OM

<,^ rt Od ' OMxD.T tangrM/ = ^— = — -—, — = -— — —77-7- ° M;- lir' OV X Itr

Sur les ellipses A'B' et PQ, les longueurs liorizonlales bomologues telles que D,T et R/"' sont proportionnelles aux demi-axes V"B' et t^Q. D'après cela, l'égalité que nous avons trouvée devient

O, OM ^ V"B' p tangrM/ = -^x-^=j^-

Si nous élevons en M et en 0 des droites MK et OK respectivement perpendiculaires à Ml et à OiM, la longueur OK interceptée sur la seconde de ces lignes est appelée sous-normale, et il est facile de voir, d'après l'équation précédente, que sa longueur est égale à R; par conséquent, dans la spirale (V Archiinède, la sousnormale est constante et égale au paramètre \^ ' )

Ce théorème permet de déterminer la tangente en un point quelconque de la courbe, et nous ferons remarquer que ce n'est pas seulement dans les parties parasites que la construction par les plans tangents se trouve en défaut, mais encore au point double V, où ces plans se confondent, et aux extrémités E, F, G et H, où la tangente est verticale (-].

(') 11 est facile de démontrer directement cette proposition. Soient O l'origine, M et M' deux points d'une spirale d'Arcliimède infiniment rapprochés l'un de l'autre, M/« un arc décrit du point 0 comme centre, MN et ON des droites respectivement perpendiculaires à MM' et à O.M [f!^. 3oi , n).

Le triangle MON est semblable au triangle infiniment petit M /«M', que l'on peut considérer comme

rectiligne; on a donc

Mw : ///M' :: OM:ON.

En remplaçant l'arc M/h par sa valeur OM x M'OM, on obtient