celle de ces droites qui passe au sommet a le plus petit paramètre, et que deux génératrices situées de part et d'autre du sommet et à des distances égales ont un même paramètre.

Condide oblique.

657. On appelle co/ïoit/e oblique le conoïde qui a une directrice rectiligne non perpendiculaire au plan directeur.

Un conoïde oblique étant déterminé par son plan directeur P et deux directrices D et C, dont la première est rectiligne, il est facile de voir que par chaque point de C passe une génératrice intersection de deux plans, l'un parallèle à P et l'autre contenant D : la directrice curviligne C ne peut donc avoir ni arc double ni arc parasite. Il suit de là qu'on peut prendre pour seconde directrice une courbe tracée sur la surface de manière à rencontrer toutes les génératrices et d'ailleurs quelconcjue. Nous choisirons pour directrice la trace de la surface sur un plan perpendiculaire au plan directeur, que nous supposerons horizontal.

658. Les directrices étant la droite ((/F, q'Y') et la courbe A'B' située dans le plan vertical (fig. 296), on obtient des génératrices en coupant ces lignes par des plans horizontaux et joignant les points de section. Quand la trace du plan sécant est, telle que l'L'J', comprise entre les tangentes horizontales P'/>' et Ç^q', on trouve deux génératrices (LI, LT) et (LJ, L'J'); mais, si le plan était au-dessus du point P' ou au-dessous de Q', il ne contiendrait pas de génératrices : le segment {pq,p'q') de la directrice rectiligne est donc seul utile, et par suite ses extrémités [p,p') et {q, q' ) sont des sommets.

Lorsqu'une génératrice se meut pour passer d'une position ii la suivante, on II. 21

l62 LIVRE VII. — SURFACES GAUCHES.

peut supposer qu'elle glisse sur la directrice rectiligne et sur la tangente à la directrice courbe, en restant d'ailleurs toujours horizontale. En général, elle s'élève ou elle s'abaisse, et par suite deux génératrices consécutives sont à des hauteurs difi'érentes et ne se rencontrent pas. Mais, la tangente au point P' étant horizontale, la génératrice passe de la position (P/?, P'/?') à la suivante par un simple mouvement de rotation autour du point [p, p'), et par suite deux génératrices consécutives se coupent en ce point. On peut faire la même observation pour le sommet [q, q').

Quand la directrice rectiligne et la tangente de la directrice courbe sont dans un même plan, la génératrice reste parallèle à elle-même dans un mouvement infiniment petit, et dans le cas contraire elle décrit un élément gauche. On voit d'après cela que la tangente de la directrice courbe A'BT au point situé sur une arête doit rencontrer la directrice rectiligne {Yq,Y'q'), ce qui exige qu'elle passe par sa trace verticale F'. Les génératrices (AM, A'M') et (BN, B'N'), qui rencontrent la courbe au point de contact des tangentes issues de F', sont donc des arêtes, et les seules arêtes que la surface puisse avoir.

G59. Si au lieu d'une directrice courbe on donnait une surface à laquelle le conoule dût être circonscrit, on obtiendrait des génératrices en faisant des sections par des plans horizontaux et menant à chacune d'elles des tangentes du point de son plan situé sur la directrice rectiligne.

En raisonnant comme précédemment, on reconnaît que les plans tangents horizontaux à la surface directrice contiennent les génératrices qui passent aux sommets et que les points de contact des plans tangents menés par la directrice rectiligne appartiennent aux arêtes.

660. Une courbe d'ombre peut avoir des branches infinies dépendant de la position du point lumineux (S, S'j [fig. 296), en outre de celles qui correspondent aux arêtes (art. 638).

Tous les plans tangents à l'infini étant parallèles au plan directeur sont horizontaux; la droite menée par le point S' parallèlement a la ligne de terre est la trace du seul plan horizontal qui contienne le point lumineux. La courbe d'ombre a donc deux branches infinies du premier genre (art. 658) ; elles correspondent aux génératrices qui ont leurs traces en F et en J'.

661 . Si les rayons de lumière sont parallèles entre eux et verticaux ou inclinés, aucun des plans d'ombre des génératrices n'est tangent à l'infini. S'ils sont horizontaux, tous les plans d'ombre touchent la surface à l'infini, et ceux des génératrices {?p, P'//), (Qy, Q'</') sont de plus tangents aux divers points de ces droites, car nous avons vu que chacune d'elles, pour passer à la position voisine sur la surface, décrivait un élément horizontal plan en tournant autour du sommet. La ligne d'ombre pour des rayons horizontaux se compose ainsi d'une courbe située à l'infini et des génératrices (P/>, Vp'), [Qq, Q.'q')- Rien ne distingue ici