I. — De la GotRXERiE. — Descn'jJine, i

lO LIVRE I". — DES LIGNES PnOITES ET DES PL\NS.

parallt'lismo fléjà (italtlies permettent d'ohtenir les deux traces Q et Q' du plan.

On peut résoudre (''i;alement le prohlèiiie en menant par le point (m, m' ) une parallèle h la trace P'.

Si le plan donné était parallèle à la ligne de terre, le tracé que nous venons d'exposer ne pourrait pas être employé : il faudrait recourir h la construction générale de l'article 25.

25. Déterminer l'inlerseclion de deux plans donnes par leurs traces. Les plans donnés sont (P, P') et(Q, Q') (/ig- 21 ou 21 bis).

Le point a où les traces horizontales se coupent et le point de rencontre // des traces verticales appartiennent à l'intersection. Le premier de ces points se projette verticalement en a'; la projection horizontale du second est b. La droite cherchée est donc (ab, à b' ).

26. Si l'un (les plans est parallèle au plan horizontal, il est simplement représenté par une trace verticale Q' {fig- 22) parallèle à la ligne de terre. L'intersection est alors parallèle à la trace horizontale P de l'autre plan (P, P'); elle passe d'ailleurs au point de rencontre b' des traces verticales; ses projections sont donc les droites be et Q' respectivement parallèles à P et à XY.

27. Lorsque, sans être parallèles, les traces horizontales P et Q ne se rencontrent pas sur la feuille de dessin {Jig. 23), on coupe les deux plans par un plan horizontal auxiliaire xy suffisamment élevé. Les intersections {rg, xy) et {sg, xy) ainsi obtenues se croisent en un point {g, g') qui appartient h la droite cherchée.

Quand les traces ne se rencontrent sur aucun des deux plans coordonnés, il faut déterminer deux points de l'intersection par deux plans auxiliaires. Toutefois cette construction ne peut pas être employée lorsque les traces ne se coupent que très loin sur l'un et l'autre plan; il faut alors recourir à une méthode générale que nous expliquerons aux articles 65 et 67.

Il est facile de voir que les plans sécants auxiliaires peuvent être parallèles au plan vertical, ou même disposés d'une manière quelconque dans l'espace; mais dans ce dernier cas les constructions seraient moins simples.

Si les plans donnés rencontraient la ligne de terre en un même point, on obtiendrait un second point de l'intersection en les coupant par un plan auxiliaire.

28. Trouver le point d' intersection de trois plans donnés par leurs traces.

On détermine les droites suivant lesquelles un des plans coupe les deux autres; ces droites se rencontrent au point cherché.

Le problème est résolu sur la//^. 2I. Les trois plans sont (P, P'), ^^Q, Q') et (R, R). Nous avons déterminé les trois droites d'intersection suivant lesquelles ils se coupentdeux à deux : ce sont les droites {ic, iC ), {nb, n'b') et (nui, m'a'); elles se rencontrent au point cherché (v. s').

CIlVriTIÎIÎ II. — l^)L K.VnONS DIVERSES. II

Le même probl(?me est résolu sur \^fig- 24 his; nous en avons établi la ponctuation dans l'hypothèse que les plans donnés sont les faces d'un tétraèdre dont la base abc est posée sur le plan horizontal.

Les droites P et P' d'une part, R et R' de l'autre, doivent se couper en un même point de la ligne de terre. Si cela n'avait pas lieu, ces couples de droites ne représenteraient pas des plans, et les diverses vérifications que fournit la construction ne seraient pas satisfaites.

29. Connaissant l'une des projections d'une droite située dans un plan donné, trouver Vautre projection .

La projection connue détermine un plan projetant dont on cherche l'intersection avec le plan donné.

La construction est représentée sur \& /ig. 20. On trouve que a' h' est la projection verticale de la droite qui est contenue dans le plan (P, P'), et qui se projette horizontalement sur ab.

50. Trouver le point où une droite donnée perce un plan donné.

Il faut faire passer un plan par la droite, chercher son intersection avec le plan donné, et prendre le point où cette ligne rencontre la droite donnée.

Soient (D, D') la droite (Jig. 26) et (P, P') le plan. On détermine les traces a et b' de (D, D') ; en les joignant à un point quelconque g de la ligne de terre, on a un plan (ag, gh') qui contient la droite. Son intersection avec le plan donné est une droite {cd. c'd' ) qui rencontre la droite donnée au point cherché (m, m').

31. On peut simplifier le tracé en prenant pour plan auxiliaire l'un des deux plans projetants de la droite, par exemple celui qui est vertical ; ses traces sont D et aa' {fig. 27); il coupe le plan (P, P') suivant la droite (D. a'b'). L'intersection de a'b' avec D' donne la projection verticale m' du point cherche; on en déduit la projection horizontale m.

Si l'on veut avoir une vérification, on emploiera comme plan auxiliaire celui qui projette la droite sur le plan vertical. La construction est faite sur la figure.

>'()us avons ponctué \e?,fig. 2G et 27, en supposant que le plan formait la face supérieure d'un polyèdre, et, par conséquent, que la droite devenait invisible au delà du point (m. m').

Projections ar/,viliatrcs.

32. Quand l'une des projections d'une droite est perpendiculaire ii la ligne de terre, le plan projetant correspondant est perpendiculaire à cette ligne, et, par suite, au deuxième plan de projection; ses deux traces, qui sur le dessin ne forment qu'une seule droite, sont alors les projections de la ligne.

La connaissance de l'une des projections de la droite suffit dans ce cas pour que l'on ait immédiatement l'autre; mais la droite elle-même peut avoir une position quelconque dans le plan perpendiculaire à la ligne de terre qui les

12 I.IVUK I". — mes Lir.MOS DROITKS ET DKS PL\NS.

contient. On pi'nt déterminer la droite en donnant les projections de deux de SCS points, n)ais ce mode de représentation ne se prête pas immédiatement aux constructions de la Géométrie descriptive.

D'ailleurs, si plusieurs droites importantes se trouvaient dans un même plan perpendiculaire à la ligne de terre, cette manière de les détinir présenterait un peu de confusion et ne ferait pas ressortir la forme des figures. Pour ces divers motifs, on emploie généralement un plan auxiliaire de projection; on le prend le plus souvent perpendiculaire aux deux autres, et on le rabat sur un des deux premiers plans de projection, en le faisant tourner autour de sa trace sur ce plan.

o.). Les lignes de la petite façade de gauche de la maison dessinée sur la PI. I sont toutes projetées sur les droites eg, i'f \ pour (}u'elles soient déterminées et représentées d'une manière distincte, nous allons les projeter sur le plan dont les traces sont les droites X.Y et YZ,, perpendiculaires à XY. Nous supposons que l'on a rabattu ce plan sur le plan horizontal en le faisant tourner autour de sa trace X, Y, qui forme une nouvelle ligne de terre.

Pour avoir sur ce nouveau plan la projection a d'un point («, a'), on l'emarque que les projections a et a" doivent être sur une même perpendiculaire il la ligne de terre X,Y, et que les hauteurs atu" et a„a' indiquent l'une et l'autre l'élévation du point de l'espace au-dessus du plan horizontal, et sont, par conséquent, égales.

La droite qui projette le point {a, a') sur le plan vertical en a' a pour projection sur le plan auxiliaire une horizontale qui perce le premier plan vertical en cl. Dans le rabattement, cette droite tourne autour de la ligne de terre X, Y en lui restant toujours parallèle; son point r/ décrit l'arc dd^, et elle se place en d,a".

Tous les détails de la petite façade sont dessinés sur Vàftg. 3, qui est une nouvelle projection verticale.

oi. h^fig. 4 est une projection de la maison faite sur un plan auxiliaire parallèle à celui de Vàjig. 3, mais rabattu sur le plan vertical par une rotation autour de sa trace XZ. La projection h" d'un point {b, b') est sur la droite b'b, perpendiculaire à la nouvelle ligne de terre XZ, et à une distance b^b" égale à b^b. Si l'on projette le point b en/sur XY,, et qu'on ramÎMie/en /„ par un arc de cercle de centre X, le point b" sera sur la verticale île/,.

^^/'S- 9 6st, par rapport ta \Afig. 8, une projection auxiliaire faite sur un plan perpendiculaire à la ligne de terre, et rabattue sur le plan vertical.

I^^.A'^- 9 ^•'" est également une projection auxiliaire pour \^fig. <^ bis.

3"i. Nous pouvons maintenant résoudre les problèmes qui se ra|)portent aux figures situées dans des plans perpendiculaires à la ligne de terre.

Déterminer les traces d'une droite qui passe par deux points donnes dans un plan perpendiculaire à la ligne de terre.

CHAPITRK II. - QUESTIONS DIVERSES. t3

Les points sont (m, m') et (n, n') (Jig. 28). Nous rabattons sur le plan horizontal le plan (xn, xm') qui les contient. Le point {m, m) décrit alors un arc de cercle qui a son centre au point m et vient se placer en un point 3L sur une perpendiculaire m^l à xn, et à une distance de cette ligne égale à la hauteur du point, qui est donnée en vraie grandeur sur le plan vertical par la droite a^m'. On trouve de la même manière la position N du point {n, n') rabattu. On trace la ligne MN rabattement de la droite considérée : sa trace horizontale este; sa trace verticale est le point c, dont on obtient la véritable position c' en relevant le plan qui contient la droite.

56. On emploie un plan auxiliaire de projection, non seulement pour représenter les figures situées dans des plans perpendiculaires à la ligne de terre, mais encore quand les constructions ordinaires ne sont pas applicables, par suite d'une disposition particulière des données par rapport aux plans de projection.

Construire r intersection de de'ur plans parallèles à la ligne rie terre.

Les plans que nous considérons sont (P, P') et (Q, Q')(/ig- 29). Leurs traces ne se rencontrant pas, nous n'avons immédiatement aucun point de l'intersection cherchée; nous voyons seulement qu'elle est parallèle aux traces des plans, et par suite à la ligne de terre.

Nous prenons un plan auxiliaire perpendiculaire aux deux plans de projection; ses traces sont des droites perpendiculaires à la ligne de terre, menées par un même point x de cette ligne; en le rabattant sur le plan horizontal, nous amenons les points m et n en m, et n,, et les nouvelles traces des plans donnés sont les droites rm,, sn , qui se coupent en E.

On trouve facilement les points e et e', où se projette le point E quand on relève le plan, et l'on peut tracer les droites G et G', projections de l'intersection.

Nous aurions pu résoudre le problème sans faire de rabattement, en déterminant les intersections des plans donnés par un plan auxiliaire quelconque; ces intersections se coupent en un point de la droite cherchée.

37. Quand un plan contient la ligne de terre, ses deux traces se confondent avec elle, et ne suffisent plus à le déterminer. Il faut alors que l'on connaisse un de ses points, ou les angles qu'il forme avec les plans coordonnés; mais les constructions ordinaires ne peuvent pas être appliquées à un plan ainsi représenté, et il faut recourir à quelque artifice, tel que l'emploi d'un plan auxiliaire de projection.

Déterminer F intersection d'un plan quelconque avec un plan passant par la ligne de terre et faisant un angle donné avec le plan horizontal.

Soit (P, P') le plan donné (fg- 3o). Nous prenons un plan auxiliaire perpendiculaire à la ligne de terre, et nous le rabattons sur le plan vertical en le faisant tourner autour de sa trace.»;. La nouvelle trace de ('P, P') estfl|/>: la trace du

l>i;S LIGMiS DltOITKS KT DKS PL\NS.

second pliiii passe par le point x, et (ail avec x^ l'angle donné. Nous pouvons donc mener celte trace xi; elle nous fait connaître un point E de l'intersection; les projections e et e' doivent être jointes au point g commun aux deux plans. La droite chercliée est donc (ge, ge').

38. On pourrait opérer de la même manière quand la position du plan qui passe par la ligne de terre est déterminée par un de ses points (m, m) (Jig. '3r), mais alors il est aussi simple de couper les deux plans par le plan horizontal qui contient le point donné. Les intersections (bc, xy) et (mi, xy) se rencontrent en un point (c, e') qui appartient à la droite cherchée.

59. Déterminer le point cF intersection d'un plan quelconque (P, P' ) (Jig- 32) ai>ec une droite située dans un plan perpendiculaire à la ligne de terre, et donnée par deux de ses points (a, a') et (b, b').

Nous rabattons sur le plan vertical le plan projetant de la droite; elle prend alors la position AB, et rencontre en M la nouvelle tracera, du plan donné. Quand on relève le plan auxiliaire, le point cherché vient se projeter en (m, m').

Nous veri'ons plus loin que l'on emploie quelquefois des plans auxiliaires de projection qui ne sont pas perpendiculaires à la ligne de terre.

Droites et plans perpendiculaires .

40. Quand une droite est perpendiculaire à un plan, les projections de la droite sont respeclii'ement perpendiculaires aux traces du plan.

Soient P le plan de projection (Jig. 33) et MN une di'oite perpendiculaire à un plan Q.

Le plan passant par MN et par la projetante Mm de l'un quelconque des points de cette droite est perpendiculaire à chacun des deux plans P et Q, et par suite à leur intersection AB. Réciproquement, AB est perpendiculaire à toutes les lignes du plan wMN, et notamment à sa trace mG, projection de MN.

Quand la projection rnG d'une droite est perpendiculaire à la trace AB d'un plan Q, ce plan est per[)endiculaire au plan projetant, mais non pas nécessairement à la droite. Si cependant les projections de la droite étaient respectivement perpendiculaires aux traces du plan sur deux plans coordonnés, les deux plans projetants étant perpendiculaires au plan considéré, la droite, qui est leur intersection, serait perpendiculaire à ce plan.

41 . Mener par un point donné un plan perpendiculaire à une droite donnée. Soient {a, a') le point et (D, D') la droite {fig. 34). La trace horizontale du

plan cherché est perpendiculaire à la projection D (art. 40). La droite dont les projections sont les droites ab perpendiculaire à D et a'// parallèle à la ligne de terre est donc parallèle à la trace horizontale du plan, et comme elle passe par le point (a, a') qui doit être dans le plan, elle s'y trouve tout entière. La trace