Tl arrivera souvent ainsi , par la suite, lorsqu’un

PL.. a.

cercle fera partie des lignes necessaires à la soluliori (.rnn problème, que l’on préférera le rabattre, afin d’éviter la construction de l’ellipse qui résulterait de sa projection.

413. Enfin , si par le point on même la droite perpendiculaire à A/ Z', on déterminera sur le cylindre une section oblique m'V" qui aurait pour projection horizontale la circonférence m^. Il est évident que cette courbe sera la directrice la plus simple, puisqu’elle dispensera de faire le rabattement de la base ou la construction de la trace.

Ainsi on pourra , selon les circonstances, prendre pour directrice du cylindre la base ma?, la trace mn, la circonférence qui est la base rabattue sur le plan horizontal de projection , ou enfin la section oblique m'V", qui a pour projection horizontale la circonférence mp».

C’est principalement lorsque le cylindre sera parallèle à l’un des plans de projection que l’usage de cette dernière directrice sera très-commode.

414. Pour construire la projection verticale du cylindre {fig. 282), on tracera la droite a' a'” perpendiculaire sur aV, on fera a' a!” égal à sa ; ce qui donnera la ligne da"\ qui représente l’axe du cylindre rabattu sur le {)lan vertical de projection , on fera rt égal au diamètre du cylindre et perpendiculaire sur da'" .

Cette construction auxiliaire pourra être ellacée dès qu’elle aura servi à déterminer les axes de l’ellipse r' t!, qui est la projection verticale de l’une des bases du cylindre.

Les mêmes axes serviront pour construire la projection verticale / V' de la base infériéure.

Il est essentiel de remarquer que les ellipses r"t" {/ig- 282) ne sont pas semblables aux deux ellipses ma?, de la fig. 285.

415. On opérera ]>our le petit cylindre comme pour le grand. Les bases de ces deux cvlindres étant parallèles, leurs projections sur un même plan doivent être semblables. Ainsi lorsque l’épaisseur du petit cylindre sera déterminée, il suffira de construire la corde ie parallèle à hx^'‘ , ce qui donnera le petit axe de l’ellipse ig.

Cette remarque | ourra servir dans les dessins de machines où l’on a souvent à construire les projections obliques d’un grand nombre de cylindres circulaires et parallèles entre eux. Gela dispensera de faire une projection auxiliaire pour chaque cylindre.

416. Pour exprimer qu’un point pp' appartient à la surface du cylindre, on construira les projections de la génératrice qui passe par ce point.

417. La droite ga est la trace horizontale d’un plan qui toucherait je cylindre dans toute la longueur de la génératrice a" a

est une tangente à la base.

Enfin , ladroite^a' peut être indidéremment considérée comme une tangente à la base nix" rabattue en m\f ou comme une tangente à la section oblique .

418. La fig. 283 contient les deux projections d’un cylindre circulaire parallèle au j/ian horizontal ; on prendra pour directrice la section par le plan vertical pq , dont on déterminera la direction en abaissant les deux perpendiculaires aa' , cc" .

On pourrait prendre également pour direcirice la section par le plan vertical pq' ; mais la rencontre de ce plan par les génératrices du cylindre se ferait suivant des angles trop aigus.

419 Enfin, il est évident que lorsqu’on sera le maître de choisir les plans de projection , le plus simple sera de

CYLINDRi:.

placer le cylindre perpendiculairement à l’un d’eux

Intersection des cylindres.

üi^20. 2'roiiver la courbe provenant de L intersection de deux cylindres.

Il est évident que l’on résoudrait la question proposée, en déterminant les points où la surface de l’un des cylindres donnés serait rencontrée par chacune des génératrices de l’autre cylindre ; de sorte que tout se réduirait à recoivünencer plusieurs fois de suite les opérations de l’épure du n® 378. Mais il sera, en général, plus simple d’opérer de la manière suivante :

421 . 1^® solution. Soient ( pg. 289 , PI. 42 ) A' et B' les deux cylindresdont on demande l’intersection. Par un point quelconque (m,/;i^),on con.-truira deux droites parallèles aux génératrices des cylindres donnés; ces deux droites détermineront (373) un plan p qui coupera le cylindre AA^ suivant deux de ses génératrices désignées sur l’épure par («,«). Le même plan coupera le cylindre BlV suivant deux génératrices [b, b). Or, ces (juatre lignes étant dans un même plan, donneront par leurs intersections quatre points (/I, w, u) ap[)artenant à la courhe cherchée.

On ohliendra les projections verticales de ces points, en projetant les génératrices qui les contiennent.

Un second p'an parallèle au j)lan p^ et [)ar consé((uent parallèle aux deux cylindres, déterminera quatre nouveaux points.

Un troisième plan en donera quatre autres, et ainsi <le suite.

On continuera ces opérations jusqu’à ce (jue l’on ait obtenu un nombre de points sulïisant pour que l’on puisse tracer la courbe avec beaucoup d’exactitude.

Y22. Il ne faut pas établir de suite sur Tépure un trop grand nombre de plans coupants. On fera bien , au contraire , de commencer par la recherche de quelques points essentiels, de ceux surtout qui, par leur position, pourraient donner une première idée de la forme de la courbe. On chercherait ensuite des points intermédiaires dans les parties où la courbure deviendrait plus sensible. On devra surtout ne pas négliger les points où la courbe cherchée doit toucher les génératrices principales.

Pour avoir les points qui appartiennent aux limites des projections verticales et horizontales des deux cylindres , on emploiera les plans coupants dont les traces passent par les pieds des génératrices qui forment ces limites.

Les plans tangents p', p'\ parallèles aux deux cylindres, détermineront aussi des points très-importants.

Ainsi, par exemple, le plan j)', qui louche en b' la trace horizontale du cylindre B, déterminera les points u\a suivant lesquels la courbe cherchée est touchée par les génératrices a\a! du cylindre A.

De meme , le plan p", qui touche en a'' la trace horizontale du cylindre A, déterminera les points suivant lesquels la courbe demandée est touchée par les génératrices ù", b” du cylindre B.

4^3. Il n"est pas nécessaire de construire de plan coupant hors de l’espace compris entre les plans p' et p” dont les traces louchent celles des cylindres donnés, car il est évident que tout plan hors de cet espace couperait l’un des cylindres sans toucher ni couper l’autre , et par conséquent ne contiendrait pas de points communs. Lorsque la courbe sera entièrement obtenue , on regardera comme vu , tout point provenant de l’intersection de deux génératrices vues (353). Tous les autres ])oinls sont cachés , et

Ton tracera en ligne pleine toute la partie de la courbe qui contient les points vus , et le reste en ligne ponctuée.

kîlk. Tangente a la courbe (L intersection. Lorstju’il y aura incertitude sur la direction de quelque partie de la courbe, on la fera cesser en construisant une tangente. Pour y parvenir, on remarquera que cette ligne devant être tangente aux deux cylindres, il faut, par conséquent, qu’elle soit située en même temps dans les plans tangents à ces deux surfaces, d’où il résulte qu’elle doit être l’intersection de ces plans; ainsi, par exemple, la droite est la trace horizontale du plan qui touche le cylindre A dans toute l’étendue de la génératrice a'”u.

Ensuite, vb'” esi la trace du plan vertical qui touche le cylindre B suivant la génératrice

Le point intersection de ces deux traces, fera donc partie de la tangente dont la projection verticale sera o'u.

L’un des plans tangents étant vertical, la projection horizontale de la tansrente doit se confondre avec la trace de ce plan.

Il est évident que si les deux plans tangents étaient obliques, cela ne changerait rien à la manière d’opérer.

425. Développements. Si on vent ohLenir la courbe d’intersection dans les surfaces des deux cylindres, il faudra projeter chacun d’eux sur un plan parallèle à ses génératrices {fig. 295 et 296), puis on constiuira la sec-’ tion droite et les développemenls et B"', en opérant comme nous l’avons fait au n° 368.

11 seia très-essentiel de s’assurer que tous les points correspondants des deux cylindres et de la courbe d’intersection sont à la même hauteur sur les trois projections verticales A'B', A ",B".

■ Pour construire la tangente vu ^ vu, sur le dévelop-

pemmldu cylindre A, on construira le triangle qui a pour côté :

1® a'V trace horizontale de l’un des deux plans tangents.

2“ a" U génératrice de tangence projetée {fig. 296) dans sa véritable longueur.

3® La tangente , dont la longueur est donnée sur la projection B”.

On raisonnera de la même manière pour construire la tangente sur le développement du cylindre B.

Si la tangente n’était pas parallèle à Tun des plans de projection , on chercherait sa longueur par la construction dun®35.

426. Quelquefois l’un des cylindres pénètre dans l’autre, et s’y trouve entièrement engagé; alors l’intersection se compose de deux courbes séparées, l’une d’entrée et l’autre de sortie , comme on le voit ( Jig. 290) ; dans ce cas , on dit qu’il y a pénétration (192). Mais si l’un des deux cylindres n’était pas tout à fait engagé dans l’autre, l’intersection se nommerait arrachement , fig. 288.

Dans la question que nous venons de résoudre , il y a vai t arrachement.

427. Il est facile de prévoir, avant la construction de l’épure , quand il doit y avoir arrachement ou pénétration.

Ainsi, dans le cas représenté {fig. 291), il y aura pénétration. En ellet, le cylindre B étant compris entièrement entre les deux plans p et p”, il est évident que toutes les génératrices de ce cylindre rencontreront la surface du cylindre A.

Tandis que sur la fig. 287, on voit par la disposition des deux plans p' e\.p" que les génératrices du cylindre A, <jui ont leurs pieds sur l’arc aa\ ne rencontreront pas le cylindre B , tandis que les génératrices du cylindre B , qui

ont leurs pieds sur l’arc bb\ ne rencontreront pas le cylindre A.

Enfin , on peut dire , en général , que si deux plans coupants extrêmes p' et p” ( /%• 291), sont tangents à la trace du même cylindre, il y aura pénétration; et dans le cas contraire, il doit y avoir arrachement.

428. Pour tracer les courbes de pénétration sur les cylindres donnés {f^g^ 292 et 293), on enveloppera sur ces corps les figures et

429. Intersection des cylindres. 2® solution. Il est presque toujours possible d’éviter la plus grande partie des opérations précédentes en faisant usage de plans de projection plus favorablement disposés par rapport aux deux cylindres dont on veut construire la pénétration.

Dans ce but, on placera {fig. 299, PL 45) l’un des cylindres perpendiculairement à l’un des plans de projection que nous supposerons ici être le plan horizontal, et Ton prendra le second plan de projection parallèle en même temps aux deux cylindres.

Par suite de cette disposition d’épure, le S3'stème de plans coupants auxiliaires sera parallèle au plan vertical.

Chacun de ces plans coupera le cylindre A suivant deux droites verticales, et le cylindre B suivant deux génératrices.

Les intersections de ces lignes détermineront , comme précédemment, tous les points cherchés.

La fig. B' est le développement du cylindre B, et A! est le développement de la partie du cylindre A qui a pour directrice la courbe aco,

430. Quand les deux cylindres proposés seront circulaires, la trace du cylindre A sera une circonférence de cercle, et cette courbe servira en même temps de section

droite au cylindre A; quant au C}'lindre B, il aura pour trace l’ellipse mais on pourra, comme nous l’avons dit au,n® M3, éviter la construction, de cette courbe en employant, comme directrice, la circonférence ^\jl qui sera, si Eon veut, la base rabattue sur le plan horizontal de projection, ou plus simplement encore, la section par le plan oblique

4-31. Quoique dans l’exemple qui précède, nous ayons choisi des cylindres circulaires afin de familiariser le lecteur avec les combinaisons que l’on rencontre le plus souvent dans la [)ratique, il est facile de reconnaître que la même disposition d’épure pourra être adoptée dans tous les cas, et qu’il suffira pour rendre à la question toute sa généralité de supposer que la directrice est une courbe quelconque au lieu d’être une circonférence de cercle.

43*2. Dans la jî^. 300 , les deux cylindres proposés étant perpendiculaires aux plans de projection, sont les deux surfaces projetantes de la courbe de pénétration. Il n’y aura donc aucune opération à faire pour obtenir cette ligne dont les projections se confondront avec les traces des c^^lindres.

433. Les lignes provenant de l’intersection de deux cylindres participent de la courbure de ces surfaces, c’est pourquoi elles sont en général des courbes à double courbure (324).

434. Dans quelques cas particuliers cependant', ces courbes peuvent être planes.

Si par exemple il s’agissait de l’intersection de deux cylindres A et B (/%. 298), qui auraient pour directrices les ellipses aca, si de plus, les axes oc, oV étaient

égaux,, la. courbe de pénétration, se composerait des deux

moitiés d’ellipse aV'. Mais lorsque les axes oc,o'V" ne sont pas égaux, ^a combe de pénétration est à

double courbure.

435. Si les deux cylindres proposés étaient parallèles , ils se couperaient suivant des génératrices dont les positions seraient déterminées par les points de rencontre des traces. C’est évidemment la combinaison la plus simple qui puisse résulter de l’intersection de deux cylindres.

436. Cette remarque peut être appliquée avec avantage dans le cas où il s’agirait de trouver V iutersectioji diuie ligne courbe quelconque a^ec la surface d’un cylindre.

Soit, par exemple (/%. 304) , la courbe donnée on prendra sur cette ligne plusieurs points 1,2,3, par lesquels on fera passer des parallèles au cylindre ; on aura , par cette construction, une nouvelle surface cylindrique, parallèle à la première, et qui la coupera suivant les deux génératrices communes cm, c'ni , passant par les points c,c suivant lesquels les traces des deux cylindres se rencontrent; les intersections de la courbe donnée avec les droites cm, dm' sont les points demandés.

En général, le nombre des points d’intersection est le même que celui des points communs aux traces des deux cylindres.

Si la trace du cylindre auxiliaire touchait la trace du cylindre donnée, on en conclurait que celte dernière surface est touchée par la courbe donnée.

437. On aurait pu employer pour surface auxiliaire, l’un des deux cylindres» projetant de la courbe donnée ; dans ce cas, les droites cm, dm' seraient remplacées par la courbe à doublé courbure provenant de l’intersection des deux cylindres.

LE CONE.