CHAPITRE IV. — IIYPERBOLOIDE. ijÇi

parallèle ha'b: les points a\ et />,, où elle rencontre les génératrices A'" et B'", sont les traces de ces droites sur le plan P. Nous menons par ces points des parallèles aux axes A' et B, et nous avons

l qa' , = n, m, + tà^ , i rb, = n,m, — sm,, } J,q = J, n, — (m^ , ' J, r = J, n, -4- sb, .

Les coordonnées nm et Sn du point m sont égales aux longueurs sm, et im,, et par suite on a

cc = ia',=sm,, y=:tm,=sb,.

Les équations précédentes deviennent

j qa\ = a;, -f- 37, j rb, = œ, — x,

\ h(/ =y, -y, I hr=y, +y.

Mais les longueurs qa', et J, q d'une part, rb, et J, /■ de l'autre, sont les coordonnées des points a', et b, ; les équations (4) signifient donc que tout plan parallèle à l'une des faces du parallélépipède coupe les deux liyperboloides suivant une même hyperbole, et par conséquent que les deux surfaces que nous considérons n'en forment qu'une seule, ayant deux systèmes de génératrices rectilignes et un centre 0.

688. Pour établir d'une manière complète la seconde génération rectiligne de l'hyperboloïde, nous allons montrer que tout point a', d'une génératrice B" du premier syslème ifig. 3o3) appartient à une certaine génératrice p"pp' du second.

Nous faisons passer par le point a' , un plan P parallèle à la face DEFG du parallélépipède; du point J, où la droite IJ perce ce plan, nous menons deux lignes JX et J, Y respectivement parallèles à A' et à A : elles sont les asymptotes de la section de l'hyperboloïde par le plan P. En les prenant pour axes, nous avons entre les coordonnées du pointa', la relation

J,g-Xg-«', = C, -G.

Déterminons maintenant le point k où l'ordonnée ga' , perce le plan IGFE (' j, et traçons la droite kY jusqu'à sa rencontre jo' avec B' : la génératrice du second svstème menée par le point/?' et la ligne indéfinie kg ?,q. rencontrent nécessairement, parce qu'elles sont dans le plan qui contient le point p' et la droite B; l'ordonnée du point commun doit d'ailleurs être telle, que son produit par l'abscisse J,^ soit (C, — G); cette ordonnée est donc ^rt',, et la génératrice menée par le point/j' passe précisément au point donné a',.

(') Il sufRt (le tracer la droite Wul qui est ckins le plan lEFCr, puis la droite <lk parallèle à J,X.

l8o LIVRE VII. — SURFACES GAUCHES.

689. Deux génératrices (Van même systèmene serencontrent jamais, car, si elles étaient dans un plan, les directrices seraient dans ce plan, ce qui est contraire à nos hypothèses (art. 681 ).

Il résulte de ce théorème que Vliyperholuide n'a ni sommets m arêtes.

690. Deux génératrices de systèmes différents se rencontrent toujours.

Pour prouver cette proposition, nous considérons deux génératrices aa' a" et/j'/)/>" de systèmes dilTérents [fig. 3o3), et nous les projetons sur le plan CHGI par des droites parallèles à A" : les projections «G etp'C se coupent en un point «', que nous relevons en a', sur aa'a". Les génératrices du second système rencontrant toutes la droite B", leurs projections sur le plan CHGI divergent du point G; la génératrice de ce système qui passe par le point a\ (art. 688) se projette donc sur la droite Ck',; elle coupe la droite B' en p', et par suite elle n'est autre que p'pp", ce qui démontre le théorème énoncé (').

691. Trois génératrices quelconques d'un système peuvent être prises pour directrices de Vautre système, puisqu'elles en rencontrent toutes les génératrices.

Une droite ne peut pas couper un hyperholoïde en plus de deux points, car, si elle avait trois points sur la surface, elle rencontrerait trois génératrices de l'un des systèmes; elle appartiendrait donc à l'autre système et serait tout entière sur la surface.

Celte proposition s'étend naturellement au paraboloide.

Cu"" asytnptote.

692. Par un point quelconque d'une génératrice B" du premier système {fig. 3o2 ) passe une génératrice du second, et ces deux lignes déterminent le plan tangent de la surface en ce point. La génératrice du second système qui passe par le point de B ' situé à l'infini est A"', et le plan de ces deux droites est tangent à l'inlini; nous avons vu qu'il contient le centre 0; l'enveloppe des plans passant par les différentes généraliices et tangents à l'infini, c'est-îi-dire la développahle

(') \^3.fig. 3o3 peut servir à établir que les deux liyperboloïdes que nous considérons au commencement de ce paragraphe ne forment qu'une surface.

Il suffit de prouver que par un point quelconque «', d'une génératrice aa'a" on peut faire passer une droite appuyée surB, B' et B". Pour cela, projetons a\ en a', sur «G, et traçons Cz', jusqu'à sa rencontre p' avec B'; la ùroiia ij'(i\ satisfait aux conditions: elle rencontre évidemment B", et, pour prouver qu'elle coupe B, il sufbt d'établir que les droites qui joignent les points x et - d'une part, a et p' de l'autre, sont parallèles, ce qui est facile.

Ce raisonnement est très-simple, mais il ne dispense pas de démonlier que les sections du cône directeur et de la surface par un même plan sont des coniques concentriques.

M. .1. Binet a le premier considéré dans l'hyperboloïde des parallélépipèdes formés par six plans tangents parallèles deux à ileiix [Journal il<' l'École l'ohtcchiiupir, XVI" cahier).

CHAPITRi: IV. — IlYPERBOLOIDE. l8|

asymptote de l'hyperboloïde, est donc un cône ayant son sommet au centre, et, comme cette surface est directrice ( art. 659), elle n'est autre que le cône directeur dans la position où nous l'avons considéré aux articles précédents.

En résumé, V hyperhohidc a un cône asymptote du second ordre dont le sommet est au centre de la surface et qui est directeur des deux systèmes de génératrices. Les plans passant par les couples de génératrices parallèles sont tangents à ce cône. La droite a'b [fig. 3o2) est, par suite, tangente au point /n à l'hyperbole trace du cône sur le plan DJF, ce qui résulte d'ailleurs de ce que ce point est le milieu du segment compris entre les asymptotes.

695. D'après ce que nous avons vu à l'article 687, si l'on coupe l'hyperboloïde et son cône directeur par un |)lan P parallèle à deux génératrices quelconques A' et B [fig. 3o2) de systèmes dillerents, les sections ont les mêmes asymptotes et sont par conséquent homotliétiques et concentriques. Ce résultat, étant indépendant des asymptotes, subsiste quand ces droites disparaissent : nous voyons ainsi que les sections faites dans l'hyperboloïde et dans son cône asymptote par un plan quelconque sont des coniques homotliétiques et concentriques.

II suit de là que les sections faites dans un hyperholoide par des plans parallèles sont des coniques homotliétiques et ayant leurs centres en ligne droite.

Toutes les sections planes de l'hyperboloïde étant des coniques, cette surface est du second ordre.

Division h omo graphique des génératrices.

694. Quand deux droites sont divisées en des points qui se correspondent un à un, et de telle manière que l'on obtienne un produit constant en multipliant l'un par l'autre les segments interceptés sur elle, entre deux points homologues quelconques et deux origines fixes, nous dirons avec M. Chasles (') que ces droites sont divisées homo graphiquement, ou que leurs divisions sont homo graphiques.

Considérons deux droites A et A' situées dans un plan ifig. SoZj), et d'un point Q, pris arbitrairement sur ce plan, menons deux droites QJ et QI qui leur soient respectivement parallèles, et une sécante Qaa'; les triangles Qal, a'QJ sont semblables et donnent

Irt X Ja' = QJ X QI.

Le second membre étant indépendant de la position de la sécante, si cette ligne tourne autour du point Q, ses points de rencontre avec A et A' formeront sur ces droites des divisions homographiques.

(') Traité de Géométrie supérieure, p. G7. Les diverses propositions développées dans ce paragraptie

sont dues à M. Cliasle.s.

l82 LIVRE VII. -- SURFACES GAUCHES.

L'origine I est, sur la droite A, homologue du point de A' situé à l'infini, et l'origine J est, sur la droite A', homologue du point de A situé à l'infini. Les deux points homologues a et a' sont réunis au point u.

On considère souvent des droites ainsi divisées transportées d'une manière quelconque dans le plan ou dans l'espace, ou réunies l'une sur l'autre de manière à ne former (ju'une seule ligne ayant deux divisions distinctes.

69o. Quand deux droites sont divisées homo graphiquement, si on les place de telle manière qu un même point u soit la réunion de deux points homologues, les droites passant par les autres points homologues convergeront vers un même point.

Pour le prouver, nous remarquerons que, si I et J sont les origines des segments et C la valeur du produit constant, nous aurons

\u X lu = C.

Mais en menant par les points I et J des droites respectivement parallèles à A' et à A, et de leur point de rencontre une sécante Q«a', nous déterminerons des segments entre lesquels existera la relation

\a X J«' = I« X lu, d'où

I« X Ja' = C.

Les points a et a! , situés sur une droite quelconque passant par le point Q, sont donc deux points homologues de« divisions considérées, ce qui prouve le théorème énoncé.

696. Si l'on projette sur un plan, ou même sur deux plans différents, deux droites divisées homographiquement, tous les segments de chacune d'elles seront réduits dans un même rapport, et les divisions des projections seront homographiques.

697. Nous avons établi à l'article 684 que l'on obtient un produit constant en multipliant l'un par l'autre les segments interceptés sur deux génératrices A et A' d'un hyperboloide {fig. 3o2), entre deux origines fixes I et J, et deux points a et a! situés sur une génératrice quelconque de l'autre système. Nous pouvons donc dire que dans un hyperboloide les génératrices de l'un des systèmes divisent homographiquement les génératrices de l'autre système.

698. Réciproquement, quand deux directrices rectilignes sont divisées homographiquement, les droites qui passent par les points homologues forment un hyperboloide.

Soient A et A' les directrices [Jig. Soa), I et J les origines fixes; nous menons par ces points deux droites B' et B respectivement parallèles à A' et à A, et nous portons sur ces lignes des longueurs IG et JF telles que leur rectangle soit égal à

GHAPITHE IV. — IlYPERBOLOIDE. r83

la constante de la division liomographiqne (art. 69o), l'une des deux pouvant être prise arbitrairement : la droite A" qui passe par les points F et G rencontrera une génératrice quelconque B", car nous avons l'équation

\a X ia'= IGx JF,

qui entraîne la similitude des triangles laG et JFa', et par suite le parallélisme des sécantes aG et a'F; la surface a donc une troisième directrice rectiligne A", ce qui démontre le théorème énoncé.

Il est nécessaire d'avoir égard aux signes et de préciser le sens dans lequel les segments doivent être considérés comme positifs, sur chaque ligne, à partir de l'origine. Sans cela, un point a {fig. 3o2) pourrait être joint indifféremment à l'un ou à l'autre de deux points situés sur la droite A', de part et d'autre, et a des distances égales de l'origine J. On aurait ainsi deux hyperboloïdes distincts.

Si la constante est positive, les segments dirigés de 1 vers G et de J vers D devront être de même signe. Suivant la notation de M. Chasies, que nous avons fait connaître (art. 512), nous indiquerons le sens de chaque segment par l'ordre des deux lettres qui désignent ses extrémités. Ainsi la longueur négative IC — lût sera représentée indifféremment par aC ou — C«.

Quand deux droites sont divisées homographiquement, à chaque point de l'une ne correspond qu'un point de l'autre. Nous voyons ainsi d'une nouvelle manière que r hyperboloïde na ni sommets ni arêtes.

699. Nous allons maintenant étudier les relations qui existent entre les segments interceptés par quatre génératrices mm', nn', pp' et gq' d'un système sur deux génératrices A et A' de l'autre système {Jig. 3o5). Nous considérons ces dernières lignes comme des directrices, et nous supposons que l'hyperboloïde est déterminé par la condition que le produit des segments interceptés sur elle, à partir de deux points fixes I et J, soit égal à une constante donnée C.

Pour préseuter une ligure correcte, nous avons appuyé les tracés sur la projection d'un parallélépipède analogue à celui que nous avons considéré précédemment; les directrices A et A' et la droite nn', l'une des génératrices, en forment trois arêtes; les points fixes I et J occupent deux sommets opposés.

Nous avons immédiatement

Im X im' =■ C, Ia* X J«' = C, \p X ip' = C, Iq X .!</' = C. Nous déduisons de ces é(iualions

et ensuite

\m Jn' lin i p' \q J«' Iq ip'

Irt im' \p im in iq' Ip iq'

nin n' ni mp p' ni nq q' n' pq q' p'

im in' Ini ip' Iq in' Iq i p'

l84 LIVRE Vil. — SURFACES GAUCHtS.

Divisant la première de ces équations par la seconde et la troisième par la cjua-

triènie, et remarquant qu'on peut changer le signe des deux termes d'une frac-

tion, et par conséquent écrire -— -r au heu de —, — -.1 on ontient • ' m p p m

mil m' II' .1// qii g' n' , ^ i p'

nip ni' p' " 3 II' qp q' p' ' ' in'

Enfui, divisant ces équations l'iinc par l'autre, nous avons la formule

mil , qn m' n' . q' n'

mp ■ qp ~ m'p' ' q'p''

dans laquelle il n'entre aucun segment mesuré à partir des origines I et J. Elle démontre que dans un hyperboloide les points dans lesquels quatre génératrices d'un système coupent une génératrice quelconque de l'autre système sont dans un rapport anharmonique constant ( ' ).