Nous obtiendrons encore la même surface en suj

PL. 57. . SUUFACIÜS COURBES. 273

posnnL qu’une ellipse horizontale telle que auux (//^. 387) s’élève parallèlement à elle-même en variant de grandeur à chaque position, pourvu que le rapport des axes ne change pas , et que le plus grand de ces deux axes soit toujours égal à l’une des cordes horizontales de l’ellipse a'o'u'.

Ces différents modes de générations reviennent à considérer la surface comme le lien géométrique qui contient un système de lignes données.

611. La topographie nous fournira un exemple remarquable de ce genre de définition.

Supposons que l’on veuille déterminer 386) tous les innombrables contours et sinuosités d’un pays de montagnes, on supposera le terrain coupé par une suite de plans horizontaux , et l’on construira les projections horizontales des sections obtenues.

11 est évident que l’on pourra éviter la projection verti- ’ cale en exprimant par .des nombres la hauteur de chaque plan coupant.

Ainsi la courbe désignée par le chiffre 15 sera la section du terrain par un plan horizontal élevé à 15 mètres audessus du niveau de la mer ; la courbe désignée par le nombre 20 sera la section à 20 mètres cje hauteur, etc.

Il serait facile d’augmenter l’exactitude en projetant des sections plus rapprochées.

612. Le lecteur comprendra de suite tout le parti que l’on peut tirer d’une représentation aussi complète de la surface terrestre.

Supposons qu’il s’agisse de tracer une route suivant la direction ba^ on coupera la surface par le [)lan vertical , qui a pour trace cette ligne, et la section transportée {Jig> 388) donne ra les différences de niveau de tous les points de la ligne que doit parcourir la route projetée.

Si la projection horizontale de cette route était une courbe cd^ on développerait {fig> 389) le cylindre projetant de cette ligne.

Ces exemples suffisent pour faire comprendre la possibilité de représenter toutes les surfaces courbes, quelque nombreux que soient les accidents et sinuosités de leurs contours. Nous allons diriger plus particulièrement notre attention sur les surfaces employées dans les arts, et dont la. génération résulte par conséquent du mouvement de certaines lignes définies.

613. L’idée la plus simple a dû être de classer les surfaces d’après la nature des opérations nécessaires pour les produire.

Ainsi , par exemple, on a nommé surfaces de résolution celles qui s’exécutent sur le tour, et surfaces réglées celles dont le travail est dirigé par la règle.

Si à ces deux genres de surfaces nous ajoutons les 5wrfaces enseloppes nous aurons réduit à trois toutes les espèces différentes de surfaces courbes employées dans les travaux de Finduslrie.

Nous étudierons bientôt en particulier chacun des genres de surfaces que nous venons d’énoncer, mais auparavant nous allons présenter quelques idée^ générales sur l’ordre que nous devons suivre dans cette étude.

614^. Le mode de génération d’une surface étant adopté, il faut savoir, pour chaque cas particulier, répondre aux questions suivantes :

V Beprésejiter sur l épure une surf ace dont la définition est donnée ;

2° Exprimer qu’un point ou une ligjie fait partie d'une surface donnée ;

3*^ Développer (autant que possible) la surface donnée en tout ou en partie ;

PL. 57. SURFACES ÇOURBES. 275

W Mener a la surface donnée des plans tangents , des normales et des surfaces normales;

5° Trouver ï inter section de la surface donnée . par un

6** Trouver la courbe T intersection de la surface donnée avec toute autre surface;

7° Trouver V intersection de la surface donnée y par une ligne quelconque y droite ou courbe.

615. Pour représenter sur lepure une surface dont la définition est donnée, il suffit de savoir construire la génératrice de cette surface dans une position quelconque.

Quelquefois la surface est infinie dans ses deux dimensions, comme le plan en général et les cylindres et cônes qui ont pour directrices des courbes infinies; cFautres fois elle n’est infinie que dans un sens, comme le cylindre et le cône, lorsque leur directrice est une courbe fermée; enfin elle peut être finie en tous sens , comme la surface de la sphère.

616. En construisant un certain nombre de génératrices, et sur chacune d’elles les points où elle perce les plans de projection, on obtient les traces de la surface.

617. Lorsque la surface est limitée , on doit construire la ligne qui limite sa projection; on obtient cette courbe en cherchant la suite des points suivant lesquels la surface donnée^ est touchée par une autre surface perpendiculaire au plan de projection. Ainsi, dans les cylindres et cônes, les limites sont situées dans des plans tangents aux courbes directrices , et perpendiculaires aux plans de projection. La limite de la projection de la sphère est la trace d’un cylindre per-

pendiculaire au plan de projection et enveloppant la sphère.

618. Pour mieux faire sentir la forme d’une surface, on a tracé en plein les lignes vues, et en ponctué les lignes cachées.

On a cru cependant devoir s’écarter de cette convention à l’égard du plan , qui , n’ayant pas d’épaisseur, n’est plus qu’une conception géométrique , incapable par conséquent de cacher les objets qui sont placés derrière. D’ailleurs étant infini en tous sens, un seul plan oblique aux deux plans de projection eut caché entièrement toutes les autres parties de l’épure, ce qui aurait empêché de faire sentir la position des corps solides, en ne permettant plus d’appliquer à leurs arêtes, ou autres parties de leurs surfaces, la distinction des lignes vues et des lignes cachées; et si dans les sections de ces mêmes surfaces on a tracé en points les parties siuées au delà des plans coupants, c’est plutôt parce que l’on a considéré ces parties comme supprimées , que comme cachées par ces plans.

619. Dans beaucoup de problèmes on a placé les données dans une position inclinée par rapport aux plans de projection , mais on ne l’a fait que pour exercer davantage aux constructions graphiques. Dans les applications, on devra toujours, avant tout, choisir le système de plans coordonnés ou de plans auxiliaires sur lesquels les projections seraient les plus simples , et pourvu que l’on ne change rien aux*données ni à leur position relative, la généralité de la question ne sera pas moins complète. Il ne faut pas oublier surtout, que le choix des plans de projection est une des parties les plus essentielles de la solution des pro~ blêmes.

6*20. Pour exprimer qu’un point fait partie d’une sur-

face, on place ce point sur Tune des i^énératriccs , ou sur toute autre ligne située dans cette surface, et dont on sait construire les projections : en agissant de la meme manière h l’égard de tous les points d’une courbe , on exprime que cette courbe est située dans la surface.

C21. Pour exécuter un corps solide quelconque, il faut tracer sur la pierre, le bois ou le métal dont ce corps doit être composé, toutes les lignes qui doivent diriger le travail de l’ouvrier.

Ces lignes se déduiront de leurs projections, par des rabattements si elles sont planes, et par des développements si elles font partie de surfaces courbes.

Nous avons pu développer les surfaces des polyèdres , cylindres et cônes; mais pour la sphère, son développement n’a été obtenu qu’approximativement. Nous verrons plus tard quel est le caractère auquel on reconnaît en général qu’une surface peut se développer.

622. Dans les questions où il s’agissait de construire des plans tangents au cylindre et au cône , nous avons considéré ia génératrice de tangence comme provenant du rapprochement des deux génératrices de section.

Cette relation n’est qu’un cas particulier d’une autre proposition plus générale que nous allons démontrer.

623. Supposons {fig- 390) qu’une surface courbe quelconque A soit coupée par un plan si nous faisons tourner ce plan autour de la droite mn , qui touche en a la couibe de section «c, cette dernière ligne deviendra successivement ac\ ac'\ et lorsque tous ses points seront réunis en un seul, le plan coupant pq deviendra p'q' et touchera la surface suivant le point a.