V. situés tous les trois dans le plan hori

^iis des cylindres. Les axes et les rayons des

afes étant connus, il sera facile d'obtenir leurs projec-

liODS. L'un des moyens les plus simples sera de construire

les deux projections d'une sphère inscrite dans chacun des

•cylindres demandés.

Le rayon de cette sphère étant égal à Ew'', on prendra pour centre un point quelconque sur l'axe du cylindre dont on voudra obtenir la projection.

Traces des cylindres. La droite hk sera le grand axe, et la droite el sera le petit axe de chacune des ellipses qui forment les traces horizontales des trois cylindres.

On n'a pas construit les traces verticales qui n'offrent pas 4lDtérêt dans la question actuelle, i Projections de la sphère. Le rayon étant donné, on prendra

! pour centre le point 00^ situé à égale distance des trois

points de tangence, et dans le plan LU de ces points.

Pénétrations dans la sphère. On construira d'abord les deux courbes suivant lesquelles la sphère est pénétrée par le cylindre BB'. Il suffira pour obtenir ces courbes de couper le cylindre et la sphère par des plans parallèles au plan ver- Xical de projection. Chacun de ces plans coupera le cylindre

suivant deux génératrices, et la sphère suivant un cercle parallèle au plan vertical de projection. Les points suivant lesquels ce cercle ëera rencontré par les génératrices du cylindre appartiendront aux courbes de pénétration demandées (728).

Cette opération est tellement élémentaire, que je n'ai pas cru devoir en conserver la trace sur Tépure principale, et je me suis contenté de la rappeler au lecteur par la ligure 1, qui contient les mêmes données sur une plus petite échelle..

Si par le point 0 de cette figure on construit le plan V perpendiculaire au cylindre BB', il est évident que ce plan coupera la sphère et le cylindre en deux parties symétriques, et Ton sait que lorsqu'un plan de syraétrieestperpendiculaireauplaa de projection les parties symétriquement placées dans l'espace ont des projections symétriques, ce qui explique pourquoi les deux courbes de pénétration MM' et NN' ont desprojections M' et N' symétriques.

Cette remarque permettra de vérifiei; les courbes de pénétration en s'assurant que sur la projection verticale, les points symétriques sont bien exactement placés à égale distance du plan P, sur les projections verticales des génératrices du cylindre.

De plus, si l'on fait tourner le cylindre BB' autour de Thorizontale projetante du point 00' jusqu'à ce qu'il soit venu prendre la position B'^ et de manière que les deux cylindres B' et B'' soient placés symétriquement par rapport au plan horizontal P^ il évident que les courbes N' et U' seront symétriques et qu'elles auront par conséquent la même projection horizontale K ; mais les deux courbes M et. N étant symétriques par rapport au plan vertical Pj leurs projections horizontales sont symétriques ; donc la projeclioa horizontale de la courbe U' étant égale à celle de la courbe N, sera symétrique de la courbe M. '

Ainsi les courbes de pénétration de la sphère et du cylindre BB' auront des projections verticales M' et N' symétriquement.^ placées t>ar rapport au plan P, et les projections horizontales-- M et N des mêmes courbes seront également symétriques, par rapport au plan Pa ce qui permettra de vérifier l'exactitude des projections horizontales^ comme la symétrie par

rapport au plan P sert à vérifier les projections verticales.

C'est principalement pour déterminer les courbes de pénétration de la surface sphérique et des deux autres cylindres que la symétrie nous sera d'une grande utilité.

En effet, si Ton voulait employer la méthode précédente, il faudrait construire une projection auxiliaire, sur un plan vertical parallèle à chacun des cylindres donnés ; mais nous avons déjà remarqué que les trois cylindres sont groupés autour de Taxe, de manière qu'en fdisant faire à ces trois cylindres un tiers de révolution, chacun d'eux viendrait occuper e^^actement la place du cylindre qui le précède, et serait à son tour remplacé par le cylindre qui le suit.

Or ce que nous venons de dire des cylindres s'appliquerait également aux courbes de pénétration ; de sorte qu'en faisant tourner les trois cylindres de 12u degrés, chaque point des deux courbes précédemment obtenues, flg. 4, décrirait ' également m arc de 120 degrés, et le plan P, tournant en même temps, viendrait prendre la place du plan P^ ; ainsi, pour obtenir les courbes de pénétration de la sphère par le cylindre CC :

1** On décrira du point 0 comme centre, un arc de cercle passant par chacun des points des courbes de pénétration de la sphère et du cylindre BB' ;

2® On prendra les longueurs des arcs compris entre ces points et le plan P» et Ton reportera ces mêmes arcs sur les circonférences correspondantes à partir dii plan P, ;

3° Enfin, en portant les mêmes distances à partir du plan P4 on obtiendra les projections horizontales des deux courbes de pénétration de la sphère du cylindre Diy.

Lorsque leà projections horizontales des quatre dernières courbes seront déterminées, on obtiendra leurs projections verticales en élevant, par chaque point, une perpendiculaire à AT, jusqu'à ce que ces perpendiculaires rencontrent les horizontales menées par les projections verticales des points correspondatnts que Ton aura pris la précaution de numéroter.

737. Symétrie. Les nombreuses relations de symétrie qui existent dans l'épure précédente peuvent donner lieu à quel* ques remarques utiles.

On a dit que deux objets, deux corps symétriques devaient a/voir une base commune, et être consttmts semblablement^ run ^lu-^essus du plan de cette base^ l'autre au-dessous^ avec cette coi}dUion que les sommets des angles solides homologues seraient situés à égale distance du plan de la base sur une même droite perpendiculaire à ce plan.

Cette définition n'est point exacte ; d'abord parce qu'il n'est pas nécessaire que les deux corps dont il s'agit aient une base commune. Il est évident qu'ils pourraient être placés à une certaine distance l'un de rautre, de manière ' que les sommets homologues soient situés deux à deux sur une perpendiculaire à un même plan, et à égale distance de ce plan, qui devient alors un plan de symétrie. Mais encore il est bien évident que celte dernière condition n'est «pas nécessaire pour établir la symétrie des deux corps dont il s'agit ; et l'on conçoit parfaitement que deux corps composés de parties égales arrangées dans un ordre inverse seront symétriques dans leurs formes quoiqu'ils ne soient pas placés symétriquement.

11 faut donc distinguer la symétne de forme de la symétrie de position.

Cette dernière espèce de symétrie est évidemment la seule qui convienne pour les figures planes ; en effet, si deux figures de cette espèce, deux triangles par exemple, sont placés comme on le voit sur la figure 7, on ne peut. pas dire que ces deux triangles soient symétriques; car si Ton joint par une droite deux quelconques de leurs sommets homologues, et si par le milieu de la droite ab on lui élève une perpendiculaire cd, cette dernière ligne sera un axe de symétrie ; or, si l'on fait tourner le triangle A autour de la droite cd, on fera coïncider les deux triangles, et leur égalité deviendra évidente. On ne doit donc pas dire que ces deux triangles sont des figures symétriques ; ce sont des figures égales placées symétriquement.

Aux symétries de forme et de position on pourrait ajouter une troisième sorte de symétrie, que l'on nommerait symétrie de projection .

En effet, pour qu'un objet symétrique se projette symétriquementi il faut que iej)lan de projection soit perpendicu-

FU 78. DE LA SimÂRE. 363

laire aa plan de symétrie ; et, dans ce cas, on a une vue de face comme celle que Ton obtient lorsque^ la surface d'un portrait est perpendiculaire au plan de symétrie du corps humain; tandis que si ce dernier plan était parallèle à celui du tableau, on aurait évidemment ce que l'on appelle un profil.

Si les deux polyèdres A et B, flg. 6, sont placés symétriquement par rapport au plan vertical, il est évident que leurs projections horizontales seront symétriques par rapport â la trace horizontale du plan P, qui alors est un axe de symétrie pour ces deux projections; et Ton conçoit que l'un des deux polyèdres pourrait s'élever jusqu'en A' sans que la symétrie cessât d'exister sur la projection horizontale.

Enfin, cette symétrie de projections existerait encore si le polyèdre B était remplacé par un polyèdre C différant complètement du premier, mais dont les sommets seraient situés sur les mêmes perpendiculaires projetantes.