Déterminer l'angle de deux plans P e/ Q {fig. i
La droite mn, perpendiculaire à la projection ab de l'intersection des deux plans, peut être considérée comme la trace sur le plan horizontal qui est à la cote i3 d'un plan perpendiculaire aux plans P et Q. Nous rabattons ce plan auxiliaire en le faisant tourner autour de /?i/? : le point où il rencontre l'intersection se place en G, à une distance de /-que l'on obtient en rabattant le plan projetant de la droite ab autour de celle de ses horizontales qui est à la cote i3. L'angle cherché est mGn.
Cette construction est analogue à celle que nous avons exposée à l'article 56 pour le cas où l'on opère sur deux plans coordonnés.
l'5\ LIVHE III. — PUOJICCTKiNS COTÉES.
281. Par un pain/ donné A mener une droite (jui fasse un angle donne avec une droite donnée D (ftg- i5i).
Nous (létcrniinons sur la droite le point B qui a la même cote que A, et nous concevons que le plan passant par la droite et par le point donné tourne autour de la droite AB jusqu'à devenir horizontal. Un point «est porté en N, et la droite D devient EN; on trace alors la droite AI sous l'inclinaison voulue, et l'on remet le plan en position : le point I est ramené en i sur une perpendiculaire à AB, et la droite cherchée est Xi. On la gradue en menant, par les points de division de D, des parallèles à AB.
Le prohlènie admet deux solutions quand le sens dans lequel on doit mesurer l'angle n'est pas déterminé par la nature de la question.
Si l'on voulait avoir la distance du point A à la droite D, on ahaisserait de ce point une perpendiculaire sur BI, et l'on mesurerait sa longueur.
Exercices.
282. Dans les prohlèmes qui suivent, les cotes représentent les hauteurs audessus à\\n plan de comparaison.
Premier exercice. — On donne trois points A, B, C ijig. i54); on demande :
1° De faire passer par chacune des droites AB et BC un plan dont la pente vers l'extérieur de l'angle ABC soitj., et de limiter ces deux plans X e; Y aux droites AB et BC d'une part, et de l 'autre à des plans ve/'ticaux parallèles à ces droites et éloignés d'elles c?e 6" ;
2° De /aire passer par les droites G et H, suivant lesquelles les plans X et Y coupent les plans l'ertioaux, des plans x et y inclinés de i de hase pour i de hauteur, et de les limiter à un plan horizontal situé à 3'", .5o au-dessous du point B ;
3° De prendre sur les droites G e^ H deux points de même cote D et F,, peu éloignés l'un de l'autre, et de/aire passer un plan par ces points et le point B, et un autre plan par ces points et le point où se rencontrent les traces desplans x et y sur le plan horizontal situé à 3"", 5o au-dessous du voint B.
On résout la première partie du problème par la construction donnée à l'article 272. Ainsi la différence de niveau des points A et B étante"', 90, et le planX devant avoir une pente de ^, la distance du point B à l'horizontale du point A est, sur la figure, o'",()o x G ou 5"", 4o. Nous obtenons donc l'horizontale de la cote 24™, 90 en menant du point A une tangente à un cercle décrit du point B comme centre, et avec un rayon de 5'", 40. Nous avons tracé les lignes de niveau du plan X qui ont des cotes entières, et celles qui correspondent à des cotes fractionnaires de 25 centimètres en aS centimî'tres.
CHAPITKE I"'. — QUESTIOiNS KELATIVES A LA LIGiNE DROITE ET AU PLAN. l35
On détermine le plan Y par une construction analogue.
Le plan a- doit être limité à son intersection avec un plan horizontal situé à 3'",5o au-dessous du point B, et par conséquent à la cote 22'", 3o. Comme d'ailleurs ce plan est incliné à i de base pour i de hauteur, son horizontale de la cote 22'", 3o passe à i"',-]o et 2'", 45 des points /j elq, qui sont respectivement aux cotes 24™ et 24", "S. Cette horizontale est donc facile à tracer comme tangente commune de deux arcs de cercle. En menant par les points />, r, s,q des parallèles à cette droite, on obtient des horizontales du plan.
On opère de la même manière pour le plar^ j.
Les points D etE doivent avoir la même cote, et comme les plans X et Y ont des pentes égales, il s'ensuit que, sur la figure, ces points doivent être à la même distance des horizontales correspondantes, par exemple de celles qui sont à la cote 25. On prend le point D arbitrairement; le point E est ensuite facile à déterminer. Traçant les droites BD, BE, FD, FE et DE, on a deux surfaces planes triangulaires BED, FED, sur lesquelles on obtient aisément des lignes de niveau.
Pour limiter la figure, nous avons supposé que les plans X et x étaient arrêtés à un plan vertical ii' perpendiculaire à ceux qui projettent les droites AB et G; l'intersection des plans X etcc par ce plan a été rabattue. Une disposition analogue a été adoptée pour les plans Y et j-.
285. Deuxième EXERCICE. — Une plaie-forme honz-ontale et rectangulaire ABCD (Jîg. i58) est élevée Jusqu'à une cote donnée S"^, 35, au-dessus d'un terrain uni dont on connaît l' échelle de pente P. Elle se relie à ce terrain par des talus plans ; ceux qui correspondent aux côtés AB et CD sont inclinés à 1 de hauteur pour 2 de base, et les autres à 1 de hauteur pour 3 de base. On demande de représenter les intersections des talus entre eux et avec les surfaces du sol, et de tracer sur eux les lignes brisées qui prolongent les horizontales cotées du plan.
Les droites AB et CD sont des horizontales des plans des talus correspondants. La pente de ces talus étant l;, l'intervalle est 2°', et {'intervalle réduit pour des horizontales échelonnées de o™, 2 5 en o"", 25 est o"", 5o. Il est donc facile de tracer les échelles de pente pour ces deux talus; on opère de la même manière pour les autres, en observant que l'intervalle est seulement i'",5o.
Les points de rencontre des horizontales de même cote, des talus et de la surface du sol, et de deux talus contigus font connaître les droites d'intersection cherchées.
284. Troisième exercice. — Une plate-forme horizontale et rectangulaire ABCD {/ig- i56) est placée à une cote donnée i']™,5o, partie en remblai et partie en déblai.
