CONSIDÉRATIONS GENERALES SUR LES SURFACES COURBES

602. En jetant un coup d’œil sur les questions diverses dont nous nous sommes occupés jusqu’à présent, il sera facile de rattacher nos idées à un petit nombre de principes généraux.

Dans le premier livre nous avons étudié les surfaces planes-, et dans le second nous avons vu les surfaces cylindriques, coniques et sphériques.

603. Chaque surface a été considérée comme engendrée par le mouvement d’une ligne assujettie à se mouvoir suivant des conditions données. L'énoncé de ces conditions formant la définition de la surface.

Ainsi le plan est engendré par le mouvement d’une droite qui se meut parallèlement àelle-même,ens’appuyant toujours sur une autre droite immobile dans l’espace. La droite mobile se nomme la génératrice, et la droite sur laquelle elle s’appuie a reçu le nom de directrice. Si nous remplaçons celte dernière ligne ])ar une courbe, nous obtenons une suface cylindrique; et si, au lieu du parallélisme des génératrices, nous les faisons concourir en un même point, nous avons une surface conique.

604. Au reste, nous n’avons admis ces divers modes de génération que pour plus de simplicité, mais l’on n’est pas

nécessairement contraint de s’y assujettir. En général , toute ligne , droite ou courbe, que l’on ferait mouvoir d’après des conditions telles que dans toutes ses positions elle serait toujours située dans une certaine surface, pourrait être regardée comme la génératrice de cette surface. Ainsi , par exemple , on pourrait encore engendrer le plan par une ligne droite qui tournerait autour d’une autre droite immobile, avec laquelle elle ferait constamment un angle droit. La droite fixe se nommerait Taxe du plan. Dans cette génération , qui a de l’analogie avec celle du cône, la droite génératrice changeant à chaque instant de direction dans l’espace, cette dernière condition eût été moins facile à représenter sur les épures que le parallélisme des génératrices; c’est pourquoi ce dernier mode de génération a été préféré. On peut engendrer le cylindre en supposant qu’une courbe quelconque se meut parallèlement à elle-même, en s’appuyant toujours sur une ligne droite qui devient la rlirectrice.

Pour le cône, on peut supposer qu’une courbe glisse parallèlement à elle-même en suivant toujours une droite directrice, de manière que, sans changer de forme, elle varie de grandeur proportionnellement à sa distance au sommet. Enfin, au lieu de considérer la sphère comme provenant du mouvement d’un grand cercle qui tourne autour de son diamètre, on peut sup[)Oser cju’un cercle variable de grandeur se meut parallèlement à lui-même, de manière que son centre parcoure une ligrie droite, et qu’en nommant R le rayon de la sphère (jue l’on veut engendrer, r le rayon du cercle générateur, et cl la distance de son plan au centre de la sphère , on ait

C05. 11 résulte de ce que nous venons de dire, qu’une surface peut être engendrée de plusieurs manières , et que

Fon est libre de choisir celle de ces générations qui convient le mieux soit pour la représentation de la surface sur les épures, soit pour la solution des divers problèmes qui en dépendent.

CC6. J’ai cru devoir commencer par appeler Fattention du lecteur sur les surfaces cylindriques, coniques et sphériques, parce qu’elles sont la base essentielle de presque toutes les combinaisons de l’industrie.

!Nous allons actuellement considérer les surfaces courbes sous un point de vue j)lus général.

G07. Quoique la courbure des surfaces puisse être variée d’une infinité fie manières, on peut cependant renfermer tous les cas particuliers dans une même définition , en supposant que toute surface est engendrée par le mouvement d'une ligne quelconque, droite ou courbe plane ou a double courbure, constante ou variable de forme , et qui se meut suivant des conditions données.

Si, par exemple, nous faisons tourner Fellipse a!o'u! {fig> 385, PL 57) autour de la droite verticale cV, elle engendrera une surface que nous nommerons ellipsoïde de révolution.

608. Si nous supposons que Faxe horizontal au varie de longueur pour chacjuc position nouvelle de l’ellipse mobile, nous obtiendrons une infinité de surfaces différentes.

600. Introduisons la condition que les deux points ne quittent pas la circonférence de l’ellipse horizontale «r'z/.r, alors la surface engendrée prendra le nom A’ ellipsoïde a trois axes pour la distiguer de Fellipsoï le de révolution.