Épicydolde sphérique. Soient, flg. 380, pi

deux cônes circulaires (A, A') (B, B') ayant pour sommet commun le point ss', et pour bases les deux circonférences (a-15) (a'-15) et (15-c') (15-c) tangentes au point 15.

Si Ton fait rouler le cône BB' sur le cône immobile AA', chacun des points de la circonférence (c-15) (c'-t5) décrira une courbe à laquelle on donne le non d'épicycloïde sphérique. On demande de construire les projections de l'une de ces courbes.

On prendra pour l'un des deux plans de projection celui qui contient la base du cône immobile. On fera tourner le cercle générateur autour de Thorizontale projetante du point cc^j et lorsque ce cercle sera rabattu sur le plan horizontal (/-15^ on le partagera en un nombre quelconque de parties égales, en 16 par exemple. On ramènera le cercle générateur -à sa place, et l'on déterminera bien exactement chaque point de division sur les deux projections i5-c, i5-c'.

Enfin, on portera tous les arcs égaux du cercle générateur à la suite les uns des autres sur la circonférence du cercle immobile.

Cela étant fait : proposons- nous de construire la courbe engendrée par le point 1 . Nous choisirons ce point de préférence, afin que la projection de courbe cherchée ne se confonde pas avec les opérations précédentes.

368 > sup'AGB vu 79,

Si nous supposons que Ton fasse rouler le cône incliné dans le sens indiqué par la flèche^ les différents points de division du cercle 15-cr, 15-c', viendront successivement toucher les points correspondants de la base du cône immobile, et le centre oo' du premier cercle parcourra dans l'espace un arc projeté sur le plan hoMzontal par la circonférence oo^^ et sur le plan vertical par la droite oo'.

Lorsque le point 2 viendra loucher la circonférence du cercle immobile, le point 1 sera placé, par rapport au point 2, comme le point 14 était placé par rapport au point 15, au moment où les axes des deux cônes étaient dans un même plan parallèle au plan vertical de projection. De sorte que pour obtenir le point l' on décrira du point s, comme centre, la circonférence 1 4-t;', puis avec le compas on fera l'arc de cercle v'-V égal, à u-44 . ,

Pour déterminer le point, V^ on décrira la,çirçojifétence IS-ti'j.el l'on fera l'arc u'-r égal à u-13. ^

En coniinuant à opérer de la même manière, on obtiendra tous les points de la courbe demandée, quelle que soit la position du cercle mpbiL^.

Le point générateur ne quitte pas la surface d'une sphère qui a pour rayon, la. droite ^-15, génératrice commune des deux cônes ; c'est pourquoi la courbe obtenue se nomme épicycUMe sphérique pour la distinguer de VépicjfcUnde plane que nous avons étudiée au n"" 352. ^

747.' Si le sommet commun aux deux cônes s'éloignait du plan horizontal a-t 5, la courbure de la sphère diminuerait, et lorsque le centre serait parvenu jusqu'à TinOni, la surface de la sphère serait plane, les deux cônes seraient remplacés par deux cylindres circulaires, et la courbe engendrée serait une épicycloïde plane.

748. Pendant que chacun des points de la circonférence (i5-c)(15-c') décrit une épicycloïde sphérique, tous les autres points situés dans le même plan 'décrivent des épicycloïdes rallongées ou raccourcies, suivant qu'ils sont en dehors ou en dedans de la circonférence mobile.

Proposons-nous, par exemple, de déterminer la position que doit occuper le point 17, lorsque le point I, générateur de l'épicycloïde, sera parvenu en 1'''.

Nous remarquerons d'abord qu'à Tinstant dont il s'agit les deux cercles se touchent par le point 6 ; mais pour que ce point vienne remplacer le point 15'' dans le rabattement, il faut que le point 1 prenne la j)lace du point 10, et dans ce cas, le point 17, ramené en 17', aura pour projections les deux points 17", 17". De sorte que pour obtenir le point demandé on décrira la circonférence I7"-a? et l'on fera Tare de cercle a?'- 17'", égal à a?-17". En opérant de la même manière on obtiendra tous les points de l'épicycloïde sphôrique rallongée.

Par des constructions analogues on obtiendra le point 18'" qui appartient à répicycloïde raccourcie engendrée par le point 18. Si on a bien opéré, les quatre points o", 18'", 1'", 17'", doivent être sur un même rayon o"-l'" du cercle mobile.