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Projection oblique des poly èdres.

173. 11 arrive quelquefois dans rarchitecLure , et souvent dans les dessins de machines, que Ton a besoin de projeter un corps solide dans une position inclinée par rapport aux plans du projection. On pourrait placer d’abord le corps dans cette positionnel chercher ensuite à construire la projection par les moy ens que nous avons indiqués plus haut; mais il est presque toujours plus facile d’opérer comme il suit.

On plaicra d’abord le corps dans la position la plus si tu pie (t la plus favorable à la construction de ses projections; puis, par deux mouvements parallèles aux plans de projectior) , on l’amènera dans telle position inclinée que l’on voudra.

Soit, par exemple (y%. 155, PL 25), une droite {ab,a!U) perpendiculaire au plan horizontal de projection :

Si l’on suppose que cette droite tourne autour de l’horizontale projetante du point {ao!) en restant parallèle au plan vertical , on pourra l’incliner de manière qu’elle fasse tel angle que l’on voudra avec le plan horizontal ; dans ce premier mouvement, le point [hb') décrira un arc de cercle (Z>c, b'd) \ faisant ensuite parcourir au point [ce) l’arc horizontal (cr/, , l’angle avec le plan horizontal n’aura

pas changé , et il est évident que par ce double mouvement on pourra faire prendre tà la droite telle position inclinée (jue l’on voudra.'

17^1. C’est par ces moyens que l’on a construit [Jig. 154^) les projections d’un parallélipipède rectangle incliné par rapport aux plans de projection.

Après avoir construit les projections verticale et horizontale, que je désignerai seulement par les lettres

PL, 25. POLYÈDllES. 91

pincées aux extrémités de rime des diai^onales du solide , on a supj)Osé (jue ce corps tournait autour de l’horizontale projetante du point a et parallèlement au plan vertical, Jusijua ce qu’il soit venu prendre la position inclinée a!c\ Par ce premier mouvement , le point ni est venu se placer en n\ et le corps étant resté parallèle au plan vertical , sa projection sur ce plan n’a fait que changer de position; de sorte que, pour avoir sa nouvelle projection verticale, il a suffi de construire sur a!n' un rectangle a'n'c'q' = n'm'b'p' . Les arcs de cercle décrits par chacun des sommets étant parallèles au plan vertical, se projettent horizontalement par des droites parallèles à la ligne AZ ; les intersections de ces droites avec les per|;entliculaires abaisséés de la projection verticale a'n'c'q’ sont les sommets de la nouvelle projection horizontale du solide.

Supposons actuellement que nous faisons tourner le corps autour de la verticale du point le point //w' décrira l’arc horizontal (no, n'o'). Ce second mouvement se faisant parallèlement au plan horizontal, la position du corps, relativement à ce plan, est toujours la même, de sorte que la projection horizontale ne fait que changer de place, et pour l’obtenir il suffit de construire de nouveau cette projection, de manière seulement que la ligne «/i soit dans la position ao. Quant à la projection verticale correspondante, on l’obtient en élevant de tous les points de la nouvelle projection horizontale, des perpendiculaires jusqu’à la rencontre des arcs horizontaux parcourus par les sommets du solide dans le second mouvement, et représentés par les lignes horizontales passant par les sommets de la projection ti'ticq’ .

175. On peut encore arriver au même but par un autre moyen. IN'ous avons, dans l’exemple précédent, changé la position du corps par rapport aux plans de projection : on

préfère souvent , nu contraire, changer la position du plànde projection par rapport à celle du corps. Soit a, a' {fig. 1 58), les deux projections d’un point donné. On veut avoir la projection de ce point sur le plan vertical p , on abaissera du point donné une perpendicultiire sur le plan et le pied de cette perpendiculaire sera la projection demandée. Ce point se projettera horizontalement en b. Il est inutile de construire la projection verticale U , qui ne servirait à rien; mais pour mieux apprécier sa position sur le plan vertical p, on supposera que ce plan tourne autour de sa trace verticale comme charnière, pour se rabattre sur l’é- ])ure. Dans ce mouvement, le point Z;' décrira un arc horizontal, et viendra prendre la position h"; on pourrait aussi rabattre le plan p sur le plan horizontal , en le faisant tourner autour de sa trace horizontale; alors le point hb' viendrait se placer en b'" , que Ton obtiendrait en faisant bb'" égal à la hauteur du point donné au-dessus du plan horizontal.

17G. Dans les figures 156, 157, 159, on s’est proposé de construire les deux projections d’une croix inclinée par rapport aux plans de projection.

Après avoir obtenu la projection inclinée abcd ^ on a construit les tr.aces du plan vertical sur lequel on s’est proposé d’ol)tenir la nouvelle projection; puis, après avoir abaissé de tous les angles du solide des perpendiculaires à ce plan , on l’a fait tourner autour de l’une de ses traces, pour le rabattre sur l’un ou sur l’autre des deux premiers plans de projection. La fig. 157 représente la nouvelle projection rabattue sur le plan vertical, et-dans la /z^. 159, elle est rabattue sur le plan horizontal.

177. Il arrive assez souvent, surtout, comme je l’ai dit plus haut, dans les projections des machines, que l’on soit

conduit à jirojetcr quelques-unes de leurs pièces dans une ])Osition inclinée, afin de faire mieux concevoir comment ces pièces agissent les unes sur les autres, par suite du mouvement qui leur est communiqué; mais il arrive encore plus souvent que les mêmes procédés soient employés pour résoudre le problème inverse; c’est-à-dire qu’étant données deux projections d’un corps incliné dans l’e'spacc , on remplace les plans coordonnés primitifs par d’autres sur lesquels les projections de ce même corps sont plus simples, et par conséquent plus commodes pour la solution des questions subséquentes. Ce cas devant se présenter souvent par la suite, et les moyens qu’il faut employer ne dilTérantpas de ceux que nous venons d’indiquer, nous ne nous y arrêterons pas pour le moment.

Surface des polyèdres.

178. Développer la surface d\in polyèdre. On dit y\i une surf ace est développable , lorsque toutes les parties de cette surface peuvent s’étendre sur un plan sans déchirement. D’après cela, les surfaces de tous les polyèdres peuvent se développer.

Soient ( /ig. 160, PL 24)> deux projections d’une pyramide quadrangulaire ; on construira (35) la véritable longueur de chacune des arêtes, ce qui donnera le moyen de construire {fg. 161) les faces triangulaires had,hdcy bec^ bca; quant à la surface quadrangulaire accd, on la partagera en triangles par la diagonale «e, puis on construira les deux triangles ace, aed , qui composent cette face. On agirait de la même- manière quel que fût le nombre des côtés.

179. Lors(|u’on disj)Osera les données de cette é[)ure, d ne faudra pas placer au Lazard les quatre sommets du

l>OLYEl)Kl':S.

(juadrilalère accd,a'c'e d\ parce qu'en agissantde la sorte il est probable que ces sommets ne seraient pas dans un meme plan. Pour satisfaire à cette condition , il faudra construire les deux diagonales et s’assurer qu’elles se coupent ( kh).

La meme remarque doit s’a|)plif{uer aux projectioni d’un polygone quelconque.

180. Lorsqu’il y a dans le polyèdre que Ton se propose de développer, quelques relations de régularilé ou de sy mélrie , on doit en profiter pour donner au développement plus d’exactitude et de simplicité. Les dé ve!opj)ements des polyèdres réguliers offrent un exemple de ce que je viens de dire. La fig. 163, qui représente le développement d’un tétraèdre régulier^ n’est autre chose qu’un triangle équilatéral dont chacjue côté est partagé en deux parties égales. Le développementde l’oc^aè^/re / est inscrit (//^. 164 )

dans un parallélogramme composé de deux triangles équilatéraux, et dont les côtés sont partagés en trois parties égales; et celui de \ icosaèdre {fig- 165) est inscrit dans un parallélogramme dont les côtés sont partagés en cinq parties égales. Le développement àxxcuhe ouhexaèdre régiiJ ier est inscrit dans un rectangle dont la base est à la hauteur conime k est à 3. Enfin , pour obtenir le développement du dodécaèdre régulier, on construira deux grands pentagones réguliers égaux et disposés comme on le voit dans la fig. 167; puis, en menant toutes les diagonales de ces pentagones, on obtiendra, par leur intersection, deux autres petits pentagones placés au centre des premiers, et dont les diagonales prolongées détermineront toutes les faces du dodécaèdre.

Chaque côté de l’un des deux grands pentagones doit être égal à deux fois l’arète du dodécaèdre (jue l’on veut dévelop[)er, plus le plus grand segment de cette arête partagée en moyenne et c.xtrême raison.