Mais la nature des procédés analytiques qui con

SURFACES-ENVELOPPES

duisent aux résultats précédents a fait adopter la définition générale suivante.

Une siirfaceenv^eloppe est le lieu qui contient toutes les intersections qui résultent des positions successives d’ une surface mobile, constante ou variable de forme.

On donne le nom d' enveloppée à la surface mobile dans chacune de ses positions.

Ldntersection de deux enveloppées consécutives est la caractéristique de 1 enveloppe .

942. Cette définition embarrasse ordinairement les commençants; ils ont de la peine à reconnaître dans certains cas particuliers de surfaces-enveloppes les caractères par lesquels ils se rattachent au cas général.

Soit, par exemple (/%. 521), la surface AA' à laquelle nous avons donné le nom d’ellipsoïde de révolution.

Supposons que l’on fasse mouvoir le sommet d’un cône circulaire suivant la droite aa' , et qu’en meme temps l’angle au sommet de ce cône varie de telle sorte, que sa génératrice soit toujours tangente à la section méridienne de la surface A; il est certain que deux de ces cônes consécutifs et infiniment rapprochés se couperont suivant un cercle perpendiculaire à l’axe, et la surface de l’ellipsoïde sera le lieu de tous ces cercles.

Or, d’après la définition précédente, les divers cônes mobiles et variables se nommeront enveloppées, et la surface de l’ellipsoïde sera l’enveloppe. Ainsi dans cet exemple la surface-envelopj)e est limitée en tous sens, tandis que l’enveloppée ne l’est pas. L’enveloppe se trouve circonscrite par l’enveloppée.

943. Il résulte de là qu’il ne faut attacher aux dénominations précédentes qu’un sens analytique et général , indépendant des applications particulières, et que dans tous

SUKFACKS-ENVELOPPES.

-ils

les cas Y enveloppe est Le lieu géométrique des intersections successwes de Vem^eloppée ^ de sorte que l’enveloppe touche ou est touchée par toutes les positions successives de l’enveloppée , mais ne les ern^eloppe pas toujours, suivant le sens que l’on attache vulgairement à ce mot.

Les mêmes réflexions se reproduiront en examinant la génératrice suivante de la même surface A, A'.

Supposons une surface cylindrique horizontale ayant pour directrice l’ellipse o'w; faisons tourner ce cylindre autour de la verticale aa' ; les positions consécutives du cylindre générateur étant infiniment rapprochées , les intersections successives ne différeront pas de l’ellipse oV /jui sera la caractéristique de l’enveloppe : le cylindre mobile qui est ici l’enveloppée se trouve encore circonscrit à l’ellipsoïde, qui, d’après la définition générale, représente l’enveloppe.

945. Surfaces développables , Parmi les cas particuliers de surfaces-enveloppes, nous distinguerons celui où l’enveloppée est un plan [fig^ 522) ; alors la caractéristique est une ligne droite, puisqu’elle provient de l’intersection de deux positions consécutives du plan mobile ; et l’enveloppe, lieu de toutes ces caractéristiques , est une surface réglée.

946. Cette surface jouit toujours de la propriété d^étre développable, car deux caractéristiques consécutives étant les intersections d’un même plan avec celui qui précède et avec celui qui suit , ces deux droites se couperont toujours, ce qui est le caractère des surfaces développables (810).

La courbe mnou, cjui passe par tous les points d’intersection des caractéristiques successives, forme l’aréfe c/e rebroussement.

Les droites a,^b,c,d,, sont .tangentes à la courbe mnou (823).

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Nous allons étudier quelques exemples particuliers de surfaces-enveloppes.

947. Si l’on fait mouvoir une sphère d’un rayon donné, de manière que son centre parcoure une hélice à base circulaire, on obtiendra une surface-enveloppe connue, dans les arts de construction , sous le nom de uis Saint-Gilles.

Si l’on voulait projeter cette surface , il suffirait de construire un certain nombre de positions du grand cercle, dont le plan est perpendiculaire à l’hélice.

Souvent on préfère projeter les hélices parcourues par chacûn des points de ce grand cercle.

Soit [fig. 523) a' le centre de la sphère mobile, on construira au point a' la tangente de riiélice (347), et la droite a!s perpendiculaire à cette tangente sera la projection du demi-grand cercle dont le plan est perpendiculaire à la direction de cette courbe ; l’inclinaison du cercle générateur étant connue, il sera facile de le construire , dans telle position que l’on voudra. Les trois lignes {psq^p's'q') sont trois positions principales de ce cercle , et les hélices tracées sur la fig. 523 sont celles parcourues par les trois points pp\ qq\ ss\

948. L’épure 524 représente une vis Saint-Gilles engendrée par un demi-cercle vertical.

949. Si le pas de l’hélice diminuait, la surface se rapprocherait de celle du tore ou surface annulaire (657).

Plans tangents y surfaces normales.

950. Supposons [fig. 526) quen un point aa' donné sur la surface^ on veuille construire un plan tangent; on prendra pour première tangente celle qui touche en [ad) le

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cercle vertical m'a'n', générateur de la surface donnée. La tangente à l’hélice qui passe par le même point complétera la détermination du plan tanü;ent. En construisant le triangle a!b'c\ tel que l’on ait a'b' égal à trois huitièmes du pas de l’hélice , et Vc' égal à trois huitièmes de la circonférence a/l, l’hypoténuse a!c sera la tangente à l’hélice, rabattue sur le plan p” parallèle au plan vertical ; le point où cette tangente perce le plan horizontal , étant projeté en P» et ramené en w, on aura au pour la projection horizontale de cette tangente; de sorte que la droite ou sera la trace horizontale du plan tangent. Quanta la trace verticale, elle sera parallèle à la droite a'o\

951. La droite {an,a'n') menée par le point aa', perpendiculaire au plan tangent, sera une normale.

952. Si par chaque point de l’hélice ash^aJs'h' , on construit une normale, la surface qui contiendra toutes ces lignes sera une surface normale.

Il n’est pas nécessaire pour chaque normale de construire les traces du plan tangent. En ellet, par suite de la forme régulière et constante de la surface, quelle que soit la hauteur du point de tangence, les tangentes, le plan tangent et la normale conserveront toujours la même position relative; de sorte que les projections horizontales de ces lignes ne changeront pas et ne feront que tourner du point A. De là résulte cette construction.

On abaissera du centre une droite A^, perpendiculaire sur la projection de la première normale, et décrivant la circonférence zxj.^ toute tangente à cette courbe sera la j)rojection horizontale d’une normale. On élèvera la perpendiculaire jusqu’à la projection verticale de la normale cin\ et l’on construira l’hélice ( 2a:, zV) , sur laquelle

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on déterminera les points où elle est rencontrée par chacune des normales.

La surface que l’on obtiendra sera réglée: la génératrice s’appuie sur les deux hélices (^ash.,a!s'h'){zx,z'x') et touche constamment le cylindre qui contient la dernière.

953. Si l’on voulai t donner à toutes les normales la même longueur, on les terminerait aux pointsoù elles rencontrent un cylindre droit ayant pour trace horizontale une circonférence telle que nd.

95^. Développement. Dans l’industrie, beaucoup de corps sont terminés par des feuilles minces en tôle, ferblanc, carton , etc.*, souvent même, quoique la matière soit solide, on en détermine le contour en appliquant sur les faces planes ou courbes des figures découpées auxquelles on fait prendre la courbure de ces faces, et que l’on nomme panneaux on patrons. C’est donc un problème important que celui qui a pour but d’obtenir le développement des surfaces.

Nous avons déjà vu que les surfaces cylindriques et coniques se développent exactement; cela provient de leur caractère de surfaces développables (810).

Les surfaces de révolution se développeront approximativement en les partageant soit par zones, soit par fuseaux (528, 671).

Il ne nous reste donc plus qu’à trouver un moyen de développer approximativement certaines portions de surfaces réglées ou enveloppes.

11 est évident que cela revient, étant donnée une certainesurface ou portion de surface, à trouver une surface développable qui diffère le moins possible de la surface proj)Osée.

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955. Je prendrai pour exemple la surface normale que nous venons de construire dans l’exemple précédent.

Soient les mêmes données ( fig, 527) , on opérera comme précédemment pour obtenir les deux premières normales {an^a'n!) (cm,cV); ensuite on construira les deux cordes {ac,a'c') (co,c'o'), etc.

Gela posé, concevons un plan par la normale (an.a'rt) et la corde (ac,aV), un second plan par la seconde normale et la seconde corde, un troisième plan par la troisième normale et la troisième corde, etc. Gn pourra considérer tous ces plans comme les positions successives d’un plan mobile qui dans son mouvement engendrerait une surface développable (940) difl’érant |)eu de la surface donnée ; en effet, la surface normale se compose de petits quadrilatères gauches tels que {ancu) [a'n'c'n)^ et trois angles de chacun de ces quadrilatères étant situés dans le plan mobile correspondant, il y aurait peu de différence entre les deux surfaces, surtout dans le voisinage de Thélice (aco, a'c’o') , ce qui est essentiel.

Si les arcs (ac, a'c') (co,cV) devenaient infiniment petits, le plan mobile serait dans chacjue position tangent à la surface normale, et Ton obtiendrait une surface développable tangente à la surface normale dans toute l’étendue de l’hélice (aco... a'cV) (940).

Pour obtenir cette surface on construira un plan horizontal p. Ce plan coupe le premier plan mobile suivant et le second suivant (uz^u'z’); et l’intersection xx’ de ces deux droites appartient à la droite (cjc, c'x’') qui sera la caractéristique de l’enveloppe cherchée.

En construisant un certain nombre de projections horizontales de cette ligne, et opérant du reste comme nous l’avons fait pour la normale, on obtiendra facilement les projections verticales correspondantes.

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956. La surface que nous venons de construire est connue sous le nom à'hélicoïde développable (826); chacune de ses j^énéralrices est tangente à une hélice ayant pour base le cercle dli.

La figure 528 représente le développement de la surface précédente; pour l’obtenir on construira chaque quadrilatère dans sa véritable grandeur ; les courbes sont

des arcs de cercle (830).

957. En général, poMr développer approximativement une surface quelconque ^ on la partagera en zones de peu de largeur; puis , après avoir construit des plans tangents par tous les points de la courbe moyenne de chaque zone , on développera la surface-enveloppe résultant de cette suite de plans tangents.

Sections et intersections.

958. Nous n’entrerons pas ici dans le détail des constructions nécessaires pour obtenir les sections par des plans ou des lignes; ce ne serait qu’une répétition de ce que nous avons dit sur l’application des principes 634 et 640.

Nous nous bornerons à un seul exemple de pénétration.

959. Supposons {Jig. 525) que le demi-cercle psq soit pris pour la génératrice d’une vis Saint-Gilles; on veut avoir la courbe de pénétration de cette surface par le colloïde dont les directrices sont la verticale uu\ la demiellipse (kdhfd'N), et dont la génération serait parallèle au plan horizontal, le rayon vertical od de l’ellipse étant égal au rayon du cercle abc.

Parmi tous les moyens qui résultent du principe général 635, on peut employer le suivant.

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Un cylindre vertical à base circulaire G coupera la surface de la vis suivant une hélice et la surface du conoïde suivant une courbe b' , et les intersections de a! et P donneront les points m de la courbe; on recommencera pour avoir d’autres points.

La courbe b' se construit en élevant des perpendiculaires par les points stiivant lesquels la trace du cylindre G coupe les projections horizontales des génératrices du conoïde.

rfX DE LA GÉOMIÎTIllK DESCRIPTIVE.