Trouver l intersection de deux droites

Nous avons vu (hk) conimenl on rcconn.iît que deux lignes droites se coupent, et dans ce cas leur intersection est toute trouvée ; elle a pour projections les points suivant lesquels se coupent les projections des deux droites.

30. Peux plans étant donnés par leurs traces, construire leur intersection.

L3ntersection de deux plans étant une ligne droite, il suffit de tiüuver deux points de cette ligne pour qu’elle soit déterminée ; or ( 33 , ok , PI. 7 ) i îe point vj inter-

section des traces verticales, est un point commun aux deux plans, donc il appartient à leur intr r eciion ; mais , comme faisant partie des traces verticales, i! (st nécessairement situé dans le plan vertical de; projection , et par con^ sétjuent sa projeelion horizontale r» sera sur la ligne AZ. Par la meme raison, le point h, intersection des traces horizontales, faisant partie du plan horizontal de projection, sa projection verticale li sera sur la ligne AZ.

Il ne reste plus maintenant qu’<à tracer (3V) la droite cjui passerait n.ar les deux poi nts [v. v) et (A, li).

On peut s’assurer, par le moyen indiqué (^1), qu’un point quelcoinj e de la droite [vh i {vh') est situé en meme temps dans le deux [dan';. On conclura de ce (jue nous venons de fl ire, qu’en général ,

60. Pour obtenir rintersection de deux plans dont on a les traces , il faut . par le point d'intersection des traces verticales abaisser une perpendiculaire a la ligne AZ, et joignant le pied de cette perpendiculaire avec le point de rencontre des traces horizontales on aura la projection horizontale de la ligne demandée -, puis, du point

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oii les traces horizontales se rencontrent , on abaissera une perpendiculaii e sur la ligne AZ; et joignant le pied de celle perpendiculaire a^^ec le point de rencontre des traces verticales ^ on aura la projection verticale de cette même ligne.

61. Cette question est une de celles qu’il faut s’exercer à résoudre dans tous les cas. J’engage le lecteur h changer de toutes les manières possibles la position des plans donnés. Dans la figure oi-^par exemple, les deux traces horizontales se rencontrent derrière le plan vertical.

62. Dans \r figure 55, la projection horizontale de la ligne cherchée se confond avec la trace de l’un des plans donnés , qui est perpendiculaire au plan horizontal , et qui , par cette raison ,devient.le plan projetant de l’intersection. Nous ferons souvent , usage de cette combinaison de plans.

63. Dans la figure 56, l’un des plans donnés est horizontal ; d’où il résulte que la ligne cherchée et la trace de l’autre plan doivent être parallèles , puisqu’elles sont les intersections de deux plans parallèles par un troisième ( Géom.). Dans ce cas, le point hh' est situé à l’infini.

Les figures 57 et 58 sont encore des cas particuliers du même problème. Dans la dernière , les deux plans proposés sont parallèles à la ligne AZ , et leur intersection s, s\ aussi parallèle à AZ,se projette sur le plan auxiliaire de projection par un point 5",

64. Voici encore quelques cas du même problème, qui méritent toute notre attention.

Si les deux plans proposés , que je nommerai p et p\ étaient disposés comme dans la fig. 59, PL 8 5 ü est évident que les quatre points A, /i'), qui d’après le principe (60) nous ont servi à déterminer les projections de

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l’intersection des deux plans, se trouvant confondus en un seul poit m , ils ne suffiraient plus pour faire connaître la direction de cette ligne ; mais comme, dans ce cas , le point m de la ligne AZ est un point commun aux deux plans , les deux projections de la ligne cherchée doivent y aboutir. Il n'y aura donc plus qu’à déterminer sa direction ; pour cela , on construira le plus loin possible du plan p\ un plan p" qui lui sera parallèle , puis cherchant (60) l’intersection des plans P et p" , on aura une ligne {t,t') parallèle à la ligne cherchée comme intersection de deux plans parallèles par un troisième plan {Géom.). Il n'y aura donc plus qu’à mener par le point m deux lignes msy ms', parallèles aux lignes t et t'. Ces droites seront les projections demandées.

On pourrait encore recourir à ce moyen , si {fig. 60) les quatre points A, /i') étaient tellement rapprochés,

que la direction de la ligne cherchée ne pût pas être déterminée avec exactitude.

65. Enfin, il peut arriver que l’un des points d’intersection des traces ou tous les deux soient situés hors de l'épure.

Soient {Jig. 61) les deux plans p et p' dont on demande l’intersection; on a déjà le point [h,]i) qui a))parlient à cette ligne ; il ne reste plus qu’à trouver un second point commun aux deux plans ; pour cela , on construira un j)lan auxiliaire p”, que l’on prendra horizontal pour plus de simplicité. Ce plan p" coupera le plan p suivant une ligne a parallèle à sa trace (63), et le plan p' suivant une ligne b; de plus, ces deux lignes a et û étant toutes deux dans un même plan p” , se couperont en un point m qui ap[)artiendra aux deux plans donnés, puisqu’il sera situé sur des lignes faisant partie de ces plans. Le point m appartenant au plan horizontal p” , sa projection verticale sera en m', de

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sorte que les deux lignes /iw, ]ini\ seront les deux projections de la ligne demandée.

66. Si les points A// étaient tous deux hors de l’épure il faudrait faire deux fois la construction précédente ; seulement , pour avoir le plus grand éloignement possible (54) entre les deux points mm\nn\ qui déterminent la ligne cherchée, il faudra prendre l’un des plans auxiliaires p" horizontal, et l’autre p"' parallèle au plan vertical de projection , tous deux le plus loin que l’on pourra de la ligne AZ. On pourrait employer le même moyen dans le cas des figures 59 et 60.

67. Déterminer le point d'intersection de trois plans donnés.

Soient p-tp\p" les trois plans donnés; nommons m le point cherché.

Ce point devant appartenir aux deux premiers plans, sera sur leur intersection , que je nommerai s , et que l’on obtiendra par la construction (59). Par la même raison , le point m devant appartenir aux plans p' et p”, sera sur leur intersection, que je nommerai h. Donc le point cherché devant être en même temps sur les lignes 5 et A , sera où ces deux lignes se coupent.

On conçoit que si l’on cherche l’intersection des plans P et p'\ cette ligne, que nous nommerons u, doit passer par le point m; ce qui donne un moyen de vérifier l’exactitude des opérations précédentes.

68. Une des difficultés qui arrêtent le plus les commençants dans l’étude de la géométrie descriptive, provient des efforts qu’ils font pour se figurer la ])Osition, dans l’espace, des lignes et des surfaces sur lesquelles ils opèrent. Mais, je l’ai dit plus haut, cela n’est pas nécessaire, cette manière d’agir est même contraire à l’esprit d’analyse. On

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conçoit, en effet, que lorsqu’on cherche Tintersection de deux plans, on doit opérer en conséquence des relations générales qui ont lieu lorsque deux plans se coupent, et non pas d’après la position particulière de deux plans plutôt que de deux autres. Ainsi, celui qui veut faire une opération de calcul, s’occupe davantage de la manière générale d’opérer que de la valeur des chiffres qu’il a sous les yeux dans la question proposée.

Dans le dernier problème que nous venons de résoudre, par exemple , il ne faut pas chercher à voir dans son imagination tel plan plutôt que tel autre; il n’est pas nécessaire de cherchera reconnaître si le plan p est plus incliné que le plan p' ; il suffit d’opérer comme nous l’avons fait , en appliquant deux fois de suite le principe de l’intersection de deux plans.

Si toutefois on voulait familiariser son imagination avec les conceptions géométriques, et se représenter dans l’espace les données de la question , il faudrait concevoir, non pas nécessairement les trois plans donnés , mais trois plans quelconques inclinés comme on voudra. On sait qu’en général ces trois plans formeront, par leurintersection , un angle trièdre , qui aurait pour sommet le point cherché , et dont les trois droites 5, /c et w seraient les arêtes.

69. On voit encore que si les trois droites données par la construction de l’épure étaient parallèles , cela indiquerait que les trois plans sont disposés comme les faces d’un prisme triangulaire, et que le point ni est situé à l’infini. Enfin,

Si deux des plans donnés étaient parallèles, deux des trois arêtes seraient parallèles, et la troisième n’existerait pas.

J’engagerai cependant les commençants à s’habituer à juger, par l’inspection de l’épure, de la position des éléments géométriques qui y sont représentés; mais c’est ce

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qu'ils ne doivent faire que lorsque la question est complètement résolue dans la pensée, et tout au plus avant de commencer l’épure, afin de trouver les moyens les plus simples d’exécution.