CHAPITRE IV

IIYPERBOLOIDE.

681. On appelle hyperholoïde à une nappe la surface engendrée par une droite qui se meut en s'appuyaut sur trois directrices rectilignes. Cette surface se réduit au système de deux plans Q et Q, [fig. 210) ([uand deux directrices AB et A,B| sont dans un même plan, la troisième A-.B, étant quelconque. Si cette dernière directrice était dans le plan Q déterminé par les deux premières, le second plan Q, se confondrait avec Q.

Lorsque les trois directrices ont un point commun ii dislance finie ou infinie, toute droite passant par ce point satisfait aux conditions imposées aux génératrices, et par suite la surface n'est pas déterminée.

Nous supposerons toujours que les directrices n'ont aucune des positions relatives exceptionnelles qui viennent d'être énumérées, et alors la surface, n'étant pas un système de plans et ayant des directrices rectilignes, sera gauche (art. -461). Nous la désignerons simplement sous le nom ^hyperholoïde.

Nous supposerons encore généralement que les trois directrices ne sont pas parallèles à un même plan. Les propriétés que nous établirons sans introduire cette nouvelle hypothèse appartiennent évidemment au paraboloïde (art. 610).

682. On obtient la génératrice qui passe par un point choisi arbitrairement sur une directrice en prenant l'intersection des plans déterminés par ce point et respectivement par les deux autres directrices. On opère d'une manière analogue quand on veut avoir la génératrice qui rencontre une directrice à l'infini.

Les trois directrices étant représentées en projection par les droites A, A' et A" {fig- 3o2), en faisant passer par chacune de ces lignes deux plans respectivement parallèles aux deux autres, nous obtenons six plans distincts, parallèles deux à deux, et dont les intersections forment les arêtes d'un parallélépipède CDEF,IHGI.

L'arête JF ou B rencontre la directrice A' en un point J, parce qu'elle est dans le plan DEF mené par A' parallèlement à A; elle coupe la directrice A" en un point F, parce qu'elle est dans le plan JHG mené par A" parallèlement à A; elle a enfin un point commun avec la directrice A à l'infini, parce qu'elle est l'intersection de deux plans parallèles à cette droite : elle est donc une génératrice de la surface. Les arêtes B' et B" opposées à A' et A" sont également des génératrices f ).

Nous appelons les droites A, A', A", B, B' et B" des arêtes quand nous les considérons sur le parai-

CIIATITRE IV. — IIYPERBOI.OIDE. l'y'y

Les droites B, B' et B", prises pour directrices, déterminent un second liyperboloïde, auquel les arêtes A, A' et A" appartiennent comme génératrices. Ces deux surfaces ont ainsi six droites communes.

685. On sait qu'un parallélépipède a un centre où les diagonales se croisent en leur milieu : nous allons voir que les génératrices des deux hyperboloïdes ont de remarquables relations de symétrie par rapport au point 0, centre du parallélépipède DG.

Par un point a de A, nous menons une droite qui rencontre les directrices A' et A". Pour tracer cette ligne, nous remarquons qu'elle détermine avec A" un plan dont les traces Fa' et Grt sur les plans FJD et GIC doivent être parallèles; par conséquent, en menant du point F une parallèle à Ga, nous déterminerons sur la seconde directrice le point a' où passe la génératrice cbercbée B'".

Nous prenons les dislances Fè, 16' et Ce" respectivement égales à Ca, la' et Fa", et nous joignons par des droites les points b et b" au point b' , et les points a, a', a , b, b' et b" au centre 0, point de concours et milieu des quatre diagonales du parallélépipède, et notamment de CF et de IJ.

Les triangles COa et ¥0b sont évidemment égaux et dans un même plan; par suite, les lignes Oè et Oa sont de même grandeur et en prolongement l'une de l'autre. On trouve de même que les segments Ob' et Ob" sont respectivement égaux à Oa' et 0«" et qu'ils appartiennent aux mêmes droites. Il résulte de là que les triangles bOb' et b'Ob" sont dans un même plan et respectivement égaux à aOa' et a'Oa", et enfin que les points b, b' et b" sont sur une droite A'" parallèle à B". Cette ligne A'", rencontrant les trois directrices du second hyperboloïde, en est une génératrice.

A toute génératrice B"' de la première surface correspond ainsi sur la seconde une génératrice parallèle A'", et le plan déterminé par ces droites contient le point 0. Il suit de là qu'une droite allant de la première surlace à la seconde en passant par le point 0 est divisée à ce point en deux parties égales, et par conséquent que le système des deux hyperboloïdes a un centre qui est celui du parallélépipède.

684, Les triangles alG, FJa' sont semblables et donnent

la Ja'=IG X JF.

En remarquant que la est égal kîb, et désignant par 4 C le second membre, qui est indépendant de la position spéciale des génératrices considérées B" et A"', on obtient

ib ";< Ja'= 4C.

lélépipède. Cette expression ne peut donner lieu à aucune équivoque, car l'hyperboloïde n'a pas de génératrices qui soient des arêtes, comme nous le tléîiiontrerons (art. 689).