CHAPITRE II
Surfieice» de révolution.
791. Définition. On désigne en général par ce nom les surfaces .qui proviennent du mouvement d'une ligne quelconque, assujettie à tourner autour d'une droite fixe, par rapport à laquelle elle conserve toujours la même position.
Supposons, par exemple, flg. 396, pi. 81, la droite aa'^ immobile et perpendiculaire au plan horizontal ; concevons, déplus, lacourjie à double courbure coz; si nous faisons tourner cette dernière ligue autour de aa'de manière qu'elle ne change pas de position par rapport à cette droite, la surface engendrée sera de révolution.
Dans ce ftiouvement, chaque point de la génératrice décrira un cercle horizontal dont le centre sera sur la droite immobile aa\ que Ton nomme Xaxe de la surface.
La position de la génératrice, relativement au plan horizontal, ne changeant pas, sa projection sur ce plan conservera toujours la même forme et ne fera que se déplacer en tournant autour du point a, qui représente la projection horizontale de Taxe. Si nous supposons, par exemple, que Ton fasse faire à la courbe co% 4de révolution, le point c viendra se placer en c\ le point o en o' et z en 2'.
Pour construire chacun de ces points on fera tourner sa projection horizontale d'une quantité égale à l'arc correspondant compris entre les deux plans verticaux ap, aq. Ainsi, par exemple, en faisant zz' égal à un' on aura la nouvelle position du point z. On peut aussi faire uV égal à u% ; on fera de môme x(xf égal à ce', ou dç^ égal à cx^ etc.
yC. 81. DE KÉVOLOTION. 385
En agissant de la même manière pour chacun des points <le la courbe, on aura sa nouvelle projection horizontale ; •quant à h projection verticale correspondante, elle s'obtiendra en élevant des perpendiculaires par chacun des points c\ o\
^, jusqu'à la rencontre des horizontales qui représentent
les projections verticales des cercles parcourus par ces points.
Quand on aura construit un certain nombre de génératrices assez rapprochées les unes des autres, on tracera en lignes pleines les parties de ces génératrices qui sont vues, -et en points les parties cachées.
Il serait facile de distinguer ces parties les unes des autres, en raisonnant comme nous Pavons fait au n*» 275 ; mais nous allons voir des moyens plus simples d'arriver au même résultat.
792. Sections perpendiculairels à l'axe. Un des caractères de toute surface de révolution, c'est que la section, par un plan quelconque us perpendiculaire à Taxe, est toujours une «circonférence de cercle.
Le rayon de cette circonférence est égal à la distance.de Taxe au point où la génératrice est coupée par le plan horizontal dont il s'agit.
11 suit de là que si'l'on coupe une surface de révolution par un certain nombre de plans perpendiculaires à son axe, on obtiendra un système de cercles parallèles entre eux, et -que l'on appelle, par cette raison, les parallèles de la surface.
La portion de surface coraurise entre deux parallèles quelconques sa nomme une zone.
. 793. Les projections des parallèles sur un plan perpendiculaire à l'axe sont des cercles concentriques, et le point a, centre commun de tous ces cercles, appartient à l'axe de la surface.
Dans les diverses questions où Ton fait usage de cescourbes, on peut presque toujours choisir de préférence celles qui onl une projection commune.
Ainsi, par exemple, les deux parallèles des points i et 5 fse projetteront par un seul cercle, il en est de même des paralèles qui contiennent les points 6 et 8.
794. Parmi tous les parallèles d'une surface de révolution, on doit surtout distinguer ceux qui passent par les points les plus remarquables de la génératrice ; ainsi, par exemple :
Le point m, étant le plus éloigné de l'axe, décrira le cercle qui a le plus grand rayon, et que Ton nomme pour cela le plus grand parallèle .
Lorsque ce parallèle partage la surface en deux portions égales on lui donne le nom d'équateur.
Le point n, étant le plus rapproché de Taxe, décrit le plus^ petit parallèle que Ton nomme cercle de gorge ou collier.
Si l'axe rencontre la surface, flg-. 399, le point o qui résulte de cette intersection prend le nom de pôle. On peut considérer ce point comme le plus petit parallèle, et dans ce cas le cercle de gorge n'existe pas.
795. Le plus grand et le plus petit parallèle forment le& limites de la projection sur le plan perpendiculaire à Taxe, et déterminent par conséquent les parties vues et cachées de cette projection.
Ainsi, par exemple, sur la flgr. 396, toute la zone comprise entre le cercle de gorge 3 et le parallèle 1 sera vue sur la projection horizontale ; celle qui e?t comprise entre les deux parallèles 3 et 5 sera cachée par la zone précédente.
La surface sera vue entre les parallèles 5 et 7 et sera cachée depuis ce dernier cercle jusqu'au parallèle 8.
796. Sections passant par Vaxe. Toute section d'une surface de révolution par un plan ap qui contient son axe se nomme une section méridienne,
La projection de toute section méridienne sur le plan perpendiculaire à Taxe sera une droite passant par le point a.
On peut, après avoir construit un assez grand nombre de génératrices, déterminer les points où chacune de ces lignes serait coupée par le plan méridien dont il s'agit.
Ainsi, 1» courbe kny est la projection verticale de la section par le plan méridien ap, et la courbe 1-5-8 est la section par le plan ag.
Cette dernière ligne doit être tangente aux projections verticales de toutes les génératrices.
Le point de tangence sur chacune de ces courbes peut être déterminé en élevant une perpendiculaire par le point suivant lequel sa projection horizontale coupe la trace du plan méridien ag.
797. Il est facile d'obtenir la section méridienne sans construire toutes les projections de la génératrice. En effet, cette ligne étant donnée par ses deux projections^^, cV, fltg. 398, on décrira le parallèle passant par chacun de ses points, et Ton déterminera ensuite la section de toutes ces circonférences par le plan qui contient le méridien demandé.
Ainsi, par exemple, la courbe k^y^ flg. 398, est la projection verticale du méridien situé dans le plan ap, et la courbe 1-3-5-8 est la projection verticale du méridien ap'.
798. Tous les méridiens sont égaux. Car si l'on fait tourner la courbe au autour de l'axe, tous ses points viendront coïncider avec les points correspondants du méridien au'.
Ce dernier méridien jouit particulièrement de cet avantage, qu'il est projeté sur le plan vertical dans sa véritable grandeur; c'est pourquoi on lui donne le nom de section méridienne principale^ ou simplement méridien principal.
Tout méridien se compose de deux courbes égales placées symétriquement de chaque côté de Taxe.
Cependant il est permis de considérer chacune de ces deux courbes comme un méridien différant.
Si on fait tourner le méridien principal autour de l'axe, la courbure de la projection verticale deviendra moins sensible à mesure que l'on approchera de la position ap", et lorsque le plan ap sera parvenu en ap"y la section méridienne se projettera par une droite a'a'f perpendiculaire à la ligne AZ.
La portion de surface comprise entre deux méridiens quelconques se nomme un fuseau.
