CHAPITRE m. — CONOIDE

Le plan directeur du conoide est horizontal; les deux directrices sont l'axe (0, O'I) et la séparatrice que nous savons construire, quelle que soit la forme de la méridienne. Si nous connaissons la tangente de la séparatrice au point (M, M'). nous pourrons remplacer le coiioïde par un paraboloïde de raccordement, et nous obtiendrons ensuite par une construction facile le point de contact N' d'un plan passant par la génératrice N'iM' et parallèle aux rayons, et l'ombre n de ce point,

Dans le cas actuel, la séparatrice étant un cercle perpendiculaire au plan vertical, la détermination de la tangente ne présente pas de difficulté. Sa projection verticale est L'M'G', et l'on obtient sa projection horizontale GIM en déterminant par une tangente M"G' le point G', où elle rencontre le diamètre (OG, O'G'). Pour obtenir la tangente, on peut supposer que la séparatrice tourne autour de ce diamètre jusqu'à ce qu'elle se trouve dans un plan parallèle au plan vertical; le point (M, M') se place alors en M", et la tangente cherchée estiM"G'.

La trace LO du paraboloïde rencontre en V la trace mià\i plan d'ombre de la génératrice considérée; la génératrice du second système qui est contenue dans ce plan a donc sa trace en V, et sa projection verticale passe par le point V et par le point de concours 0' des projections verticales des génératrices de ce système; la droite A'O' coupe la génératrice M'IM', du conoïde au point N', qui a pour ombre le point cherché n ( ').

La construction est applicable au cas où la surface de révolution serait éclairée par des rayons divergents.

Nouvelles observations sur les sommets et les arêtes.

677. Nous avons trouvé des arêtes sur les principales surfaces étudiées dans ce Chapitre; mais elles se sont présentées avec des circonslances différentes, que nous pouvons résumer comme il suit :

1° Cylindroïde : point central à l'infini, — paramètre fini;

2° Conoïde oblique : point central à l'infini, — paramètre infini;

3° Conoïde droit : point central à distance finie, — paramètre infini.

Un examen attentif va nous faire comprendre cette diversité.

Lorsque le point de contact d'un plan qui contient une génératrice parcourt la longueur indéfinie de cette droite, le plan tourne de 180" (art. 617) ; si la génératrice passe à un sommet, l'évolution entière se fait quand le contact est à ce point (art. 666), et il en est de même si, le sommet s'éloignant à l'infini, la génératrice devient une arête.

(') Cette construction est due à M. Dunesme (Comptes rendus i/r l'.lcailcinie des Sciences, i85-, 2" semestre).

I'j4 LIVRR VII. — SURFACES GAUCHES.

Dans la formule (i) de l'article 62*2,

tangry^-,

la lettres: représente l'abscisse du point considéré mesurée à partir du point central pris pour origine. Quand le point central est à l'infini, tous les points à distance finie ont des abscisses infinies. Alors, si le paramètre est fini, Q atteint 90° et le plan tangent le long de l'arèle est perpendiculaire au plan central. C'est en effet ce qui arrive pour le cylindroïde : le plan tangent aux différents points d'une arête de cette surface est parallèle au plan directeur, et le plan central est perpendiculaire à ce plan (art. 6i*2). Si l'on donne à tang 0 une valeur finie quelconque, on trouve une abscisse finie; l'évolution entière se fait donc à une distance finie du point central, c'est-à-dire à l'infini.

Dans le conoïde oblique, le point central d'une arête est encore à l'infini, et par suite les abscisses des points à distance finie sont infinies; mais l'angle du plan tangent le long de l'arête avec le plan central n'est pas de go°, et alors la formule exige que le paramètre soit infini. Si l'on donne à 9 diverses valeurs, on trouve toujours une abscisse infinie; ainsi, bien que l'évolution se fasse encore entièrement à l'infini, on trouve une disposition autre que la précédente. On peut rendre la différence manifeste en traçant des courbes par les points des génératrices où l'obliquité du plan langent a des valeurs déterminées. Ces lignes interceptent sur les génératrices des segments proportionnels; elles sont asymptotes des arêtes, concourent aux sommets et sont tangentes en ces points à la génératrice. Le point central d'une arête se trouvant à l'infini et son paramètre étant infini, les courbes dont nous venons de parler s'écartent de plus en plus lorsque la génératrice approche d'une arête, et cette augmentation des segments interceptés sur la génératrice n'a d'autre limite que l'infini.

Enfin, pour un conoïde droit, le point central est à distance finie, et les divers points de la génératrice ont des abscisses finies; comme d'ailleurs le paramètre est infini, 0 est constamment nul, et le plan central est tangent le long de l'arête. Mais l'angle 5 devient indéterminé pour une valeur infinie de l'abscisse, ce qui devait être, puisque l'évolution se fait à une distance infinie du point central.

Les différences que nous avons signalées pour les arêtes sont donc les conséquences de la loi exprimée par l'équation ci-dessus.

678. Nous avons vu (art. 655j que, quand les directrices n'ont ni infiexion ni rebroussement, le point d'une arête situé à l'infini est l'extrémité d'une ligne double qui peut se trouver tout entière à l'infini ou n'y avoir que ce point. La première disposition s'est seule présentée sur les surfaces que nous avons étudiées; nous allons donner un exemple de la seconde.

Considérons le conoïde général qui a pour plan directeur le plan horizontal, et

ciiAPiTRK m. — coNOior';. 175

pour directrices l'ellipse [bc, b'c') [fig. 396 ) et l'iiyperbole H située dans le plan vertical de projection et placée de manière à avoir pour l'une de ses asymptotes la projection xy d'une tangente liorizontale de l'ellipse. L'hyperbole a un arc utile et double qui s'étend du point I au point situé à l'infini sur la génératrice [ag, xy) : cette droite est évidemment une arête.

Si l'hyperbole H était remplacée par une courbe ayant les deux bras d'une branche infinie situés au-dessous de leur asymptote xy, la droite [ag, xy) serait encore une arête; mais son point à l'infini ne serait plus l'extrémité d'un arc utile, ce qui tient à ce qu'une directrice aurait une inflexion (art. 183), et que les observations que nous avons présentées à l'article 657 ne seraient plus applicables.

679. Si l'on considère les surfaces développables comme une variété des surfaces gauches, l'arête de rebroussement sera une ligne de sommets, ainsi que nous l'avons déjà remarqué (art. 65i). Chacun de ses points est en effet sur deux génératrices consécutives; la surface y a un plan de rebroussement et une infinité de plans que l'on peut considérer à certains égards comme tangents; enfin chaque ligne d'ombre complète se compose d'un certain nombre de génératrices et de l'arête de rebroussement.

Dans les développables, les extrémités des parties utiles des directrices se trouvent aux points où trois génératrices se coupent, c'est-à-dire aux points de rebroussement de l'arête, qui sont les points auxquels, pour ces surfaces, nous avons réservé le nom de sommets.

On voit que quelques propriétés des sommets des surfaces gauches appartiennent à tous les points de l'arête des développables, et d'autres seulement aux points de rebroussement de cette ligne. Nous ajouterons que la section faite dans une développable par un plan passant à un sommet a un rayon de courbure nul sans rebroussement (art. 491), disposition que l'on ne trouve pas dans les sections des surfaces gauches.

680. Quand l'une des directrices d'une surface gauche a des inflexions, la surface peut avoir des sommets étrangers aux lignes doubles, et n'ayant d'autre propriété que d'appartenir à deux génératrices consécutives et à toutes les lignes d'ombre.

Ainsi, si un coaoule oblique a i>our i»lan directeur le plan horizontal, et pour directrices la droite (B, B') et la courbe A qui a un contact du second ordre avec la ligne de terre [fig. 291), la trace b de la directrice recti ligne sera sur deux génératrices consécutives; mais celte droite n'aura ni segment double ni segment parasite.