La direction du nouveau plan de projection

f'iîint déterminée, supposons que l’on veuille projeter une seconde elli pse égale et parallèle h la première, et qui aurait pour centre le point x.

On construira successivement les points x\ x" ou x^'", suivant que l’on aura choisi le plan pmp' ou qiiq'.

On construira ensuite la cir< onférence formant la projection de l’ellipse donnée.

Pour construire une ellipse semblable et parallèle aux précédentes, on projetterait le centre et l’extrémité de i’uM des axes pour chacune de ces courbes , ce qui sulîirait pour déterminer le centre et le rayon de la circonférence demandée.

Cylindre circulaire.

405. Dans les articles qui précèdent, nous avons principalement cherché à mettre en évidence les propriétés communes tà toutes les surfaces cylindriques. Cela pourrait suffire, s’il ne s’agissait que d’exposer la théorie générale de ce genre de surfaces; mais je m’éloignerais du but que je me suis proposé dans cet ouvrage, si je négligeais d’appeler faltenlion du lecteur sur les cas particuliers que l’on rencontre le plus souvent dans les applications.

Ainsi , par exemple , s’il s’agissait de construire les projections d’un cylindre circulaire terminé, comme le sont presque tous les cylindres em[)loyés dans l’industrie , par deux bases perjiendiculaires à sa direction , les propriétés du cercle donneraient lieu a des simplifications qu il serait utile de ne pas négliger.

406. Nous reconnaîtrons d’abord que lorsqu’un cercle amc [Jig. 284 , PL 41 ) est incliné d’une manière quelconque, par rapport à un plan p, la projection sur ce plan est toujours une ellipse.

En eiï’ct, on sait {Géom. anal.) que lorsqu'un cercle et une ellipse ont un diamètre commun ac , les ordonnées de V ellipse sont aux ordonnées correspondantes du cercle comme le deuxième axe de l’ellipse est au rayon du cercle. Et réciproquement , lorsque la relation que nous oenons de citer a lieu , la courbe est une ellipse Or, c'est précisément ce qui arrive lorsqu’un cercle est projeté obliquement; car les triangles rectangles né du' étant sembla-

bles, on (loi t avoir la proportion mv : vn : : néd : du , ce qu’il fallait démontrer. Ainsi la courbe anc est une ellipse.

407. On doit encore remarquer que si Ton projetait tous les diamètres du cercle, les droites que l’on obtiendrait pour ces projections seraient d’autant plus courtes que les diamètres projetés s’approcheraient davantage de la perpendiculaire au plan ; de sorte que si le point p» est le centre de cercle amc, la droite p^/z , projection de p'zzz , serait le rajon le plus court de l’ellipse anc, tandis qu'au contraire, le diamètre ac , parallèle au plan de ])rojection ou situé dans ce plan, se projetterait dans sa véritable grandeur, et serait par conséquent le grand axe de l’ellipse dont vn serait le petit axe.

408. Supposons actuellement que l’on veuille projeter [fig. 285) un cylindre circulaire incliné par rapport aux deux plans de projection ; que les droites ac , de soient les deux projections de l’axe de ce cylindre, et que le rayon de sa base soit connu.

Le moyen le plus simple sera de construire {fig. 286) une projection auxiliaire sur un plan vertical h'TJ parallèle à l’axe et par conséquent à la direction du cyjindre demandé.

On f ra s'd' égal à sd et zc" égal à zd , de sorte que la droite d'e" sera la projection de l’axe ac , de sur le nouveau plan de projection A' Z'; le rayon m"c' étant donné

par la question, les deux droites mV, perjiendi-

culaires sur a"c" seront les projections des deux bases, et le rectangle m"x"x”'m"' sera la projection du cylindre sur le plan vertical A'Z^

409. Quant à la projection horizontale , elle sera limitée parles deux droites hh , h'Jx parallèles à la ligne A'Z', et dont Fécartement h/i' sera déterminé par le diamètre du cylindre.

Enfin , les deux bases m"x'\ 7n"'x'" auront pour projections les deux ellipses hh' , hk' ^ dont les grands axes sont égaux au diamètre du cylindre, et qui ont pour petits axes les deux droites mx , , projections horizontales

des diamètres m!'x'\ m'”x”'.

410. La courbe trace horizontale du cylindre, est une ellipse; car si on prend les droites hh\ hb' pour axe des abscisses des deux courbes mx^ mn, il sera facile de démontrer que les ordonnées correspondantes à une abscisse commune seront toujours entre elles comme les droites ca?, , qui alors forment les seconds axes de ces courbes.

Il est utile de reconnaître ainsi la nature des courbes que Fon doit tracer, parce qu’alors on peut déduire de leur définition géométrique des moyens plus simples de les construire.

411. On pourrait prendre pour directrice la base ou la trace du cylindre dont il s’agit, mais il vaudra mieux employer pour cet usage le cercle nw, que Fon peut considérer comme représentant la base m'x" que Ton aurait fait 4ourner autour de Fhorizontale mm'' jusqu’à ce qu’elle soit rabattue dans sa véritable grandeur sur le plan horizontal de projection.