PERSPECTIVE CAVALIÈRE

Notions générales . — Assemblage.

311. La perspective cavalière est une projection oblique faite sur un plan vertical et parallèle à l'une des deux directions principales horizontales (art. 290).

Nous avons déjà eu l'occasion de parler des projections obliques ('). Dans ce mode de représentation, les projetantes sont parallèles à une direction fixe qui rencontre sous une inclinaison quelconque le plan de la figure.

On appelle ligne fuyante la projection d'une droite perpendiculaire h ce plan, et rapport de réduction le rapport des longueurs d'une ligne fuyante et de la perpendiculaire qui lui correspond.

Soient T le plan de la figure, ou tableau, et D la droite à laquelle les projetantes doivent être pai'allèles (/ig- 182 a); d'un point M nous menons deux droites, l'une Mrt perpendiculaire à T, l'autre Mm parallèle à D : nm est une ligne fuyante,

et le rapport -ri) cotangent(^ de l'angle (jue la droite D fait avec le plan P, est le

rapport de réduction. On indique quelquefois la direction des lignes fuyantes par une flèche F.

(') foir les articles il6, llil el 254.

CHAPITKE II. - PERSPECTIVE CVVALIÈHi:. ,5l

Le rapport de réduction est toujours une fraction simple. On le prend souvent égal à -j ou à |.

Dans la projection oblique, comme dans la projection orthogonale, toute U'^ne de front, c'est-à-dire située dans un plan parallèle à celui de la figure, estsuperposable à sa projection.

Nous avons établi à l'article 1 16 que la projection d'une tangente à une courbe est tangente à la projection de la courbe, même dans le cas où les projetantes sont obliques sur le plan de la figure.

311 a. Proposons-nous de représenter un cube ayant quatre arêtes verticales.

Nous prenons pour plan de la figure celui de la face antérieure ABCD (^g. i8ia ou i8i b). Nous dirigeons les lignes fuyantes vers la droite (Jig. i8i a) ou vers la gauche (fg. i8i b), suivant que nous voulons montrer l'une ou l'autre des deux faces latérales. Pour faire voir la face inférieure, on dirigerait les lignes fuyantes vers le bas de la figure.

Le rapport de réduction est fixé à |.

Nous traçons les droites Aa, Bb, ... parallèles à la droite F et dans le sens indiqué par la flèche. Nous prenons ensuite les longueurs Aa, Bb, . . . é-^ales au tiers du côté AB du cube. La face postérieure est abcd.

Si l'on veut connaître l'angle sous lequel les projetantes rencontrent le plan de la figure, on tracera Bb' perpendiculaire à Bb et égal à la longueur de cette droite dans l'espace, c'est-à-dire à trois fois Bb; l'angle cherché est b' bB.

512. Nous allons nous proposer de mettre en perspective cavalière la pièce de bois A, représentée sur les figures géométrales i64 et i65. Nous prenons le plan vertical 1.7 (/ig. 164) pour plan de projection; nous plaçons (y?o-. i68)les lio-nes qui sont sur ce plan telles qu'elles se trouvent sur l'élévation (y?"-. i65), puis par le point i' nous traçons une droite i'. 2' dans une direction arbitraire qui sera celle des lignes fuyantes, et, supposant que le rapport de réduction soit égal à '-, nous donnons à cette droite une longueur i'.2' égale à la moitié de la droite 1.2 (y?g-. 164), et nous la considérons comme la projection de la droite (1.2, i') (Jig. 164 et i65). Toute autre droite perpendiculaire au plan de la figure sera projetée sur une parallèle à i'.2' (/îg. 168), et réduite à la moitié de la grandeur qu'elle a dans l'espace. Nous pourrons donc tracer la droite i".2" projection de (1.2, i"). et achever facilement la perspective.

La direction des lignes fuyantes doit être choisie de manière que l'objet se présente sous l'aspect où il est le plus important de le voir. Quand des pièces sont connexes comme celles des Jig. 168 et 169, on dirige quelquefois les lignes fuyantes de côtés différents de la verticale, mais sous des angles égaux et avec le même rapport de réduction; on peut alors placer sur des horizontales les points correspondants des deux figures, de manière à établir entre elles un certain accord.

l52 I.IVHE IV. - l'KItSPECTIVES AXUNOMÉTHIQUK ET C/VVALIÉKE.

313. Pour mettre en perspective cavalière la pièce représentée sur les figures géométrales 170 et 171, nous plaçons d'abord {fig. 173) celles des lignes de la fig. 170 qui sont dans le plan de front mn {Jig- 171)! puis, ayant choisi pour les lignes fuyantes une direction arbitraire 5'. ,3", nous traçons les projections de toutes les droites perpendiculaii'es au plan de la figure, et nous portons les longueurs relevées sur \'àjig. 171, en les réduisant à moitié.

Nous avons disposé la perspective cavalière de lay/g-. 173 de manière à montrer la pièce sous un aspect différent de celui qu'elle a sur la perspective axonométrique de \Ajig- 172. On peut remarquer que ces dessins font beaucoup mieux comprendre les formes que \Q?,fig. 170 et 171, et cependant nous n'avons pas voulu représenter un assemblage compliqué, et qui eût exigé des explications spéciales. Il y en a, tels que les entures à enfourcliement, qui sont presque inintelligibles quand on les représente seulement par des figures géométrales.

Cylindre vertical. [PlancJic LU, Jii^iirc 180.)

314. Nous allons nous proposer de construire la perspective d'un cercle horizontale dont on connaît le diamètre de front AB, et de représenter un cylindre vertical dont ce cercle serait la base.

Nous traçons en vraie grandeur le cercle qu'on veut projeter en le supposant ramené de front par une rotation autour de AB, nous choisissons une direction horizontale ÎMN pour les lignes fuyantes, et nous prenons un rapport de réduction qui sera, comme précédemment, celui de 1 à 2.

Si l'on suppose que le plan du cercle soit remis dans sa position, la droite AB sera son intersection avec le plan de la figure, et par suite tous ses points seront leurs propres projections. Le rayon CG perpendiculaire à CA se projettera sur une ligne fuyante CM égale à sa moitié. On trouve de la même manière la projection d'une ordonnée quelconque cg parallèle à CG. Pour déterminer la longueur cm on peut tracer la droite gm parallèle à GM.

Cette construction fait facilement trouver la projection m d'un point quelconque g du cercle, et même la projection a d'un point / du plan du cercle supposé remis dans sa position.

La courbe M/nB ... est une ellipse. Les diamètres AB et GC du cercle étant rectangulaires, leurs projections AB et MN sont des diamètres conjugués de l'ellipse. Ses tangentes verticales forment le contour apparent du cylindre. On détei'mine les points K etK, oîi elles coupent la droite AB, en menant au cercle les tangentes IK et T|K, parallèles à QG. On voit, en ellèt, que la droite QG a pour projection QM, et que, par suite, la droite IK tangente au cercle et parallèle àQG doit se projeter sur une droite tangente à l'ellipse et parallèle à QM.

CHAPITUE II. - PERSPECTIVE C.VVALIÈKE. 1 53

Dans la première partie de la construction que nous venons irindiqiier, on retrouve la méthode que nous avons exposée à l'arliclc loi pour tracer une ellipse dont on connaît deux diamètres conjugués.

Sphère. {Flanelle LU, Jli^urc i8i.)

513. Une sphère a pour perspective cavalière une ellipse intersection par le plan de la figure d'un cylindre circonscrit parallèle aux projetantes.

Soient AQBP la perspective du grand cercle de front de la sphère, et MN une droite passant par le centre 0 et donnant la direction des lignes fuyantes. Le rapport de réduction est égal à i.

Nous supposons que la sphère a glissé dans le cylindre circonscrit, de manière que son centre se trouve en 0. Nous la coupons alors par un plan perpendiculaire au tableau et parallèle aux projetantes : sa trace EG est une ligne fuyante. L'intersection de ce plan avec la sphère est un cercle qui a EG pour diamètre : nous pouvons le tracer sur la figure, en le rabattant autour de cette droite.

La direction des projetantes dans un rabattement autour de MNest donnée par l'hypoténuse AF du triangle rectangle AOF, dans lequel le côté OF est la moitié du rayon OA. Les projetantes ont la même direction, dans le rabattement autour de FG. Les deux tangentes I* et it parallèles à AF sont deux génératrices du cylindre circonscrit. Leurs rencontres s et /avec EG donnent deux points de la perspective cherchée.

En opérant sur la droite MON, on trouve les points M et N. La symétrie de la figure montre que les droites rectangulaires MN et AB sont les deux axes de l'ellipse.

510. Les principes de la Géométrie descriptive conduisent à un moyen facile de construire l'ellipse par points sans tracer des cercles tels que IJ.

Nous prenons un second plan de projection perpendiculaire au premier, et ayant pour trace la droite MN. Le cercle AQBP peut être regardé comme la trace de la sphère sur chacun des deux plans coordonnés.

Le cercle de contour apparent de la sphère est projeté sur le second plan, suivant le diamètre PQ perpendiculaire à AF. Il faut chercher la trace, sur le premier plan, d'un cylindre qui aurait ce cercle pour directrice, et dont les génératrices seraient parallèles à AF.

Un point quelconque R de PQ est la projection, sur le second plan, de deux points de la directrice du cylindre circonscrit. Ils sont sur le petit cercle qui a pour projection la droite SS,, et, par conséquent, leur distance au point R et au second plan est égale à RS,. On pourrait établir leurs projections sur le premier plan, et chercher ensuite les traces des génératrices correspondantes du cylindre; mais il estplus simple de remarquer que la perspective du point R est