Parallèles de la sphère. Les sections méridiennes ne
sont pas les lignes les plus simples que Ton puisse tracer sur la surface d'une sphère, et dans les diverses questions que nous pourrons avoir à résoudre par la suite il sera souvent commode de faire usage des sections de la sphère par des plans parallèles aux plans de projection. Ainsi, par exemple, si nous coupons la sphère par un plan f'\ parallèle au plan horizontal, nous obtiendrons pour section un cercle projeté sur le plan vertical par la droite €j[m\ et sur le plan horizontal par le cercle qvmu.
La section par le plan y sera le cercle [st, su'),
681. Exprimer quun point appartient à la surface d'une sphère.
' Supposons que l'on connaisse la projection horizontale e, ^ et qu'il faille trouver la projection verticale, on construira par le point e un plan p^^ parallèle au plan vertical et coupant la sphère suivant un cercle dont la projection verticale e'g'ef contiendra celle du point cherché ; de sorte que, pour déterminer cette projection, il suffira d'élever par le point e une perpendiculaire à la ligne AZ jusqu'à la rencontre du cercle e'^V, ce qui donnera deux solutions e', e^'
Pour exprimer qu'une courbe [oz^ o'z') est située sur la sphère, il suffira de faire, pour chacun de ses points, la construction précédente.
682. Développement de la sphère. La surface de la sphère n'est pas développabltf d'une manière rigoureuse, c'est-à-dire qu'elle ne peut pas être étendue sur un plan sans déchirement ; mais dans les applications à l'industrie on développe la" sphère approximativement de deux manières différentes.
683. Développement par fuseaux. Partageons en parties égales, en 16 par exemple, chacun des deux grands cercles de la sphère A, A', flg, 339; puis, par les points de division, menons les sept plan^ horizontaux 0> 1, 2, 3, et les seize plans méridiens m, m... La surface de la sphère sera, par suite de cette construction, partagée en 96 trapèzes, plus 32 petits triangles ayant pour sommet commun les points 4
328 SURFACE Pïi. 70«.
qui sont les pôles de la sphère. Tous ces triangles et trapèzes auront une même hauteur, égale à la seizième, partie d'un grand cercle de la sphère, et leurs bases projetées sur le plan horizontal dans leurs véritables grandeurs seront égales chacune à la seizième partie de l'un des cercles provenant de la section de la sphère par les plans horizontaux 0, 1, 2, 3. En disposant ces trapèzes comme on le voit, fig. A'^, on aura le développement, par fuseaux, de l'hémisphère supérieur. Les hautçursdes trapèzes sont égales aux arcs 0-1, 1-:?, etc., et les bases sont données par les arcs horizontaux correspondants et compris entre deux méridiens consécutifs (m, m...).
684. Développement par zones. La figure A'^' représente le développement par zones de Thémisphère inférieur ; il ne diffère du développement par fuseaux que par la disposition des trapèzes qui sont placés à côté les uns des autres au lieu d'être l'un au dessus de l'autre.
On facilitera la construction de ce développement en remarquant que la première zone, composée de seize trapèzes a, a, a..., peut être considérée comme la surface d'un îronc de cône dont le sommet serait situé en Sy où Taxe de la sphère est rencontré par le prolongement de la corde qui joint le point 0 avec le point 1 ; de sorte que, pour construire ce développement, on décrira d'un point s^ comme centre, avec un rayon égal à so.nn arc de cercle sur l^uel on portera seize fois la seizième partie du grand cercle o. La seconde zone fait partie d'un cône qui a son sommet au point t. On en construira le développement de la même manière, et ainsi de suite. *
Il est bien entendu que l'on doit partager les cercles en un assez grand nombre de parties égales pour que la courbure des arcs soit sensible. Si seize points de division ne suffisaient pas, on en prendrait davantage.
686. Les globes et cartes de géographie sont des déve^ loppements approximatifs de la sphère. Les premiers sont imprimée par fuseaux et collés ensuite sur un globe dont ils sont le développement ; les cartes sont des développe* ments par zones.
On .fait encore usage des développements de la sphère, dans la construction des ballons et* dans Tarchitecture, pour le tracé des voûtes sphériques et coupoles.
686. Lorsque la zone que Ton doit développer a beaucoup de hauteur, et que Ton ne veut pas la partager en zones plus petites, on s'y prend de la manière suivante. Soit, flg. 340, ab l'arc générateur de la zone dont on veut construire le développement. On rectifiera cet arc et Uon en portera la longueur de b en i. L'on mènera ih , parallèle au rayon cby puis enfin kh parallèle à nb. Il résulte de là que hk sera égal en longueur à l'arc amb. Or, pendant que l'arc ab, tournant autour de es, engendrera la zone proposée, la ligne kh engendrera un tronc de cône dont la surface difl'érera peu de celle de cette zone, et l'on pourra prendre, sans erreur sensible, l'une de ces surfaces pour l'autre.
Si on voulait construire dans le développement un point m quelconque appartenant à la surface de la zone, on joindrait ce point avec le centre de la sphère par un rayon cm^ dont l'intersection avec la surface du cône déterminerait un point n, qui serait placé dans cette surface à très-peu près comme le point m dans la surface de la zone.
687. Sections perpendiculaires aux plans de projection. Après les^ sections garallèles aux plans de projection et les sections méridiennes, les lignes les plus simples que Ton puisse obtenir sur la sphère sont celles qui proviennent de sections par des plans perpendiculaires aux plans de projection. /
Supposons, par exemple, que Ton veuille obtenir la section de la sphère A, A', flg. 338, par le plan B. Construisons un plan p, parallèle au plan horizontal de projection. Ce plan coupera la sphère suivant un cercle a, a', et le plan donné suivant une droite bV. Cette droite coupera le cercle aa' en deux points (uu') qui feront partie de la courbe demandée. En recommençant cette construction on obtiendra autant de points que l'on voudra.
Pour éviter les intersections qui auraient lieu suivant des angles trop aigus, on fera usage simultanément de plans
^tôO SURFACE PL. 70.
parallèles au plan horizontal et de plans parallèles au plan vertical.
Le plan horizontal passant sur le centre de la sphère donnera les points (xfx suivant lesquels la projection horizontale de la courbe touche le grand cercle qui représente la projection de la sphère. * ' ^ '
688. On sait (Géom.) que la section d'unç sphère par un plan est toujours un cercle, et qu'en outre ce cercle, placé obliquement dans l'espace, doit avoir pour projection une ellipse dont il sera facile de trouver les axes. Pour cela, on abaissera <Ju centre de la sphère la ligne (Ac, AV) perpendiculaire sur le plan coupant, et le point ce' où cette perpendiculaire perce ce plan sera le centre de la section. Or, lorsqu'un cercle est projeté obliquement, tous ces diamètres se raccourcissent, excepté celui qui est parallèle au plan de projection ; de sorte que le grand axe de l'ellipse devant être horizontal et situé dans le plan B sera parallèle à la trace horizontale de ce plan ; de plus, v^z^ est la projection verticale dans sa véritable grandeur d'un diamètre de la section ; donc en portant c^z\ avec le compas de c enh et de c en k, on aura hk pour le grand axe de Tellipse qui forme la projection horizontale du cercle cherché. Le petit axe, perpendiculaire au grand, doit être situé dans le plan p', parallèle au plan vertical, d'où il résulte qne la projection v du point vv' sera l'extrémité du petit axe de l'ellipse que Ton construira pft* le moyen connu.
689. On peut souvent éviter la projection' oblique du cercle provenant de la section en le faisant tourner pour le rabattre sur l'un ou sur l'autre des deux plans de projection. Ainsi, par exemple, pour ^voir la section par le plan B' perpendiculaire au plan horizontal, on fera tourner ce plan autour de la droite dd', jusqu'à ce qu'il soit venu prendre la position B''. Dans ce mouvement, le point e, qui représente le centre» de la section, décrira l'arc horizontal ee^' et viendra se projeter sur le plan vertical en ee"'. De ce point comme centre avec un rayon e'V égal à es^ on décrira un cercle qui sera la section rabattue dans sa véritable grandeur.
11 sera facile en ramenant la section à sa place, d'obtenir
sa projection verticale. Ainsi, par exemple, le point m> rabattu en m'' et projeté dans ce rabattement en m'", doit avoir sa projection verticale au point m' provenant de Tintersection de l'horizontale m^^'/n' avec la perpendiculaire mm',
690. Les positions principales qu'un plan peut prendre par rapport à une sphère sont au nombre de quatre :
1* Si le plan dont il s'agit contient le centre, la section sera un grand cercle de la sphère ;
2^ Si la distance au centre de la.sphère est moindre que le rayon, la surface sera un petit cercle ;
3° Si le plan cpupant s'éloignait du centre de la sphère, le rayon de la section diminuerait, et lorsque la distance du centre au plan coupant sera égale au rayon de la sphère, ce plan deviendra tangent et la section réduite à un point sera le point de tangence ;
4** Enfin, lorsque la distance d'un plan au centre de la sphère sera plus grande que le rayon de cette surface, il est évident que ce plan ne rencontrera pas la sphère.
691. Sf Tun des plans de projection est perpendiculaire au plan donné, on pourra reconnaître, à Tinspection de l'épure, quelle est la position relative du plan et de la sphère.
Ainsi, par exemple, si la distance Ac', flg. 338, est plus petite que le rayon de la sphère, la section sera un petit cercle. Si Ac' était égal à zéro, la section serait un grand cercle.
Si Ac' était égal au rayon, le plan serait tangent.
Enfin, si Ac' était plus grand que le rayon, le plan ne rencontrerait pas la sphère.
692. 11 résulte de ce qui précède que nous ne devons pas considérer le point de tangence comme un point simple, mais co.mme provenant du rapprochement de tous les points de la courbe de section.
693. Le point de tangence détermine la position du plan tangent, parce que ce point devant toujours être considéré comme une petite circonférence dont le rayon serait égal à zéro, le plan de cette circonférence sera toujours perpendiculaire à la droite qui joint son centre avec celui de la sphère
332 simFACE PL. 71,
et sera, par conséquent, tangent à cette «urface {Géom,).
694. Plans tangents à. la sphère. Construire un plan tangent à une sphère par un point pris sur la surface de cette sphère.
Soient, flg. 341, pi. 71, la sphère (A, A') et le point {m, m') situé sur la surface de cette sphère, on construira, le rayon (Am, A'm'), puis on fera passer (113) par le point [m, m') un plan perpendiculaire à ce rayon. Ce plau sera tangent à ïa sphère [Géom.) .
Toute ligne située^ dans le plan tangent et passant par le point 77? , m' sera une tangente à la sphère.
Le rayon am, étsgit perpendiculaire au plan tangent, sera hécessairement normal à la surface de la sphère, et par conséquent tout plan passant par le centre sera un plan normal.
695. Construire par une droite donnée^ un plan tangent à une sphère,
1" méthode. Par le centre de la sphère A, fig. 345, on fera passer un plan p, perpendiculaire à la^droite don.née b. Ce plan coupera la droite ep un point 7n, et la sphère suivant un grand cercle c; construisantes deux tangentes ms, mt, les plans p' et p'' contenant ces tangentes et la droite donnée satisferont à la question. En effet, le plan p' contenant la droite b est perpendiculaire sur le plan p, d'où il suit que le rayon ku situé dans ce plan, et perpendiculaire à la ligne mr, intersection des deux plans p et p', sera aussi perpendiculaire à ce dernier plan qui alors sera tangent à la sphère. Le même raisonnement conviendra pour le plan p''.
Il ne reste donc plus qu'à exécuter cette construction. Pour cela :
Supposons d'abord le cas où la droite donnée serait perpendiculaire à Tun des plans de projection, au plan horizontal, par exemple.
Cette droite &' se projettera, flg. 346, par un seul point b. Les lignes ftv, bu, menées par ce point et tangentes à la projection horizontale de la sphère, seront les traces des deux plans tangents p' et p'^ qui auront leurs traces verticale» perpendiculaires à la ligne AZ.
696. Si la droite donnée élait oblique par rapport aux plans de projection, l'opération serait plus difficile.
Représentons la sphère donnée par (A, A'), fig. 343, et la droite donnée par [b^ 6')-
On fera <ï'abord passer (113), par le centre de la sphère, le planp perpendiculaire à la droite (6, 6'), et I on déterminera le point (m, m') suivant lequel ce plan coupe la droite donnée. Quant au grand cercle suivant lequel la sphère sera coupée par le plan p, il aurait pour projection une ellipse; mais pour éviter la construction de cette courbe, ob fera tourner le plan p, soit autour de sa trace, soit, comme on l'a fait ici, autour de l'horizontale {h, h') qui passe par le centre de la sphère. Dans ce rabattement, la section par le plan p se confondra avec le grand cercle c, formant la projection horizontale de la sphère, et le point (m, m') viendra se placer en m". 11 sefa facile alors de construire les deux tangentes [m"v"^ m"v"). Pour ramener ces deux lignes à la place qu'elles doivent occuper dans l'espace, on remarquera que les points /, s ne doivent pas changer de place, puisqu*ils appartiennent a la droite (/i, h')^ que Ton a prise pour charnière du rabattement ; de sorte qu'en joignant ces deux points avec m, on aura (mi, ms) pour les projections hcfrizon taies des deux tangentes.. Les points «, $ se projetteront verticalement suivant (f, s') et détermineront les' projections verticales (m't', m' s') des tangentes. On fera passer par chacune d'elles et par la droite donnée un plan qui sera tangent à la sphère : les lignes [u^'u) {v"v) perpendiculaires à la droite hf donneront les projections des points de tangence.
La solution précédente revient àconcevoir la sphère enveloppée par un cylindre circulaire parallèle à la droite donnée, et à construire par cette droite deux plans tangents au cylindre.
697. Deuxième méthode. Au lieu d'un cylindre, on peut employer un cône. En effet, supposons, flg. 342, que la sphère donnée A soit enveloppée par un cône qui aurait pour sommet un point quelconque pris sur la droite donnée b.
Il ne restera plus qu'à faire passer par cette droite un plan tangent au cône. 11 est évident que ce plan touchera la sphère.
Le cône qui enveloppe la sphère étant circulaire, et le sommet pouvant être pris partout où on voudra sur la droite donnée, il sera possible d'appliquer les principes que nous ayons exposés au n<> 644, et les opérations seront alors réduites à une grande simplicité.
Soit, flg. 344, la sphère donnée AA' et la droite 'donnée b'.
L^ plan A^, parallèle au plan vertical de projection, déterminera un point ss^ que nous prendrons pour sommet du cône auxiliaire.
En opérant comme nous Tavons dit au n» 645, il sera facile de déterminer la section aa, a'a' dont la projection horizontale se confond avec le grand cercle qui forme la limite de la projection de la sphère.
Le plan oblique pq, qui contient la section aa, aV, est percé par la droite donnée en un point m'm^ par lequel on construira les deux tangentes mo, me. Ces droites et la ligne donnée bb' déterminent les deux plans tangents qu'il sera facile de construire (69).
Les points de tangence uu\ vv^ résultent de l'intersection du petit cercle zx^ suivant lequel la sphère est touchée par Je cône auxiliaire avec les deux droites s'c^ , «'o' , suivant lesquelles ce cône doit être touché par les deux plans demandés.
698. Troisième méthode. On peut concevoir la sphère donnée A, fîg. 348, pi. 72, enveloppée par deux cônes circulaires, ayant pour sommets deux points quelconques 5, t de la ligne donnée.
Ces cônes toucheront la sphère suivant dejux petits cercles aa, cQ dont les intersections seront les points de tangence.
La figure 349 contient les opérations.
La sphère étant donnée par les deux grands cercles AA\ et là droite par les deux projections W,
On prendra, pour plus de simplicité, le sommet ss' de Tun .des deux cônes auxiliaires dans le plan qui contient le centre de la sphère, et qui est parallèle au plan vertical de pro* jection.
Ce premier cône touchera la sphère suivant un petit cercle projeté sur le plan vertical par la droite aa. La projection horizontale de ce cercle serait une ellipse dont nous éviterons la construction en faisant un rabattement.
Nous prendrons ensuite Je sommet i't du second cône auxiliaire dans le plan horizontal qui contient le centre de la sphère. Le petit cercle, suivant lequel ce cône touche la sphère, aura pour projection horizontale la droite ce, et pour projection verticale une ellipse que nous ne construirons pas.
Or, les points de tangence devant appartenir aux deux cercles projetés par les droites aa, ce, il ne reste plus qu'à trouver leur intersection.
Si on avait construit la projection horizontale du cercle aa^ ou la projection verticale du cercle ce, les points d'intersection de ces deux cercles seraient déterminés par les intersections de leurs projections ; mais, pour éviter les projections elliptiques, nous rabattrons le cercle aa en le faisant tourner autour de rhorizontale projetante du point o, pris où Ton voudra dans le plan pzp.
Dans ce mouvement, le centre v du cercle aa décrira un arc parallèle au plan vertical de projection et viendra se projeter en t;'. • ' '
La circonférence décrite du point v' comme centre, avec un rayon v'a' égal à va, sera par conséquent le petit cercle aa . rabattu sur le plan horizontal.
Or, les points de tangence cherchés devant tésul ter de l'intersection des deux cercles aa, ce appartiennent par conséquent à la droite suivant laquelle se coupent les plans qui contiennent ces cercles. *
Cette droite, dont les . projections sont o'a, oe, coupera l'horizontale projetante du point o'o en un point o, qui, dans le rabattement, ne doit pas changer de place.
Un second point quelconque rr' de la di-oite ao', co étant rabattu en f', on construira cette ligne or" dans le rabattement et les points in'\ n" où elle coupe le cercle v'a' seront les points de tangence demandés.
H ne restera plus qu'à faire revenir ces points à leur place, ce qui donnera pour leurs projections les deux points
336 suRFAr4E PL. 72.
Les points de tangence étant obtenus, on pourra construire les plans tangents en opérant comme nous l'avon& dit au a* 694.
On peut aussi joindre les points mm' y nn\ avec les sommets des deux cônes par des droites çui, avec la ligne donnée bb^y sont suffisantes pour déterminer les plans tangents demandés par la question.
699. Quatrième mét/wde. On peut encore remplacer Tun des cônes auxiliaires, dont nous venons de parler, par un cylindre parallèle à la ligne donnée. Dans ce cas, l'un des deux petits cercles aa^ ce deviendrait un grand cercle dont le plan, passant par le centre de la sphère, serait perpendiculaire à la droite donnée.
Le reste se ferait comme dans l'épure précédente, c'est-àdire que Ton rabattrait le cercle suivant lequel la ;sphère serait touchée par le cône auxiliaire, que l'on pourrait toujours choisir comme ci-dessus, de manière que son axe soit parallèle à l'un des plans de proj;ection.
On rabattrait également l'intersection du plan perpendiculaire à la droite donnée, et passant par le centre de la sphère avec le ,plan du cercle, suivant lequel cette surface serait touchée par le cône auxiliaire.
Les points de tangence obtenus dans le rabattement seraient ensuite ramenés à leur place. Je me contenterai d'indiquer cette dernière méthode comme exercice.
700. Les relations qui précèdent donnent une deuxième solution d'un problème que nous- avions résolu au n» 175.
Supposons qu'il s'agisse de construire un plan qui fasse avec les plans de projection des angles donnés.
Soit V'i'angle que le point cherché doit faire avec le plan vertical, et H l'angle que ce môme plan doit faire avec le plan horizontal.
1** On décrira une circonférence quelconque ayant pour centre un point o, pris à volonté sur la ligne AZ ; cette circonférence pourra représenter en même temps les deux projections d'une sphère dont les méridiens principaux seraient alors situés dans les plans de projection.
2** On conslruira la tangente sn^ de manière que Tangle sao soit égal à l'angle H. Si on suppose que cette tangente tourne autour de la verticale ^o, elle engendrera un cône circulaire qui aurait son sommet en s et dont la base sera la circonfé- ►rencea^ia.
3** On conslruira la tangente uc telle que Tangle uco soit égal à Tangle V, puis on supposera que cette tangente tourne autour de rtiorizontale.i/o; ce qui donnera un second cône circulaire ayant son sommet en u et dont la base sera la circooférence cnc.
Or, il est évident que 'tout plan tangent au premier cône fera avec le plan horizontal un angle sao égal à II.
De plus, tout plan tangent au second cône fera avec le plan vertical un angle uco égal à V. »
Donc un plan qui serait en^même temps langent aux deux cônes satisferait aux conditions demandées.
La construction que nous venons d'indiquer donne deux solutions, savoir : le plan p et le plan />'.
Les traces de ces deux plans doivent contenir les sommets ^ et u des deux cônes auxiliaires et de plus être tangentes aux traces ama, cnc de ces cônes.
701. Si les plans demandés devaient contenir un poin donné dans l'espace, on pourrait d'abord opérer comme nous venons de le faire, après quoi il ne resterait plus qu'à faire passer par le point donné des plans parallèles à ceux que l'on aurait trouvés.
Dans ce cas, aux deux solutions précédentes, il faudrait en ajouter deux autres, savoir : un troisième plan qui aurait sa trace verticale parallèle à pco et sa trace horizontale parallèle à la droite œr/\ qui touche derrière le plan vertical la trace de l'un des deux cônes auxiliaires.
Enfin, un quatrième plan qui aurait sa trace Verticale parallèle à p'r et sa trace horizontale parallèle à rp^'\
Si la somme des angles H + V était égale à un angle droit, les traces .des deux côpes auxiliaires passeraient par les points s et u ; de sorte que les quatre plans se réduiraient à deux qui seraient parallèles à la ligne AZ ; et si la somme des angles H + V était plus petite qu'un angle droit, les
points s eiu seraient dans l'intérieur des cônes auxiliaires^ et, dans ce cas, le problème serait impossible*
Ce résultat est conforme à ce que nous avons dit au no 176.
702. Construire un plan tangent à tme sphère^ par un point situé hors de la surface de cette sphère.
r° méthode. Par le point donné ss\ fig. 347, on fera passer une droite aa' par laquelle on construira deux planstangents à la sphère, une seconde droite bb^ déterminera deux autres plans tangents, une troisième droite en donnera encore deux, et ainsi de suite. Le nombre des plans q[tie l'on peut construire ainsi est infini. Tous ces plans seraient tangents au cône circulaire enveloppant la sphère et la toucheraient suivant un petit cercle zx que l'on nomme courbe de contact.
Si. le point donné se rapprochait de la sphère, l'angle du C()ne s'ouvrirait, le cercle de contact diminuerait, et son plan s'éloignerarit du centre de la sphère ; enfin lorsque le point donné arriverait sur la surface de la sphère, tous les planstangents se réuniraient en un seuU qui remplacerait le cône enveloppant ; le cercle de contact, réduit à zéro, se confondrait avec le point donné-
Si, au contraire, le point donné s'éloignait à Tinfini, le cône se changerait en un cylindre circulaire, et le cercle de contact deviendrait un grand cercle de la sphère.
703. 2« me^/î ode. On prendra un plan ^e projection parallèle à la droite qui joint le point donné avec le centre de^ la sphère.
On concevra la sphère enveloppée par le cône circulaire qui aurait le point donné pour sommet.
On déterminer^ la direction du plan pq, de manière que la section a'a' du cône par ce plan se projette par une circonférence aa (645) . . •
Enfin, tous les plans tangents demandés seront déterminés par le point donné ss^ et par chacune des tangentes à la courbe aa, a'a'.
On remarquera que toutes ces tangentes ont. une projection verticale commune pç, et que toutes leurs projections horizontales doivent être tangentes à la circonférence aa.
Les points de tangence seront déterminés par la rencontre du petit cercle zx avec les génératrices suivant lesquelles chaque plan tangent touche le cône auxiliaire.
70^. Courbe de contact. Dans les questions diverses que l'on peut proposer sur les plans tangents, il faut distinguer les cas où il est nécessaire de construire les traces de ces plans, de ceux où le but principal est d'obtenir les points de tangence.
Ainsi, par exemple, si on veut construire la courbe suivant laquelle la sphère serait touchée par ious les plans qui contiennent le point donné, on pourra se dispenser de construire les traces de ces plans.
En effet la courbe cherchée est la circonférence du petit cercle, suivant lequel la sphère serait touchée par la surface du cône circulaire qui aurait pour sommet le point donné.
Pour construire les deux projections de cette circonférence, on choisira, flg. 350, un plan de projection parallèle à la droite qui joint le point donné ss^ avec le centre de la sphère.
On tracera les deux tangentes ^V, s'x' et la corde zfa/ qui joint les deux points de tangence.
Cette dernière ligne sera la projection verticale du cercle demandé.
La projection horizontale sera une ellipse dontle grand axe ce doit être égal à z'x\ et le petit axe zx est la projection horizontale du diamètre 2V.
705. Dans les deux questions précédentes, flg. .347 et 350, nous avons placé le centre de la sphère et le point donné dans un plan parallèle au plan vertical de projection. Si le point donné était placé partout ailleurs, on ramènerait la question au cas précédent, en faisant usage d'un plan dé projection parallèle à l'axe du cône auxiliaire!
