CHAPITRE m. — CONOIDE. lG

verticale de la géncralrice du second système du paraboloïde est déterminée par le point u' relevé de u et par le point de concours s (art. (îll, 643); elle fait trouver le point de contact ù' . La projection verticale de la ligne de striction est N'Ô'I'...N', A'... d'^'.

666. Quand une courbe continue tracée sur une surface gauche passe à un sommet, ce point appartenant au contour apparent de la surface par rapporta un plan quelconque, la projection de la courbe y est tangente à la projection de la génératrice ou possède un rebroussement; la courbe elle-même a donc un rebroussement dans l'espace lorsqu'elle n'est pas tangente b la génératrice.

Nous avons limité le conoïde de \^fig. 299 au plan vertical N, û?qui passe au sommet inférieur. D'après ce que nous venons de dire, la trace de la surAice a un rebroussement en ce point; la tangente au rebroussement est l'intersection du plan sécant N,c?avec le plan déterminé par la génératrice (EN,, E', N'j ) et par la directrice (N,N, N', N'j. Nous avons obtenu le point /' de cette ligne en prenant pour plan horizontal de construction celui qui contient le point (L, L').

Un même plan est tangent le long de la génératrice (EN,, E', N'J depuis le point situé h l'infini jusqu'au sommet (N,, N',) qui est le point central; là le plan tangent tourne subitement jusqu'à la position déterminée par la directrice rectilictne. Au delà, le plan revient de la même manière à sa première position en achevant une rotation de 180 degrés. Si l'on parvient au point (N,, N', ) en suivant sur la surface une direction non tangente à la génératrice, la position du plan tangent se modifiera d'une manière graduelle.

Par des considérations analogues à celles que nous avons présentées à l'article 442, nous appellerons plan de rebroussement le plan qui contient les tangentes aux rebroussements des sections qui passent à un sommet (').

Un sommet est un point de rebroussement isolé. On trouve des points de même nature sur des surfaces de tout genre quand deux génératrices consécutives se coupent ou quand une génératrice curviligne se trouve avoir subitement un rebroussement.

667. Equation du conoïde. oblique circonscrit à une conique. Génération de cette surface par des coniques . — Il est facile d'obtenir une équation du conoïde, même en supposant que le cercle (Al, AT) soit remplacé par une conique située d'une manière quelconque par rapport au plan directeur. Nous nous servirons de la Jig. 296 en ne faisant aucune hypothèse sur l'angle des plans de projection qui sont le plan directeur et celui de la conique directrice.

(') L'expression de plan de i-chroiisscmenl est due à M. Boiir; mais, comme il l'indique, c'est nous qui lui avons signalé l'existence d'un plan contenant les tangentes aux rebroussements des dillérentcs sections et l'analogie qui résulte de celte circonstance entre un sommet d'une surface gauciie et un point de l'arête de rebroussement d'une dévelo|ipabl('.

l66 LIVRK VII. — SURFACES CxAUCHES.

Nous plaçons l'origine à la trace F' de la directrice rectiligne {qp, q'p'). Nous prenons pour axe des abscisses l'horizontale Y'x située dans le plan de la conique, pour axe des z la droite F':: parallèle au diamètre Q'P' qui dans la conique est conjugué aux cordes horizontales, et enfin pour axe des y la droite [Yy, Y'x), intersection du plan horizontal passant par l'origine avec le plan qui contient la directrice rectiligne et l'axe desz.

Nous pouvons représenter les directrices par les équations

a:, et z, sont les coordonnées du centre de la conique, a et c les moitiés de ses diamètres parallèles aux axes.

On obtient ])Our la projection horizontale de l'une des deux génératrices qui sont h la hauteur :; l'équation

ay/i

Si l'on regarde le radical comme affecté du double signe, cette équation représentera les deux génératrices qui sont à une hauteur quelconque z, et par suite le conoïde lui-même. En la mettant sous la forme d'un polynôme entier, on obtient

a-{y — nz)-[c- - [z - z,)-] — c-[yx, -h nz{x — x,)]- = o.

Considérons maintenant un plan contenant l'axe des abscisses; nous pouvons

le représenter par l'équation

L'équation de la projection verticale de l'intersection du conoïde par ce plan se divise en deux :

La seconde est du deuxième degré, et par conséquent tout plan passant par l'axe des abscisses coupe la surface suivant une conique. Le conoïde admet ainsi un mode de génération par des lignes du second ordre; l'ellipse directrice P'Q'et le segment utile de la directrice rectiligne appartiennent à la série de ces courbes. La première des deux équations que nous avons obtenues représente deux fois la droite T'x, qui cependant parait être étrangère à la surface. Pour expliquer ce résultat, nous remarquerons que, si le point F' se trouvait placé entre les horizontales P'/y et Q'(/', la droite f'x rencontrerait deux fois l'ellipse directrice et serait

CIlAPlTRIi III, — CONOIDE. 167

une génératrice double, intersection de deux nappes de la surface; tout plan contenant cette droite aurait un point de contact avec chaque nappe et couperait le conoïde suivant une conique qui passerait h ces points. La droite F' a? ne dépend en aucune manière de la position que la conique directrice occupe dans son plan; elle est donc encore une génératrice double quand elle ne rencontre pas cette courbe en des points réels, mais elle est alors éloignée des autres génératrices, de sorte qu'elle fournit un point isolé à toute section de la surface par un plan qui ne la contient pas et qui ne passe pas par la directrice rectiligne.

Par des motifs analogues, la verticale du point 0 est une génératrice isolée sur le cylindroïde de \^fig. 298. Cette circonstance montre pourquoi tout plan passant par cette ligne coupe suivant une conique la surface proprement dite, bien qu'elle soit du quatrième ordre (art. 650).

Une génératrice simple n'est jamais isolée, parce que son point unique de rencontre avec une directrice curviligne ne peut pas devenir imaginaire. 11 y a une grande analogie entre une génératrice isolée et les segments parasites d'une directrice (' ).

668. Nous avons représenté sur Vàjig. 299 une des sections elliptiques du conoïde; pour cela, nous avons pris un second plan vertical de projection perpendiculaire au premier, et nous y avons placé la projection N", N" de la directrice rectiligne. Tout plan perpendiculaire à ce plan vertical et dont la trace passe par le point de rencontre des droites N",N" et VX coupe la surface suivant une conique. Pour avoir la trace y",^" d'un tel plan, il suffit de diviser la ligne de terre N'jV et sa parallèle N">. en parties proportionnelles. Nous avons établi sur de petites longueurs les nouvelles projections verticales des génératrices, et, ramenant sur le plan horizontal les points de rencontre de ces droites avec '/i/', nous avons obtenu des points de la projection horizontale de l'ellipse d'intersection . Nous avons ensuite construit la projection verticale de cette courbe.

Les tangentes de l'ellipse sont horizontales aux points (ç>, y') et (ç>,, o\), où elle rencontre les génératrices supérieure et inférieure; la droite (çy,, 9'9',)est donc le diamètre conjugué aux cordes horizontales, et, comme elle est partagée en parties égales par le plan horizontal OJ', on voit que le diamètre qui lui est conjugué a pour projections ij^'x' '^^ 't'X-

Les diamètres qui sont conjugués aux cordes horizontales des sections du second ordre faites dans le conoïde forment un paraboloïde, car ils rencontrent

(') On peut démontrer très-facilement qu'un conoïde droit circonscrit à une conique A située dans un plan perpendiculaire au plan directeur, est coupé suivant une conique par tout plan parallèle à celui de A, et, en taisant une déformation homologique dans des conditions convenables, on obtient le théorème général relatif aux sections du second ordre du conoïde oblique. On peut même l'établir directement pour cette dernière surface, mais ces modes de démonstration ne font pas suffisammeiit ressortir la nature de la droite que nous avons prise pour a.\e des abscisses.

l68 LIVRE VU. — SUHFACI'S GAUCHES.

trois droites horizontales : les génératrices (EN,, E', N',), (EN, E'N') et la commune intersection des plans des coniques.

Conoide droit.

669. On appelle conoïde droit le conoide qui a une directrice rccliligne perpendiculaire à son plan directeur.

Sur la fig. 290, le plan horizontal est pris pour plan directeur, et la surface est donnée par sa trace verticale A et par le point d, projection horizontale de sa directrice rectiligne que l'on appelle quelquefois son axe.

En menant à la directrice A des tangentes verticales, on détermine les traces h' et c' des arêtes. Ces droites forment le contour apparent de la sui face par rapport au plan horizontal.

L'axe d rencontre à angle droit toutes les génératrices et est par conséquent la ligne de striction de la surface. Le point central d'une arête est donc a distance tinie; son paramètre est infini (art. 656).

670. On obtient facilement l'intersection d'une surface réglée avec un cône en faisant passer un plan auxiliaire par chaque génératrice considérée et par le sommet du cône; mais souvent les intersections des surfaces réglées entre elles et avec les surfaces de révolution ne peuvent être déterminées qu'à l'aide de sections planes auxiliaires construites par points. Toutefois, lorsqu'il s'agit de deux conoïdes ayant un même plan directeur, ou d'un conoïde et d'une surface de révolution placés de manière que l'axe de celle-ci soit perpendiculaire au plan directeur de celui-jà, en coupant les deux surfaces par des plans parallèles au plan directeur, on obtient des droites ou des cercles faciles à déterminer.

671. Conoïde de la voûte d'arêtes en tour ronde. — Pour présenter un exemple de cette construction, nous allons déterminer l'intersection d'un conoide droit avec un tore elliptique de même axe.

Nous prenons pour plan horizontal de projection celui du cercle décrit par le centre de l'ellipse méridienne [Jig. 3oi ). L'axe commun des surfaces s'y projette en un point 0. Nous traçons sur un plan méridien OX,, rabattu sur le plan horizontal, la moitié supérieure P^''Q de l'ellipse qui engendre le tore.

Le conoide a pour directrice curviligne la ligne dans laquelle se transforme l'ellipse A'V'B' lorsque l'on enroule son plan sur le cylindre vertical dont la trace horizontale est le cercle décrit par le centre de la méridienne. L'axe vertical V"V' reste droit; l'axe horizontal devient l'arc ab : il faut concevoir que cet axe est d'abord transporté sur la tangente AB, puis courbé sur le cercle, de manière que chacun de ses points décrive une développante. Les axes verticaux V'V et vv' des ellipses sont égaux.