DU PLAN

19. Si Ton conçoit dans l’espace un plan quelconque pqs {fig. 10) , ce plan coupera les deux plans de projection suivant deux lignes pq^qs. Ce sont ces deux lignes que l’on est convenu d.’adopter pour déterminer la position du plan.

On les nomme traces du plan.

La ligne pq est la trace verticale.

La ligne qs est la trace horizontale.

On voit qu’un plan sera connu et déterminé de position toutes les fois que l’on donnera ses traces : car on sait, en Géométrie, que, par deux lignes qui se coupent, on ne peut faire passer qu’un plan.

^20. La figure 12 représente toutes les positions d’un plan par rapport aux plans de projection, savoir :

— Oblique aux deux plans de projection.

— Perpendiculaire au plan horizontal.

— Perpendiculaire au plan vertical.

GENERATION DU ELAN

— Perpendiculaire aux deux plans de projection.

— Parallèle au plan horizontal.

— Parallèle au plan [vertical.

— Parallèle à la ligne AZ.

— Passant par la ligne AZ.

21. Il est quelquefois nécessaire de recourir à un troisième plan de projection. Ainsi, par exemple, lorsqu’une droite est perpendiculaire à AZ , ses deux projections étant toutes deux perpendiculaires à cette même ligne, n’en font , pour ainsi dire, qu’une seule, et la ligne donnée resterait indéterminée. Dans ce cas, il est nécessaire d’ajouter d’autres conditions, comme, par exemple, de déterminer les projections de deux points de cette ligne , ou de la projeter sur un troisième plan de projection, que l’on prend souvent perpendiculaire aux deux autres, et que l’on rabat sur l’épure, comme on a fait pour le plan horizontal.

22. La figure 13 , PI. 2 , représente un point M projeté sur trois plans de projection , et la figure 14 est le développement de l’épure. ni.,m\ni'' sont les trois projections du point M; pq, p'q’ i p"q” sont les trois projections d’une

* même droite , et A^ est la trace sur le plan auxiliaire , d’un plan passant par la ligne AZ.

GÉNÉRATION DU PLAN

23. Lfe plan étant l’élément géométrique dont nous ferons le plus d’usage, il est de la plus grande importance d’en bien étudier toutes les propriétés.

24. On peut toujours supposer qu’une surface est engendrée par le mouvement d’une ligne dont la définition est donnée, et qui se meut suivant certaines conditions.

On dit qu’une ligne engendre une surface, lorsque, par

GENERATION DU PLAN

suite de son mouvement, elle occupe successivement tous les points de cette surface.

25. D’après cela, si l’on conçoit deux lignes droites qui se coupent et si l’on suppose que l’une d’elles restant immobile, la seconde se meut parallèlement à elle-même, de manière à couper toujours la première, la droite mobile , par son mouvement , engendrera un plan.

On dit qu’une droite se meut parallèlement à elle-même , lorsque toutes ses positions sont parallèles entre elles.

La droite mobile sera nommée génératrice du plan; la droite sur laquelle elle s’appuie se nomme la directrice , et le point où ces deux lignes se coupent se nomme le pied de la génératrice.

26. On peut prendre pour génératrice et directrice d’un plan, deux lignes quelconques de ce plan; mais il est presque toujours plus simple de prendre l’une des traces pour génér.ilrice et l’autre pour directrice.

27. On propose de construire pour toutes ses positions les projections de la génératrice d'un plan.

Soit {fig. 15) le [)lan VdQi dont on veut représenter la génération. Supposons que la trace horizontale G<7, prise pour génératrice, prenne successivement toutes les positions marquées Gd ; comme elle restera parallèle à ellernême , et par conséquent au plan horizontal , sa projection verticale g'J' sera toujours parallèle à la ligne AZ, La trace verticale servant de directrice, le point d\ pied de la génératrice, fait partie du plan vertical de projection, et sa projection horizontale sera sur AZ. Enfin , toutes les positions de la ligne Gd devant être parallèles entre elles, leurs plans projetants seront parallèles et, par conséquent, toutes les projections horizontales gd seront parallèles entre elles et à la ligne AZ.

GENERATION DU PLAN

28. Quaiifl la génératrice descerid au-dessous du plan horizontal , sa projection verticale doit être au-dessous de la ligne AZ.

29. Le plan étant infini (12) , toutes ses génératrices seront infinies , de sorte qu^en traçant les prolongements de ces lignes , on représentera sur Eépure les parties du plan donné qui se trouvent au delà des plans de projection. Cependant, pour ne pas embarrasser les épures , on ne construit ces prolongements qu’au moment où ils deviennent nécessaires pour la solution de la question dont on s’occupe.

La fleure 16 représente la construction , sur l’épure , de toutes les positions de la génératrice horizontale d’un plan PJG. Ainsi , en général ,

Si l'on i^eiit construire une des positions de la génératrice horizontale d'un plan , on construira parallèlement à la trace horizontale une ligne gd, qui sera la projection horizontale de la génératrice. On mènera la ligne àéé perpendiculaire à la ligne KL et le point d', oh cette ligne rencontrera la trace verticale , sera le pied de la génératrice. Enfin la ligne d'g', menée par le point A' parallèlement à la ligne AZ, sera la projection verticale de la génératrice demandée.

On pourrait commencer par construire la projection verticale g'd' .

30. lues figures et 18 représentent la génération d’un plan pour lequel on a employé, comme génératrice, une droite parallèle à la trace verticale.

On voit que, dans ce cas, toutes les projections horizontales de la génératrice sont parallèles à la ligne AZ, et toutes les projections vei ticalc.s sont parallèles à la trace verticale.

On en conclut que ,

GENERATION DU PLAN

Si Von veut construire une des positions de la génératrice parallèle à la trace verticale.^ on construira {fig. 18) une ligne parallèle à cette trace ^ on mènera d'd perpendiculaire à la ligne K7a , ce qui donnerà en d le pied de la génératrice. Enfin dg , menée parallèlement à la ligne A Z , sera la projection horizontale de cette génératrice.

Je recommande au lecteur les deux épures précédentes comme très-essentielles. Tl faut, après les avoir bien comprises, en faire Inapplication à toutes sortes de plans , variés de toutes les manières quant à la position.

31. Les figures 19, 20, 21, représentent quelques générations de plans. Dans \di figure 20, on a pris pour directrice la trace sur le plan auxiliaire de projection. Dans la figure 21, on a pris pour génératrice une ligne oblique aux plans de projection.

32. J’engage les commençants, pour fixer leurs idées et se familiariser avec les diverses positions des points , des plans et des lignes dans Tespace , à tailler deux cartes et à les ployer à angle droit, de manière qu’elles puissent figurer les deux plans de projection; puis, après avoir tracé sur ces cartes , des projections de points ou des traces de plans , ils feront le développement de l’épure , afin de s’habituer à juger de la position d’un point ou d’une ligne par ses projections, et réciproquement. Mais je leur conseille en meme temps de faire tous leurs efîbrts pour se mettre le plus promptement possible en état de se passer de ces moyens , qui ne doivent être employés que pour les premières leçons, et qui même, si l’on en faisait usage trop longtemps, deviendraient un obstacle au développement de l’esprit d’analyse et de généralité nécessaire pour bien concevoir les principes de Géométrie descriptive.