Construire la section d’une pyramide par un plan

On pourrait, comme nous l’avons dit (181) , construire sur les plans de projection les traces des plans qui contiendraient les faces du polyèdre; alors la question consisterait à chercher l’intersection de ces plans par le plan donné ; mais il est presque toujours plus simple de chercher les points où le plan donné coupe les arêtes du polyèdre. Par exemple, soit (/%• 168, PL 25) nne py ramifie pentagonale dont on demanrle la section parle plan p; on fêta pourchacune des cinq arêtes la construction indiquée (70), et l’on obtiendra les projections verticales et horizontales des cinq points suivant lesquels ces arêtes sont coupées par le plan donné. Joignant ces points par des droites, on aura les projections verticale et horizontale de la section demandée.

Si l’on voulait obtenir cette section dans sa véritable grandeur, on pourrait supposer que le |)lan (jui la contient tourne autour de sa trace , pour venir se rabattre sur le plan horizontal. Dans ce mouvement, chaque point de la section décrirait un arc de cercle perpendiculaire à la trace horizontale du plan donné, et représenté en [)rojection horizontale par une perpendiculaire à cette trace; de

POLYEDRES.

sorle (jue pour savoir où chacun d’eux viendrait se placer tians le rabattement, il suffirait de chercher sa distance à la ligne qui a été prise pour axe du rabattement. Ainsi, par exemple, pour le point dd! on chercherait la véritable longueur de la ligne od, o'd' , et cette longueur od" donnerait la position du point dd' dans le rabattement de la section.

Si l’on voulait construire cette section dans le dévelopjiement de la pyramide, on construirait d’abord ce. développement comme nous l’avons dit (178); puis, cherchant la véritable distance de chaque sommet de la section au sommet correspondant de la base ou au sommet de la pyramide, il serait facile de placer chacun de ces points sur la droite qui , dans le développement, représente l’arête qui le contient. Dans la fig. 168, l’arête (^m, jW) étant parallèle au plan vertical , se projette sur ce plan dans sa véritable longueur; mais pour construire le développement, il a fallu chercher la véritable longueur de chacune des autres arêtes.

Enfin, si le corps dont on a les projections était déjà exécuté, on pourrait se proposer de tracer sur ce corps le polygone résultant de sa section par le plan p. Pour cela , on prendrait la distance de chacun des sommets de cette section au sommet de la pyramide ou aux angles de sa base, et il serait fiîcile, en reportant ces longueurs sur les arêtes du polyèdre, d’y déterminer exactement la position des angles de la section.

183. Section par un plan perpendiculaire au plan de projection.

La nature des données permet quelquefois de simplifier les opérations. Si, par exemple , il s’agissait d’obtenir la section d’un prisme par un plan perpendiculaire aux arêtes, on placerait ce prisme parallèlement au plan vertical de

POLYEDRES.

projection, auquel le plan coupant se trouverait alors per* pendicLilaire ; la section se projetterait verticalement par une lii^ne droite a'd\ et pour en avoir la projection horizontale, il suffirait d’abaisser par les points cib'h'ce'd' des perpendiculaires à la ligne AZ, jusqu’à la rencontre des projections horizontales des arêtes. La //g. b" c' d" d' Ji" ) représente la section rabattue dans sa véritable grandeur sur le plan vertical (jui contient l’arête hii^ Illl; on suppose qu’avant de la rabattre , on l’a fait avancer parallèlement à elle-même jusqu’à ce qu’elle soit venue se projeter en [nin).

La véritable grandeur de la section étant obtenue, on a porté tous ses côtés à la suite les uns des autres, et dans le prolongement de la trace verticale du plan jo, ce qui a donné la ligne [a!" b'" d" . . .) pour la section rectifiée; puis, ayant mené par tous ces points, et perpendiculairement a!" a!'\ des ligues parallèles et égales aux arêtes du prisme, on a obtenu le développement de ce solide. Nous emploierons souvent, par la suite, ce moyen de développer la surface convexe d’un prisme ; il est plus commode et plus exact que la décomposition des faces en Irianules.

184-. La section perpendiculaire aux arêtes d’un prisme se nomme la section droite.

185. Trouver les points où une ligne droite perce la surface d’un polyèdre.

On fera passer par la droite un plan quelconque; on cherchera la section du polyèdre par ce plan , et les points où la droite donnée rencontrera cette section , seront les points demandés.

En faisant usage d’un plan perpendiculaire à l’un des plans de projection , il est évident que la construction de la section du polyèdre par ce plan sera plus facile à obtenir.

POLYEDRES.

Dans fig. 170 , PL 26 [a, a!) est la droite donnée. Si Eon mène par cette droite un plan vertical p, et que l’on construise la projection verticale de la section qui en résulte, les points (w, m'), (/i, n') où cette section est rencontrée par la li^ne a, seront les deux points demandés. En construisant le jilan p' perpendiculaire au plan vertical, et la projection horizontale de la section qui en provient, on aurait obtenu le même résultat.

186. Étant donnée la projection verticale a d'un point que l'on sait appartenir à la surface d'un polyèdre ^ trouver la projection horizontale de ce même point.

Cela revient à trouver l’intersection du jiolyèdre par la droite en? (yz’g'. 171) menée par le point a perpendiculairement au plan vertical. Pour cela , menons par cette droite le plan horizontal p, et construisons la section du polyèdre par ce plan , nous obtiendrons pour cette section un polygone horizon ta I coupé par la droite en? en deux points a\ a'\ qui sont les projections horizontales de deux points appartenant à la surface du pol^^èdre, et ayant la même projection verticale a.

Si Ton donnait la projection horizontale h , et qu’il fallut trouver la projection verticale, on construirait un ])lan p' perpendiculaire au plan horizontal de projection, et la section du polyèdre par ce plan serait rencontrée par la verticale eh en deux points h\b'\ qui seraient les projections des deux points de la surface du polyèdre, qui se projettent horizontalement en b.

Intersection des polyèdres.

187. Toutes les fois que Ton coupe un polyèdre par un plan, la section est une figure plane ^ mais lorsque deux polyèdres se pénètrent, il en résulte une figure recti-

ligne dont les côtés peuvent être dirigés dans toutes sortes de pinns.

Pour obtenir les différents côtés qui compof^ent celte figure, on cherchera les intersections de chacune des faces du premier polyèdre avec les dilïérenles faces dn second , et l’ensemble de ces intersections formera la figure demandée. Pour obtenir Tintersection de ces faces deux à deux , on pourra chercher les traces des plans qui les contiennent, ou bien encore chercher les intersections deâ arêtes de Eune d’elles avec le plan qui contient l’autre; mais il sera presque toujours plus simple d’opérer comme il suit :

188. Supposons {Jig. 172) que le triangle {ahc.ccVd ) appartienne à l’un des deux polyèdres proposés, et que le quadrilatère {mnqs.mtiq's') soit une des faces du second (179); en prolongeant les lignes {ab^a!b') (ôc, ôV) jusqu’à leur rencontre avec le plan horizontal , on obtiendra la ligne

qui représente la trace horizontale du plan qui contient le triangle. On cherchera de la même manière la trace st du plan qui contient le quadrilatère, et le point hJi où ces deux traces se rencontrent fera partie de l’intersection des deux faces proposées. Pour obtenir un second point de cette intersection, on pourrait avoir recours aux traces verticales des mêmes plans; mais comme il arrive souvent que ces traces sont situées hors de l’épure, il faudra opérer comme nous l’avons dit (65). On construira un [)lan horizontal p, qui coupera les plans du triangle et du quadrilatère suivant les deux droites xj, rjz, dont le point de rencontre A/l' sera un second point de l’intersection cherchée de sorte que les projections de cette ligne seront (M , A'A'). Quand on aura obtenu cette intersection, on en retranchera tout ce qui serait en dehors des faces données, et tout ce qui appartiendrait à l’une d’elles sans faire partié de l’autre ;

ICO POLYÈDRES. PL. 27-

de sorte que l’on ne conservera que la partie (co, e'o') commune aux deux faces données; on passera ensuite à l’intersection des deux autres faces.

189. Il faudra opérer avec beaucoup d’ordre et de précision. Soit ( 173) un angle trièdre, composé du pentagoneadu triangle^», el du quadrilatère c;on veut avoir toutes les lignes provenant de sa pénétration dans un angle quadrangulaire composé des deux triangles V et c', et des deux quadrilatères a! et (V . On cherchera d’abord, par l’un des moyens indiqués plus haut , l’intersection des faces a, a', et l’on ne conservera de cette intersection que la partie commune à ces deux faces ; et comme le poin t fait encore partie de la face a! , on cherchera l’intersection de cette face avec b ; ce qui donnera a!b , dont on ne conservera que la partie no. Arrivé là, il faut sortir de la face armais comme le point o est dans l’intérieur de la face on. cherchera l’intersection de cette face avec la face V adjacente à a! ; ce qui donnera bU , dont on ne conservera que la partie oq, commune aux deux faces b et b'. On continuera à tourner *de cette manière , jusqu’à ce que l’on soit revenu au poiii t m, d’où l’on était parti ; cequi fermera le polygone provenant de la pénétration des deux angles polyèdres.

190. On remarquera qu’à chaque construction, l’extrémité du dernier côté obtenu devant faire partie de celui qui doit suivre, il suffira d’obtenir un point pour déterminer ce côté. Il n’y a donc que pour le premier côté qu’il faudra obtenir deux points ; le dernier sera déterminé par l’extrémité de celui qui précède , et par le point d’où l’on est parti ; de sorte que si l’on cherche un point du dernier côté, ce ne peut être que pour vérifier les constructions.