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754. Au reste, nous n'avons admis ces divers modes de génération que pour plus Je simplicité, mais Ton n'est pas nécessairement contraint de s'y assujettir. En général, toute ligne, droite ou courbe, que l'on ferait mouvoir d'après des conditions telles que dans toutes ses positions elle serait toujours située dans une certaine surface, pourrait être regardée comme la génét-atrice de cette surface. Ainsi, par exemple, on pourrait encore engendrer le plan par une ligne droite qui tournerait autour d*une autre droite immobile, avec laquelle elle ferait constamment un angle droit. La droite 'fixe se nommerait l'axe du plan. Dans cette génération, qui. a de l'analogie avec celle du cône, la^droi te génératrice changeant à chaque instant de direction dans l'espace, cette dernière condition eût été moins facile à représenter sur les épures que le parallélisme des génératrices ; c'est pourquoi* ce dernier mode de génération a été préfér(^. On peut engendrer le cylindre en supposant qu'une courbe quelconque se meut parallèlement «"i elle-même, en s'appuyant' toujours sur une ligne droite qui devient la directrice. . • '

Pour le cône, on peut supp\)ser qu'une courbe glisse parallèlement à elle-même en suivant toujours une droite directrice, de manière que, sans changer de forme, la courbe génér ratrice varie de grandeur proportionnellement à sa distance au sommet. Enfin, au lieu de considérer la sphère comme provenant *du mouvement d'un grand cercle qui tourne autour de son diajpètre, on peut supposer qu'un cercle variable de grandeur se meut parallèlement à lui-même, de manière que son centre parcoure une ligne droite, et qu'en nommant R le rayon de lasph^o nve l'on veut engendrer, r le rayon du cercle générateur, et d la distance de son plan au centre de la sphère, on ait •

755. il résulte de ce que nous venons de dire, qu'une surface peut être engendrée de plusieurs manières, et que Ton est libre de choisir celle de ces générations qui convient le mieux soit pour la représentation de la surface sur les épures, soit pour la solution des divers problèmes qui en dépendent.

756. J'ai cru devoir commencer par appeler l'attention du lecteur sur les surfaces cylindriques, coniques et spliériques, parce qu'elles sont la base esseniielte de presque toutes les combinaisons de l'industrie.

Nous allons actuellement considérer les surfaces courbes sous un point de vue plus général.

757. Quoique la courbure des surfaces puisse être variée d'une inflnité de manières, on peut cependant renferiher tous les cas particuliers dans une même définition, en supposant que toute surface est engendrée par le mouvement d'une ligne quelconque, droite ou Gourbe^ plane ou à double cour^ bure^ constante ou variable de /orme^ et qui se meut suivant des conditions données.

Si, par exemple, nous faisons tourner l'eHLpse a'o'u\ ûg, 385, pi. 80, autour de la droite verticale &o\ elle engendrera une surface que nous nommerons ellipsoïde de révolution,

768. Si nous supposons que Taxe horizontal au varia de longueur pour chaque position nouvelle de l'ellipse mobile, nous obtiendrons une infinité de surfaces difiiérentes.

759. Introduisons la condition que les deux points a, u ne quittéïit pas la. circonférence de l'ellipse horizontale avuœ, alors la surface engendrée prendra le nom d'ellipsoïde à trois accès pour la distinguer de l'ellipsoïde de révolution. •

760. Nous obtiendrons encore la même surface en supposant qu'une ellipse horizontale telle que avux, flg. 387^ s'élève parallèlement à elle-même en variant de grandeur à chaque position, pourvu que le rapport des axes ne change pas, et que le plus grand de ces deux axes soit toujours égal à l'une des cordes horizontales de TeUipsé a'o'u\

Ces différents modes de génération reviennent à considérer la surface comme le lieu géométrique qui contient un système de lignes données.

761. La topographie nous fournira un exemple remarquable de ce genre de définition.

Supposons que Ton veuille déterminer, flg. 386, lous les innombrables contours et sinuosités d'un pays de montagnes, on supposera le terrain coupé par une suite de plans horizontaux, ej; l'on construira les projections horizontales des sections obtenues.

Il est évident que Ton pourra éviter la projection verticale en exprimant par des nombres la hauteur de chaque plan coupant (241).

Ainsi'la courbe désignée par le chiffre 15 sera la section du terrain par un plan horizontal élevé à 15 mètres au-dessus du niveau de la mer ; la courbe désignée par le nombre 20 sera la section à 20 mètres de hauteur, etc.

Il serait facile d'augmenter l'exactitude en projetant des sections plus rapprochées.

762. Le lecteur comprendra de suite tout le parti que l'on peut tirer d'une représentation aussi complète de la surface terrestre.

Supposons qu'il s'agisse de tracer ^une route suivant la direction ba, on coupera la surface par le plan vertical, qui a pour trace cette ligne, et la section transportée, flg. 388, donnera les différences de niveau de tous les points de ia ligne que doit parcourir la route projetée.

Si la projection horizontale de cette route était une courbe cd, on développerait, flg. 389, le cylindre projetant de cette ligne.

Ces exemples suffisent pour faire comprendre la possibilité de représenter toutes les surfaces courbes, quelque nombreux que soient les accidents et sinuosités de leurs contours. Nous allons diriger plus particulièrement notre attention sur les surfaces employées dans les arts, et dont la génération résulte par conséquent du mouvement de certaines lignes définies*

763. L'idée la plus simple a dû être de classer les surfaces d'après la nature des opérations nécessaires pour les produire.

Ainsi, par exemple, on a nommé surfaces de révolution celles qui s'exécutent sur le tour, et surfaces réglées celles dont Texécution est obtenue par la règle.

Si à ces deux genres Se surfaces nous ajoutons les surfaces enveloppes, nous aurons toutes tes espèces différentes de suriaces courbes employées dans les travaux de l'industrie.

Nous étudierons bientôt en pa/ticulier chacun des genres de surfaces que nous venons d'énoncer, mais auparavant nous allons présenter quelques idées générales sur l'ordre que nous devons suivre dans cette étude.

7Ô4. Le mode de génération d'une surface étant adopté, il faut savoir, pour chaque cas particulier, répondre aux questions suivantes :

P Représenter sur V épure la surface dont la définition t'st d^yn/née ;

2° Eùoprimer qu'un point ou une ligne fait partie delà -surface donnée ;

3^ Développer (autant que possible) la surface donnée en tout ou en partie ;

4<» Mener à la surface donnée des plans tangents^ des normales et des surfaces normales ;

5** Trouver l'intersection de la surface donnée, par un plan ;

6** Trouver la courbe d'intersection de la surface donnée ^vec toute autre surface ;

7° Trouver l'intersection de la surface donnée par une Mgne quelconques droite ou courbe.

765. Pour représenter sur l'épure une surface dont la définition est donnée, il suffit de savoir construire la génératrice de cette surfaœ dans une position quelconque.

Quelquefois la surface est infinie dans ses deux dimensions, '<x)mme le plan en général et les cylindres et cônes qui ont pour directrices des courbes infinies ; d'autres fois elle n'est infinie que dans un sens, comme le cylindre et le cône, lorsque leur directrice est une courbe fermée ; enfin elle peut être finie en tous sens, comme la surface de la sphère.

766. En construisant un certain nombre de génératrices, -et sur chacune d'elles les points où elle perce les plans de projection, on obtient les traces de la surface.

767. Lorsque la surface est limitée, on doit construire la ligne qui limite sa projection ; on obtient cette courbe en cherchant la suite des points suivant lesquels la surface donnée est touchée par une autre surface perpendiculaire au plan.de projection. Ainsi, dans les cylindres, et cônes, les limites sont situées dans des plans tangents aux courbes directrices, et perpendiculaires aux plans de projection» La limite de la projection de la sphère est la trace d'un cylindre perpendiculaire au plan de projection et enveloppant la sphère.

768. Pour mieux faire sentir la forme d'une surface, on a tracé en plein les lignes vues, et en ponctué les lignes cachées.

•On a cru cependant devoir s'écarter de cette convention'à l'égard du plan, qui, n'ayant pas d'épaisseur, n'est plus qu'un'e conception géométrique, incapable par conséquent de cacher les objets qui sont placés derrière. D'ailleurs étant infini en tous sens, un seul plan oblique aux deux plans de projection eût caché entièrement toutes les autres parties de l'épure, ce qui aurait empêché de faire sentir la position des^ corps solides, en. ne permettant plus d'apphquer à leursarêtes, ou autres parties de leurs surfaces, la distinction des lignes vues et des lignes cachées ; et si dans les sections de ces mêmes surfaces on a tracé en points les parties situées au delà des plans coupants, c'est plutôt parce que l'on a considéré ces parties comme supprimées, que comme cachées par ces plans.

769. Dans beaucoup de problèmes on a placé les données dans une position inclinée par rapport aux plans de projec-, tion, mais on ne Vi fait que pour exercer davantage aux constructions graphiques. Dans les applications, on devra toujours, avant tout, choisir le système de plans coordonnés ou de plans auxiliaires sur lesquels les projections seraient les plus simples, et pourvu que Ton ne change rien aux données ni à leur position relative, la généralité de la question ne sera pas moins complète. Il ne faut pas oublier surtout, que le choix des plans de projection est i^ne des parties les: plus essentielles de la solution des problèmes.

770. Pour exprimer qu'un point fait partie d'une surface, on place ce point sur l'une des génératrices, ou sur toute autre ligne située dans cette surface, et dont on sait construire les projections: en agissant de la même manière à l'égard dô tous leà points d'une courbe, on exprime que cette courbe est située dans la surface.

771 . Pour exécuter un corps solide quelconque, il faut tracer sur la pierre, le bois ou le métal dont ce corps doit être composé, toutes les lignes qui doivent diriger le travail de l'ouvrier.

Ces lignes se déduiront de leurs projections, par des rabattements si elles sont planes, et par des développements si elles font partie de surfaces courbes.

Nous avons pu développer les surfaces des polyèdres, cylindres et cônes ; mais po^r la sphère, son développement n'aété obtenu qu'approximativement. Nous verrons plus tard guel est le caractère auquel on reconnaît en général qu'une surface peut se développer.

772. Dans les questions où il s'agissait de construire des plans tangents au cylindre et au cône, nous avons considéré Ja génératrice de tangence comme provenant du rapprochement des deux génératrices de section.

Cette relation n'est qu'un cas particulier d'une autre proposition plus générale que nous allons démontrer.

773. Supposons, tlg, 390, qu'une surface courbe quelconque A soit coupée par un plan pq. Si nous faisons tourner ce plan autour de la droite mn, qui touche en a la courbe de section ac^ cette dernière ligne deviendra successivement ac\ aC'y et lorsque tous ses points seront réunis en un seul, le plan coupant pg deviendra pY et touchera la surface suivant le point a.

774. On peut donC'Conclure de ce qui précède q\i'un point de tangence est un point multiple, puisqu'il résulte du rapprochement ^une infinité de points de section.

775. Ces points, guoiqae inflniment rapprochés, déterminent la position du plan tangent p'ç^ mais ne suffisent pas pour le construire.

Si l'on veut obtenir les traces, il sera nécessaire d'introduire quelque autre condition facile à, exprimer graphiquement.

776. Concevons par le point a, flg. 392, une courbe ao"o'o . quelconque située sur la surface, et supposons que cette

courbe soit coupée par le plan 'pq suivant le point o, la droite <ji,s, qui joindra ce point avec le point a, sera une sécante par rapport à la courbe ao"o'o.

Or, si nous faisons tourner le plan fq autour de mn qui touche la surface au point a, le point o deviendra successivement o', o", a.

Enfin, lorsque les points de section o" et a seront réunis, le plan p'ç' sera tangent ai; point a, et la sécante as deviendra as"' tangente à la courbe ao'^o'Oy sans avoir cessé un seul instant d'appartenir au plan pq dans les diverses posir tions par lesquelles ce plan a successivement passé pour devenir pY- • ' '

La courbe 'ao^'û'o pouvant être prise dans la direction que l'on voudra, il s'ensuit que le pian tangent en un point quelconque d'une surface donnée doit contenir les tangentes à toutes les courbes que l'on peut faire passer par ce point sur la surface.

777. Nous pouvons encore arriver à la même conséquence en raisonnant de la manière suivante :

Quand on considère une ligne courbe <comme composée d'une infinité de côtés, cela ne veut pas dire que l'on soit autorisé à regarder chacun d'eux comme un point unique ; on doit plutôt admettre que ce sont de petits côtés de polygones dont les extrémités se sont tellement rapprochées, que leurs longueurs se trouvent réduites à zéro; de sorte que la direction de chacun de ces côtés reste déterminée, ^t c'est le prolongement de cette direction qui produit la tangente.