La question que nous venons de résoudre serait, au

contraire, réduite à sa plus sim( le expression, si le point donné était situé sur Tune des perpendiculaires projetantes du centre de* la sphère.

Dans ce cas, flg. 351, la ligne de contact serait le petit cercle zV, zcr, et les plans tangents passant par le point donné auraient pour traces horizontales les droites 6, 6', M tangentes à la trace du cône auxiliaire.

Les traces verticales, s'il était nécessaire de les construire, seraient,^ facilement déterminées en opérant comme nous l'avons dit au n**. 65.

707. Construire un plan tangent à la sphère^ parallèlement à une droite dfnnée.

!'• méthode. Nommons 66' la ligne donnée, fîg. 352, pi. 73 ; une droite quelconque ce*, menée parallèlement à la ligne donnée, déterminera deux plans tangents qui satisferont à la question ; une seconde droite oo' en donnera deux autres, et ainsi de suites Le nombre des plans qui satisfont â la question est infini, ils toucheront tous un cylindre circu laire enveloppant la sphère et parallèle à la droite donnée. La ligne de contact sera un grand cercle zx dont le plan sera perpendiculaire à la direction de cette ligne.

708. 2* mrthode. Concevons la sphère projetée sur un plan parallèle à la ligne donnée 66'.

Deux tangentes sv^ sv seront les limites de la projectioa verticale du cylindre circulaire qui enveloppe la sphère et qui est parallèle à la droite 66'.

Un plan a'a', perpendiculaire au plan vortil^al de projection et passant par deux angles opposés du quadrilatère a'a"a'a'\ coupera le cylindre suivant une ellipse qui aura pour projection horizontale la circonférence aa (552).

Enfin, chaque plan langent sera déterminé par Tune des génératrices du cylindre auxiliaire et par la tangente à la section aa, a'a\ au point où cette courbe est rencontrée par la génératrice du cylindre.

Toutes ces tangentes auront la droite a'a' pour projection verticale commune, et toutes leurs projections horizontales seront tangentes à la circonférence aa.

PL. 73. DE LA SPHÈRE. 3 il

Les intersections des génératrices de tangence avec le cercle zx, suivant lequel ce cylindre touche la sphère, donneront les points de tangence.

709. Courbe de contact. Si la question avaH uniquement pour but de déterminer la courbe de contact, on se contenterait de construire, fig. 354, la projection horizontale zx du cercle aV, «uivant lequel la sphère donnée est touchée par le cylindre auxiliaire.

Cette projection sera une ellipse dont le grand axe ce doit être égal à sV, et qui aurait pour petit axe la droite zx, proection de zV.

710. Si la droite donnée, au lieu d'être parallèle à l'un dés plans de projection, était inclinée d une manière quelconque, on emploierait une projection auxiliaire parallèle à cette ligne, et la question serait ramenée au cas précédent,

711. Étant donnés ,t/n points une droite et une sphère^ construire par le point un plan qui touche la sphère et qui soit parallèle à la droite donnée^ îig, 353.

On prendra le point donné s pour sommet d'un cône qui envelopperait la sphère, puis on tracera, par le sommet du cône, une seconde droite b parallèle à la ligne donnée a ; la question sera réduite à construire par la droite 6, un plan tangent à la sphère.

Il y aura deux solutions.

En faisant usage d'un plan de projection parallèle à l'axe du cône auxiliaire, on pourra employer la construction du n^ 697.

712. Construire un plan tangent à deux sphères. Concevons les deux sphères A, B, tig, 355, enveloppées

par un cône circulaire ayant son sommet en s. Tout plan touchant ce cône sera tangent aux deux sphères données. Le nombre de ces plans est infini. Pour les construire, on pourra opérer comme nous l'avons dit (703) ; ou bien on fera passer par le sommet du cône une suite de droites par chacune des-

quelles on construira deux plans tangents à Tune des deux sphères ; chacun de ces plans touchera le cône dans toute retendue d'une génératrice, et contiendra par conséquent un point de la seconde sphère.

En enveloppant les deux sphères par le cône dont le sommet est en u, et construisant des plans tangents à ce cône, on obtiendra encore une série infinie de plans tangents aux deux sphères.

Si les deux sphères se touchaient, cette seconde série de plans se réduirait à un seul ; enfin, si elles se coupaient, il ne resterait plus que les plans tangents au cône dont le sommet est en Sy lesquels plans se réduiraient eux-mêmes en un seul, si les sphères données se touchaient intérieurement.

713. Si l'on voulait construire un plan tangent aux deux sphères par un point m, situé hors de leurs surfaces ^ on joindrait ce point avec le point s, par la droite sm qui déterminerait deux plans tangents, la droite um en d/^terminerait deux autres ; ainsi le problème admettrait quatre solutions. Si le point donné était placé en n ou en v sur la surface de l'un des deux cônes et hors du second, le nombre des solutions se réduirait à trois.

Il n'y aurait que deux plans tangents si le point donné était en z ou en t, sur les cercles d'intersection des deux cônes.

Si le point donné était en x ou en y, c'est-à-dire sur l'un des deux cônes et dans l'intérieur de l'autre, il n'y aurait qu'un plan tangent.

Enfin le problème serait impossible, si le point donné était en même temps dans l'intérieur des deux cônes.