Problème. Intersection dCune sphère et d'un

cône. ^

Supposons qu'il s'agisse, flg. 375,- pi. 78, de trouver la c«)urbe d'intersection d'une sphère par un cône qui aurait pour sommet le centre de la sphère.

On coupera, comme nous l'avons fait au n<> 576, les deux surfaces proposées par des plans verticaux passant par le sommet du cône. Tous ces plans, contenant le centre de la bphère, couperont cette silrface suivant des grands cercles dont on évitera la projection elliptique en les rabattant autour de la verticale projetante du centre de la sphère.

Ainsi, par exemple, pour avoir le point où la génératrice ^-1 perce la sphère, on concevra le plan vertical projetant de cette ligne ; la section dans la sphère sera un grand cercle qui, étant rabattu autour de la verticale du point w', viendra se confondre avec la projection du méridien principal. La génératrice ^-1 se rabattra en s-V^ et l'intersection de cette droite avec le grand cercle vu donnera le point m^\ qui, ramené à sa place, deviendra m, m^

La même opération étant recommencée pour toutes les génératrices du cône, on obtiendra les deux courbes ac, a'c'

364 SUBFACE PL. 78.

pour les projections de la ligne de pénétration du cône dan^ la sphère. ' . .

Si Ton veut construire cette courbe dans le développement de la surface du cône, on remarquera d'abord que, puisqu'elle appartient à la surface de la sphère, tous ses points sont à égale distance du point ss' sommet du cône.

De plus, chaque élément infiniment petit de la courbe que nous venons d'obtenir peut être considéré comme situé dans un plan langent à la surface dé la sphère, et par conséquent la courbe d'intersection rencontre partout à angle droit les génératrices du cône, puisque ces lignes sont des rayons de la sphère.

Si Ton éloignait le sommet jusqu'à l'infini, le cône se changerait en un cylindre, la sphère en un plan, et par conséquent la courbe deviendrait plane et représenterait la section droite du cylindre. Ainsi, là courbe ac, aV est pour le cône ce que la section droite est pour le cylindre.

Tous les points de la courbe que nous venons d'obtenir étant à égale distance du sommet du cône, si Ton conçoit cette courbe partagée en un grand nombre d'arcs très-petits, et que par les points de division on fasse passer des génératrices du cône, on pourra sans erreur sensible regarder la portion de surface conique comprime entre deux génératrices consécutives et le petit arc correspondant, comme un triangle isocèle, de sorte qu'en plaçant ces petits triangles à côté les uns des autres, leur ensemble formera un secte^ur de cercle. De là résulte la construction suivante :

Du point s^ avec un rayon égal à s^a\ on décrira Tare de cercle m*^ omT sur lequel on portera la longueur véritable de la courbe à double courbure obtenue précédemment, et le secteur ^m*^ om^^ sera le développement de la portion de cône comprise entre le sommet et la courbe ac, aV.

Pour avoir la longueur de Tare w}^m^^^ on développera le cylindre ^projetant de la courbe ac, aV (459), ce qui donnera la courbe m"'om^" ; on portera les arcs qui composent cette courbe à la suite les uns des autres sur le cercle m^m^^ ce qui déterminera le secteur formant le développement du cône.

En portant ensuite sur chaque rayon prolongé la véritable

grandeur de la partie de la génératrice correspondante, on construira facilement la courbe l'^'-^-t'^' qui représente le développement de la trace horizontale du cône.

739. Problème. On peut encore employer la même disposition d'épuré pour obtenir V intersection d'une sphère avec un cône quelconque.

On prendra l'un des plans de projection, flg. 37©, perpendiculaire à la droite K qui contient le centre G de la sphère et le sommet S du cône. Le second plan de projection sera, parallèle à la même droite qui alors sera projetée par une perpendîtulaire à la ligne AZ .

On construira les deux projections de la courbe directrice de la surface, conique et Ton opérera pour le reste comme dans l'exemple précédent.

Ainsi un plan P^ contenant la droite GS^ coupera la sphère suivant un méridien, et le cône suivant deux génératrices SI, S-2, qui rabattues en S-K' et S -2'' sur le plan du méridien principal Pj donneront deux points^tn^' et n'\ On ramènera ces points eii mm' et nn\ et ainsi de suite, pour tous les autres points de la courbe demandée. ,

740. Toutes les fois que le cône sera circulaire et que son axe passera par le centre de la sphère, fig. 376, la ligne de pénétration sera un cercle.

Si le sommet qst en dehors de la sphère, il y aura deux cercles dé pénétration, flig. 377, et si le sommet s'éloignait jusqu'à rinûni, le cône se changerait en un cylindre et les deux cercles deviendraient égaux.

D'où il résulte que lorsque Taxe d'un cylindre circulaire passe par le centre de la sphère, les lignes de pénétration sont deux cercles égaux et parallèles.

741. Il n'est pas toujours nécessaire que le cône et le cylindre soient circulaires et que leurs axes passent parle centre de la sphère pour que les lignes de pénétration soient des cercles. Ainsi, nous avons démontré au n° 208 que, dans tous les cas, lorsque l'une des courbes de pénétration est un cercle, la seconde courbe de pénétration est aussi un cercle.

742. Le principe que nous venons de rappeler donne quelquefois lieu à des abréviations. Ainsi, par exemple, flg. 373, A et A' étant les deux projections d'un hémisphère creux, â l'on proposait de construire la pénétration de cet hémisphère par un cylindre oblique, ayant pour directrice le grand cercle ac et pour génératrice la droite vw, v'u\ on construirait la projection auxiliaire A^', sur laquelle la courbe de pénétration m'n'm' se projetterait* par une ligne droite m^^n'^. Il serait ensuite facile de construire cette courbe sur les deux projections en ramenant chacun de ses points ou en cherchant les axes.

743. Problème. Construire rintersection d'une ligne courbe avec la surface d'une sphère.

On emploiera, flgr. 374, comme surface auxiliaire un cylindre C, perpendiculaire au plan horizontal et contenant, la courbe donnée aa'. Cette surface, qui n'est autre que le cylindre projetant (le la ligne donnée, coupera la sphère suivant une courbe à double courbure, dont la projection horizontale se confondra avec celle de la courbe a, et dont ki projection verticale V sera coupée par la projection verticale de la ligne donnée en deux points (m', m',) qui serout les projections verticales des points demandés ( m, ra' ) (m, m').

Pour construire Ha projection verticale de la ligne bb\ on élèvera des perpendiculaires par les points suivant lesquels la trace du cylindre C coupe les projections horizontales des parallèles de la sphère.

Si quelques-uns de ces cercles étaient rencontrés trop obliquement par la projection de la courbe donnée, on pourrait employer des sections méridiennes de la sphère.

Ainsi, par exemple, la verticale projetante du point m coupe la section méridienne op en deux points, qui, rabattus dans le plan du méridien principal, deviennent m" m".

Ramenant ensuite ces points à leur place, on obtient

744. On pourrait encore employer cqmme surface auxiliaire un cône qui aurait pour sommet lé centre de la sphère et pour directrice la courbe donnée. Dans ce cas, on obtiendrait

l'intersecUon du cône avec la sphère en opérant comme nous l'avons fait au numéro 738.