CHAPITRE y

Pi'ojecùoii des Polyèdres.

164 . On sait ( (7éom.) que les polyèdres sont des corps terminés par des faces planes. 11 résulte de là c[ue les dimensions d’un polyèdre seront parfaitement connues dès que l’on connaîtra la position relative de ses sommets; car la position des sommets déterminera celle des arêtes, et les arêtes détermineront les faces.

On voit donc, que pour projeter un polyèdre il sufïira de projeter tous ses sommets. Mais comme, en représentant sur une épure toutes les dimensions d’un corps que l’on se

propose (rexécuter, on doit prévoir le moment où il faudra obtenir, d’après le dessin, les véritables grandeurs des diverses parties de ce corps pour les transporter sur la matière dont il doit être composé, on doit, autant (jn’on le peut, choisir le système de plansde projection le plus propre à atteindre ce but. Ainsi, par exemple, s’il s’agit d’un j)risme, on placera [ fig. 146, PL 22) une deses bases abcde <lans le plan horizontal , et l’on prendra pour second plan de projection un plan vertical parallèle aux arêtes; puis, après avoir construit la projection horizontale de la base supérieure, on élèvera, par chacun des sommets de cette projection , des perpendiculaires jusqu’à ce qu’elles rencontrent le plan horizontal p, dont la position est déterminée par la hauteur que l’on veut donner au prisme que l’on projette.

On voit qu’au moyen de la précaution que l’on a prise de placer les bases du prisme horizontalement , et les arêtes parallèles au plan vertical de projection , toutes les arêtes de ce corps seront projetées sur l’un ou l’autre plan de projection dans leur véritable grandeur.

165. Les figures obtenues par la méthode des projections didèrent essentiellement des formes apparentes sous les- (j Lie! les les corps se présentent ordinairement à nos yeux. Nous verrons la raison de cette dilférence lorsque nous nous occuperons de la perspective. Cependant, pour rendre plus facile à concevoir les projections des corps solides , on est convenu que l’on regarderait certaines lignes comme vues, et d’autres comme étant cachées, et que pour les distinguer on tracerait en plein les lignes vues, et que Ton ponctuerait les lignes cachées. Pour cela on suppose, lorsqu’on regarde la projection horizontale d’un corps, que l’œil est placé au-dessus de ce corps à une distance infiniment grande, et lorsqu’on regarde la projection verti-

P()!.VE1)KKS.

cal(î, 011 esL (’fnipô ôtr(ï placé devant le plan vertical , et inliniinenl loin de ce plan. Cette süp])osilion d’une distance iniinie est nécessaire ; car sans cela , comme nous le verrons plus tard, la forme apparente d’un corps ne serait pas la meme que sa projection.

Cette convention nne fois adoptée, nous dirons qu’une li^ne est vue , lorsqu’un point quelconque partant de cette ligne peut s’éloigner infiniment du plan de projection , et suivant une perpendiculaire à ce plan, sans rencontrer la masse d’aucun corps solide , et dans le cas contraire la ligne est cachée.

Ainsi ,par exemple, si les deux lignes(â[a', bb’) 1^7) étjiient deux arêtes du même polyèdre , la première serait cachée dans la projection horizontale. En elièt, si on trace la verticale du point iti ^ i! est évident qu’elle coupera les deux droites données aux points m', m". Or le dernier de ces deux points appartenant à la droite bb\ on en conclut que cette ligne passe au-dessus de aa\ et (|ue , par conséquent, la projection horizontale de cette dernière droite <loit être tracée en points. Par un raisonnement analogue, on reconntiîtrait que la projection verticale de la ligne {bb') doit être ponctuée.

16G. Si l’on voulait projeter une pyramide [fg- on placerait la base dans le plan horizontal, puis on construirait en s la projection horizontale du sommet dont la projection verticale s' serait déterminée |»ar la hauteur que l’on veut donner a la pyramide.

On conçoit (ju’ici on ne peut placer qu’une ou quelquefois deux des arêtes obliques, parallèlement au plan vertical.

167. INous avons supposé jus(ju’ici (|ue l’on projetait un polyèdre dans l’intention de l’exécuter ensuite; mais assez souvent le corps existe déjà lorsque l’on se propose d’en obtenir les projections.

POLYEDRES.

Ainsi, par exemple, s’il s’agissait de dessiner les projections d’un monument ou d’une machine , on commencerait par mesurer toutes les dimensions des lignes horizontales et verticales, que l’on reporterait ensuite sur l’épure, soit dans leur grandeur véritable, soit réduites d’après un rapport donné; puis, au moyen d’un fil è plomb ou d’une équerre ])lacée verticalement , on déterminerait les pieds des perpendiculaires abaissées des points qu’il serait essentiel de projeter; et, mesurant les hauteurs de ces points au-dessus f)u plan horizontal, il serait facile de construire la projection verticale du solide.

Mais on conçoit que l’exactitude du résultat dépendra du plus ou moins de soin avec lequel on aura pris toutes les mesures, ou de la perfection des instruments que l’on aura employés. Aussi ne devra-t-on prendre sur le corps meme que le moins de mesures possible, et déduire, autant que l’on pourra, la grandeur de toutes les autres parties de ce corps, de sa définition géométrique. Ainsi , par exemple, s’il s’agit d’un prisme droit à base carrée, on ne mesurera que le côté de la base et la hauteur du prisme; lorsque plusieurs points seront dans un même'plan horizontal , il suffira de connaître la hauteur de l’un d’eux.

Nous allons faire l’application de ces principes à la projection des cinq polyèdres réguliers.

168. Projection du tétraèdre régulier. On construira d’abord {fîg> 149) un triangle équilatéral abc; puis , joignant les trois sommets de ce triangle avec le centre e;?, on aura la projection horizontale du tétraèdre; pour obtenir la projection verticale, on projettera les sommets a,h,c sur la ligne AZ; et si l’on a eu soin de placer l’une des arêtes ad, a'd' parallèle au plan vertical, elle doit se projeter sur ce plan dans sa véritable longueur; de sorte qu’il sudira de décrire du point a' , comme centr^, avec un rayon

l^OLYEDRES.

à Tun des cotés de la base, iin arc od' dont l’intcrsection avec la verticale dd' , donnera en d' la projection verticale du sommet.

169. Projection du cube ou hexaèdre régulier. On construira deux carrés égaux et disposés comme on le voit {fig. 150); l’un sera la projection horizontale, et laiitre sera la projection verticale.

170. Projection de V octaèdre régulier. Deux carrés disposés comme dans \di jig. 151, représenteront les projections de l’octaèdre régulier. Des douze arêtes de ce solide , il J en a quatre de parallèles au plan horizontal , et quatre parallèles au plan vertical.

171. Projection du dodécaèdre régulier. La projection horizontale de ce solide (//g. 152) se composera d’abord de deux pentagones réguliers égaux à l’une des faces, et inscrits dans le meme cercle, de manière que les sommets de l’un soient au milieu des arcs sous-tendus par les cotés de l’autre, et d’un décagone régulier inscrit dans un cercle d’un plus grand rayon, et tel que l’on ait cd—ah.

Pour construire la projection verticale, on remarquera que l’aréte e/f, elé étant parallèle au plan vertical , doit se projeter sur ce plan suivant sa véritable grandeur, et que par la même raison vni doit être égal à la hauteur d’une face.

172. Projection de ricosaèdre régulier. h\\vès avoir construit la projection horizontale , comme on le voi t (//g. 153), on fera a! b' égale à une arête, et dd.' égale à la hauteur de l’une des faces.

POLVKORES.