CHAPITRE PREMIER

LIGNES COURBES

197. L’idée la plus simple que l’on puisse se former d’une licrne courbe . c’est de la considérer comme engendrée par le mouvement d’un point qui se détournerait infiniment peu à cbiique pas.

198. Pour définir une courbe , il faut énoncer les conditions de sa génération. Ainsi , par exemple, une circonférence de cercle est une courbe engendrée par un point assujetti à se mouvoir dans un plan , de manière à rester toujours à égale distance d’un autre point de ce plan que Von nomme centre.

199. Si toutes les positions du point générateur d’une courbe sont dans un même plan, on dit que cette courbe est plane ; dans le cas contraire, on la nomme courbe à double courbure. Nous verrons bientôt d’où vient cette dénomination.

200. Le nombre des positions successivement occupées par le point générateur étant infini , il est impossible de les construire toutes. Dans ce cas, on construit un certain nombre de ces points , très-rapprochés les uns des autres, et lesjoignant entre eux , on obtient une ligne qui diffère peu de la courbe que Von se proposait de construire.

LIGNES COURBES

Il est évident que cela revient à considérer la courbe comme un polyi:>one d’une infinité de côtés ; chacun de ces côtés, à cause de sa petitesse, peut être regardé comme élément droit de la courbe. Si on le prolonge, on a une ligne droite qui, en deçà et au delà, s’écarte du cours de la courbe, et ne se confond avec elle que suivant ce même élément. Cette ligne droite se nomme tangente, et Télément infiniment petit qui lui est commun avec la courbe se nomme point de tangence ou de contact.

201. Il ne faut pas attacher à ce mot de tangente le même sens qu’en Géométrie : on voit par ce qui précède , qu’une ligne telle que ah {fig. 179 , Pt. 29) , qui toucherait une courbe au point a, pourrait la couper ailleurs. La ligne «c, menée par le point a perpendiculairement à la tangente, se nomme une normale.

202. Le point de tangence possède une propriété géométrique qui n’appartient pas au point de section. En efiet, si on conçoit qu’une sécante quelconque ao tourne autour du point a, dans le sens indiqué par la flèche, il est évident que le point o se rapprochera du pointa, et lorsque ces deux points seront réunis, la droite que l’on aura fait tourner sera tangente.

Il résulte de là que le point de tangence est un point double.^ puisqu’il provient du rapprochement des deux points de section. C’est pourquoi il détermine complètement la direction de la tangente, par suite de ce principe de Géométrie , que par deux points on ne peut faire passer qu’une ligne droite, même lorsque ces deux points sont infiniment rapprochés.

Il n’en est pas de même du point de section b, qui, étant un point simple., ne suffit pas pour déterminer la direction de la sécante.

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Cercle osculateur, rayon de courbure.

203. Soit {fig, 180) une courbe man, la tangente «c, et la normjjle ab. Supposons qu’avec les rayons de différentes grandeurs on décrive plusieurs cercles passant par le point a et ayant leurs centres sur la normale. Tous ces cercles se toucheront entre eux et toucheront au point a la courbe man et sa tangente ac , de sorte que les uns seront en dedans de la courbe, les autres passeront entre la courbe et la tangente; mais il est évident que, parmi tous les cerles possibles , il y en aura un qui s’approchera plus de la courbe qu’aucun des autres; on le nomme cercle osculaleur. Sa couibure représente celle de la courbe au point a, et son rayon se nomme le rayon de coui'bure.

20h. Si tous les points de la courbe n’étaient pas dansx un même plan , on pourrait toujours concevoir trois points de cette courbe infiniment près les uns des autres. Ces trois points détermineraient le centre et le rayon du cercle oscillateur, et le plan de ce cercle se nommerait plan os^ cidateur. Il roniiendrait l’arc extrêmement petit passant par les trois points (p»i délerminent sa position , et s’écarterait de la courbe en deçà et au delà de cet arc.

20o. Quelquefois la courbure d’une courbe est constante comme dans la circonférence du cercle; souvent elle est variable : tantôt le centre de courbure passe d’un côté à l’autre de la courbe; alors de convexe qu’elle était , elle devient concave , comme on le voit en 18 1 ) ; dans ce

cas le point a se nomme un point iV inflexion • ailleurs le point générateur, a[)rès avoir parcouru un arc uô, s’arrête brus(| ucment pour se diriger suivant un autre arc tel que bc. Alors le point b se nomme un point de rebroussement. On pourrait bien regarder les deux arcs ab.^bc.^ comme

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appartenant h deux couibes diOérentes qui aboutissent à un meme point; mais s’ils résultent tous deux des conditions qui déterminent le mouvement du point générateur, il vaut mieux les considérer comme les deux branches d’une meme courbe.

Au reste, c"est dans les traités d’analyse qu’il faut étudier les propriétés des courbes. On y verra comment toutes les sinuosités et accidents de leurs cours sont représentés par les notations algébriques. Nous nous bornerons ici à l’exposé des constructions graphiques dont nous devons faire l’application plus tard.

Construction du rayon de courbure ^ de la normale ^ et de la tangente.

206. Le calcul algébrique, en permettant d’admettre dans toute sa rigueur l’hypothèse d’un nombre inGni de côtés, fait connaître avec la plus grande exactitude la position des centres et des rayons de courbure , des normales et tangentes ; maison peut, dansbeaucoup de circonstances, se contenter des moyens que nous allons indujucr.