QUESTIONS DIVERSES

Prohlèmps rlémentaircs sur les lignes droites.

14. Trouver la grandeur d'une droite dont on connaît les projections .

Une droite limitée est de même grandeur que sa projection quand elle lui est parallèle, ce qui arrive lorsqu'elle est parallèle au plan de projection. Dans toute autre position sa grandeur n'est pas immédiatement donnée; on la détermine en rabattant un des deux plans projetants sur le plan de projection correspondant.

Ainsi, pour avoir la grandeur de la droite AB {fig. n), on rabat le trapèze rectangle AaôB en le faisant tourner autour de la projection ab. Les longueurs des côtés «A et ^13 sont données par les lignes agO.' etb^b' situées sur l'autre plan de projection.

On voit sur \n/ig. 12 la construction indiquée sur Va fig. 11. La droite est rabattue sur le plan horizontal en A,B,, et sur le plan vertical en A'|B',. Pour ce dernier rabattement, on prend des longueurs a' A', et />'B',, égales à a^a et b^h.

Souvent, au lieu d'un trapèze, on trace un triangle oèG, dont le côté iG est égal à b' g, différence de hauteur des points a' et //. La longueur cherchée est l'hvpo-

CHM'ITHK II. — OUESTIONS HiVKHSES. n

ténuse aG : nous voyons qu'elle est plus grande que la projection ab\ elle lui serait égale si la droite était parallèle au plan de projection.

15. Les mêmes constructions sont représentées sur \'a fig. \'i bis pour le cas où les deux extrémités (a, a') et {b, b' ) de la droite sont, l'une au-dessus du plan horizontal et l'autre au-dessous. Lorsqu'on rabat le plan projetant, il faut porter les longueurs «„«' et b^b' de côtés différents de la projection ab. Le rabattementA,B, doit passer par la traceede la droite, ce qui fournit une vérification.

Si l'on veut déterminer la grandeur de la droite par un triangle rectangle, on fait le second côté iG égal à la différence a' g de hauteur des points a' et b' .

16. On peut encore déterminer la grandeur d'une droite en la rendant parallèle à l'un des plans coordonnés, et en cherchant ce que devient alors sa projection sur ce plan.

Faisons tourner le plan projetant vertical de la droite AB {fig. i4 a) autour de la verticale Aa, jusqu'à ce qu'il soit parallèle au plan vertical de projection. Dans ce mouvement le point b décrit un arc de cercle dont le centre est a, et vient se placer en b^ sur la droite ab^ parallèle à la ligne de terre XY. Le point B restant toujours h la même hauteur, sa projection verticale b' se meut sur une parallèle à la ligne de terre; elle s'arrête au point b^ correspondant à b^. La droite a'6, est donc la projection de la ligne devenue parallèle au plan vertical, et par suite elle est sa vraie grandeur.

Un exemple de celte construction est donné sur la^^. i'\. Les extrémités (a, a') et {b, b') de la droite y ont été placées de côtés différents du plan horizontal. Les points e et e', traces horizontales de la ligne avant et après la rotation du plan projetant, sont sur un même arc de cercle décrit du point a comme centre.

17. Si l'on voulait déterminer sur une ligne indéfinie (ae, a'e') {fig. 12 bis^ un point {b, b') qui fût à une distance donnée du point («,«'), on pourrait ramener la droite sur le plan horizontal en rabattant son plan projetant : elle se placerait en A,e. On porterait alors la longueur donnée de A, en B,, et il n'y aurait plus qu'à chercher les projections du point B, quand le plan projetant serait relevé. La projection horizontale est au pied b de la perpendiculaire B, b, et la projection verticale au point correspondant b' de la droite a'e' .

On pourrait résoudre le problème par la construction indiquée sur \nfig. i4-

18. Les plans projetants de deux droites parallèles AB, CD {fig. i3) sont parallèles, et les projections ab, cd de ces lignes le sont également.

Pour mener par un point une parallèle à une droite, il suffit de tracer par les projections du point des parallèles aux projections de la ligne droite.

Lorsque deux projections ab et cd sont parallèles, les plans projetants le sont aussi, mais les droites, pouvant avoir des positions quelconques dans ces plans, ne sont pas nécessairement parallèles. Cependant, si les projections de deux

8 LIMii; I". - DKS LIGNKS OHOITES liT DES I'L\.\S

droites de l'espace sur deux plans coordonnes sont parnllclcs, les droites de l'espace sont parallèles, comme intersections de plans parai li'ios.

Plans (Irtcrmiiiés j)tir diverses coiiditions .

lî). Construire les traces du pltin ilèlenninc par deuv droites dofinces {ah, a' h' ) et (cd, ed) {fig. i) ).

l'onr que le problème puisse être résolu, il Tant ([ue les droites se coupent ou soient parallèles. La première condition aura lieu quand les points m et m', où les projections se rencontientsur les deux plans coordonnés, seront sur une perpendiculaire à la ligne de terre, et représenteront par conséquent un point de l'espace.

La trace verticale P' du plan passe par les traces verticales //et c' des droites, et la trace horizontale P' par les traces horizontales a et d. Les deux traces du plan des droites devront se rencontrer en un même point de la ligne de terre.

Si l'on avait négligé de s'assurer que les droites données se coupent, on le reconnaîtrait en voyant que les droites ad, h'c' se croisent en un point de la ligne de terre, car alors elles déterminent un plan qui contient chacune des lignes données, parce qu'elle y a deux points a et // ou r/ct e' .

Lii/ig. i") />« représente la solution du même problème avec une disposition diirérente des données.

Les constructions sont les mêmes quand les droites données sont parallèles entre elles, sans être parallèles à la ligne de terre.

20. Si l'on fait passer une droite par deux points pris arbitrairement sur les droites données, ses traces seront sur les traces de leur plan. On peut employer celte construction, soit pour obtenir des ve'ri/ieations, soit pour déterminer les traces du plan, quand, par suite de la disposition de la figure, le tracé indiqué dans l'article précédent se trouve en défaut.

Sur \ii/ig- iG, l'une des droites données (cr/, e'd') a ses traces éloignées^ c'està-dire hors du cadre de l'épure. On prend sur cette droite un point (g, g'), et sur l'autre droite (ah, a'h') un point (n, n'). Les traces de la sécante {ng, n'g') appartiennent aux traces P et P' du plan de ces deux droites.

Quand les deux di'oites données se coupent en un point de la ligne de terre, ce point appartient aux deux traces de leur plan. On obtient un second point sur chacune d'elles, en délerminanl les traces d'une sécante comme dans le cas de la /7/J-. iG.

Lorsque les droites sont rnne et l'autre paralli'les à la ligne de terre {//g. 17J, les traces de buir plan sont parallèles à «-ette ligne, et, pour pouvoir les tracer, il suffit de construire les points e et //', où une sécante (ng, n'g') rencontre les pians de projection.

"il. On applique sans dirticullé la construclion géiu'ralc de l'article li) au cas

CHAPITUK II. — QUESTIONS DIVERSES. f)

OÙ l'une des deux droites est parallèle à un plan de projection. Sur h/f'f^. i8 la droite (ma, m'a') est parallèle au plan vertical; le plan cherclic devant la contenir, sa trace P' lui sera parallèle. Cette trace sera donc parallèle à la projection a'm' ; elle passera d'ailleurs par la trace c' de la seconde droite {rncd, m'c'd'), et elle rencontrera en un point de la ligne de terre la trace horizontale adàu plan.

22. Pour obtenir les traces du plan déterminé par trois points, on construira les traces des droites qui passent par ces points; si ces lignes ne se présentent pas d'une manière commode pour l'exécution graphique, on prendra sur elles des points par lesquels on mènera de nouvelles droites qui, étant également dans le plan cherché, pourront servir à en déterminer les traces.

Si l'on donne un point et une droite, on obtiendra sur le plan autant de droites que Ion voudra, en joignant le [loint donné à divers points de la droite.

Pour mener par une droite donnée un plan parallèle à une autre droite donnée, il faut faire passer par un point de la première une ligne parallèle à la seconde; elle sera dans le plan cherché, qui sera ainsi déterminé par deux droites qui se coupent.

23. Faire passer par un point donné un plan parallèle à un plan donné.

On mène par le point une droite parallèle à une droite quelconque du plan : les traces du plan cherché passent par les traces de cette parallèle et sont parallèles aux traces du plan donné.

Sur ^'à/ig. 19 le point donné est (m, m') et le plan donné (P, P'). On prend arbitrairement un point a sur la trace horizontale du plan, et un point b' sur sa trace verticale. La droite passant par ces points a pour projections ab eta'b'. La parallèle menée à cette droite par le point (m, m') a des projections rncd et m'c'd' respectivement parallèles à ab et a'b'. Ses traces sont d et c', et par suite les traces du plan sont les droites Q et Q' respectivement parallèles à P et P'; elles doivent se rencontrer en un point de la ligne de terre.

Le plan indéfini (P, P') s'étend devant le plan (Q, Q'); nous avons cependant établi en trait plein les traces de ce dernier, parce qu'un plan (autre que les plans de projection) n'est regardé comme opaque que quand il appartient à la surface d'un corps, et non lorsqu'il est considéré d'une manière abstraite. Si nous faisons quelque exception à cette règle pour rendre un résultat plus sensible, nous aurons soin d'en prévenir le lecteur.

24. On peut généralement simplifier la construction en considérant sur le plan donné, non pas une droite quelconque, mais l'une de ses traces.

Menons par la projection horizontale m du point donné (^g. 20) une droite ma parallèle à la trace horizontale du plan donné, et par la projection verticale m' une droite in'a' parallèle à la ligne de terre, qui est la projection verticale de celte trace; le plan cherché devant contenir la droite (ma, m'a'), sa trace verticale passe par la trace a' de cette droite. Cette circonstance et les relations de