CHAPITRE I". — PERSPECTIVE AXONOMÉTKIQUE. l4l

ne reproduisent pas exactement l'apparence des objets, mais ils l'ont comprendre l'agencement de leurs diverses parties, et ils permettent, dans bien des cas, de restituer lesy?i^Mrei- gcomélrales : c'est ainsi qu'on appelle le plan, les élévations et les coupes.

Notions générales sur la perspective uxononiétrique.

292. La perspective axonométrique est une projection orthogonale faite sur un plan oblique aux directions principales dont nous avons parlé. On la dispose de manière que les droites verticales dans l'espace soient représentées par des droites verticales sur la figure.

Pour faire une perspective axonométrique d'un objet dont on a les figures géométrales, on choisit trois axes respectivement parallèles aux trois directions principales, on se donne leurs projections Sj:, Sj et S: {fig- lyS), et on détermine les angles a, è et c qu'ils forment avec le plan de la figure (art. 82).

Les coordonnées de chacun des points que l'on veut représenter peuvent être aisément déterminées sur les figures géométrales; la direction des projections des droites principales est connue, et il est facile d'obtenir leur grandeur réduite d'après leur inclinaison. La construction d'une perspective axonométrique se réduit ainsi à des opérations très simples.

295. Pour opérer d'après des données numériques, il faut avoir des échelles. On établit d'abord et arbitrairement l'échelle des vraies grandeurs : elle sert à déterminer le rayon d'un cercle qui représente une sphère, l'écartementde deux droites qui forment le contour apparent d'un cylindre de révolution, le grand axe d'une ellipse perspective d'un cercle, et en un mot toutes les longueurs qui ne sont pas réduites par la projection.

On prend ensuite sur les droites A, S', B', S' et G'S' {fig. lyS) des segments A', M', B, N' et C'P' égaux h l'unité, et, les projetant sur XY, on a la grandeur réduite de l'unité sur les projections des trois axes, ce qui permet d'établir des échelles pour les longueurs qui leur sont respectivement parallèles.

Quand les directions des axes sont données sur la figure, l'une quelconque des échelles détermine les trois autres. On peut ainsi choisir arbitrairement la longueur qui doit représenter l'unité dans la direction de l'un des axes; on en déduit la longueur de l'unité d'abord dans l'espace, car il faut supposer qu'on a modifié la grandeur des objets avant de les projeter, et ensuite sur le plan de projection, dans la direction de chacun des deux autres axes.

Ainsi, si l'on veut qu'un mètre sur l'axe dont la projection est Sj soit représenté par une longueur B', N, on tracera la droite NN' perpendiculaire à XY, et l'on déterminera ainsi la grandeur B',N' que doit avoir une longueur égale à i™

l42 LIVRE IV. — PERSPECTIVES AXO.NOMÉTRIQUE ET CAVALIÈRE.

sur l'objet dans l'espace. Prenant ensuite des segments A', M' et C'P' égaux à B', N', on trouvera que les longueurs qui doivent correspondre à i'" sur les axes Aaet As sont a; M et C'P.

294. Quelquefois on se donne, non la direction des axes sur la figure, mais les grandeurs qui doivent représenter l'unité dans la direction de chacun d'eux.

Appelons m, n etp ces longueurs, a, b etc les angles des axes avec le plan de projection, et k la grandeur de l'unité dans l'espace, c'est-à-dire la longueur qui, portée sur l'un ou l'autre des trois axes, est réduite parla projection à m, n ou p. Nous avons

Acosa^ni, /,co&lj = ri, /.•cosc=/>.

Les trois axes étant rectangulaires, la somme des carrés des cosinus des angles qu'ils font avec une droite quelconque telle que (S, *S') (/ig- lyS) est égale à i, et par suite la somme des carrés des cosinus des angles complémentaires a, b et c qu'ils font avec le plan do projection est égale à 2 :

cos-a + cos'-b -+■ cos'-c ^ 2; donc

««,/< et/> étant connus, on obtient/par une construction très simple(/?^. 174). et l'on a l'échelle des vraies grandeurs; on détermine ensuite les angles a, b et c par des triangles rectangles, tels que iMM'A',, NN'B',, PP'C.

Les inclinaisons des trois axes étant déterminées, il est facile d'obtenir les angles que comprennent leurs projections en établissant la /z^''. 170 par une construction en ordre inverse de celle que nous avons donnée à l'article 82. On trace une droite XY dans la direction que l'on veut donner aux verticales, on élève une perpendiculaire .$S' d'une grandeur arbitraire, on trace par le point S' les droites S'A',, S'B', et S'C qui rencontrent XY sous les angles o, b et c, puis la droite SV/', perpendiculaire à S'C On place le point S sur le prolongement de la droite S'.y. Le reste de la construction n'a pas besoin d'explication.

295. En faisant disparaître k de la valeur de cose/, on obtient

Pour que l'angle a soit réel, il faut que rir soit plus pt^tit que tr +/'". Si cette condition n'était pas satisfaite, le triangle rectangle qui fait connaitre l'angle a ne pourrait pas être construit, car l'hypoténuse â: serait plus petite que le côté/». On ne trouve un système de trois inclinaisons réelles que quand chacune des quantités /;/*, n'^ et//- est plus petite (|ne la somme des deux autres.