Le méridien principal formera la limite de la projec

tion verticale, etdéterminera par conséquent les parties vues et cachées sur celte projection.

Ainsi, par exemple, tout point situé en deçà du plan vertical qui a pour trace la droite p'q' sera vu sur la projection verticale, tandis qu'au contraire tout point situé au delà du même plan aura sa projection verticale cachée.

800. C'est pour plus de généralité dans la déflnition que nous avons supposé la surface engendr<''e par la courbe à double courbur^cz,cV, flg. 396; mais la section méridienne étant une courbe plane, il sera en général plus simple de prendre cette courbe pour génératrice ; et si Ton a soin de placer Taxe perpendiculaire à l'un des plans de projection, la représentation de la surface sur l'épure deviendra très-facile.

Supposons, ûg. 398, que l'on ait* placé Taxe aa' perpendiculaire au plan horizontal; on construira symétriquement à droite et à gauche, et dans sa véritable grandeur, la courbe 1-3-5-8 donnée comme génératrice et Ton aura la projection verticale de la surface. Pour la projection horizontale, on décrira du point a, comme centre, deux cercles concentriques ayant pour rayons les distances de la méridienne aux points qui sont le plus près et le plus loin de T^xe ; le premier est le cercle de gorge, et le second forme la limite extérieure de la projection ; quand la méridienne coupe l'axe, nous avons dit que le cercle de gorge n'existe pas. '

801. Les cas particuliers de surface de révolution se distinguent ordinairement par la nature de leur section méridienne.

Ainsi, l'ellipsoïde de révolution, tlg. 399, est la surface engendrée par le mouvement d'une demi-ellipse que Ton ferait tourner autour de l'un de ses axes. La sphère est une ellipsoïde de révolution qui a pour section méridienne un cercle.

La surface annulaire ou le tore, ûg, 397, est engendrée par le mouvement d'un cercle tournant autour d'une droite située dans son plan. La section méridienne se compose de deux cercles égaux au cercle générateur, et placés symélri-

quement par rapport à Taxe. Le plan horizontal mené par le centre dû cercle générateur contient le plus grand parallèle de la surface, et le plus petit, qui est le cercle de gorge. Dans le cas où le cercle générateur toucherait Taxe, le cercle de gorge serait un point, et l'a section méridienne se composerait de deux cercles tangents. Si le centre du cercle générateur se rapprochait de l'axe, la forme de la surface se. rapprocherait de celle de la sphère, et ne différerait pas de cette dernière surface si le centre du cercle générateur se trouvait situé sur Taxe de rt^volation ; ce qui permet de regarder encore la sphère comme un cas particulier des surfaces annulaires.

Si la génératrice est une parabole, fig. 400, la surface sera un paraboloïde et prendra des formes différentes, suivant que la révolution aura lieu autour de Taxe de la parabole oa autour d'une droite ac perpendiculaire à cet axe. • Enfin, on nomme hyper boloïde de révolution la surface qui est engendrée par une hyperbole tournant autour de l'un de ses axes.

Dans l'exemple, fig/ 403, la révolution se fait autour de Taxe non transverse, et la surface est continue, c'est à-dire qu'elle pourrait être parcourue par un point dans toute son étendue. Pour exprimer celte propriété, on donne à cette surface le nom dhyperboloïde de révolution à une nappe* Il n'en serait pas dé même si le mouvement s'était faitautour de l'axe transverse, flgr. 402, il y aurait alors dans cette surface deux parties séparées l'une de l'autre, ce qui lui ferait donner le nom à" hyper boloïde de révolution à deux nappes.

802. L'hyperboloïde de révolution à une nappe jouit d une propriété remarquable. Cette surface, fig. 401, peut être engendrée par le mouvement d'une droite inclinée, telle que aa, a'c-, qui tournerait autour de l'axe vertical o, o'. Dans ce mouvement, le point aa' parcourra le cercle horizontal a', v\ et le point cd ne quittera pas le plan horizontal de projection. Le point nn\ qui est le plus près de l'axe, décrira le cercle de gorge.

Si la gén(:*ratrice se rapprochait de l'axe, ce cercle diminuerait, et au moment où il deviendrait nul, la surface de

390 SURFACES PL. 8i.

rhyperboloïde serait remplacée par les deux nappes d'un cône circulaire qui aurait pour sommet le point où l'axe serait coupé par la génératrice.

Si l'on faisait tourner la génératrice autour de l'horizontale

projetante du point n, n', pour la ramener dans une position

• verticale, la surface de Thyperboloïde s'allongerait dans le

sens de l'axe, et se transformerait en un cylindre circulaire

au moment où la génératrice serait parallèle à l'axe.

Ainsi, le cône et le cylindre circulaires sont des cas particuliers parmi les hyperboloïdes de révolution à une nappe.

803. Double génération. L'hyperboloïde de révolution peut être engendrée par une ligne droite de deux manières différentes, c'est-à-dire que Ton obtiendra la même surface, flg. 403, en prenant pour génératrice la droite (ac, a'c') ou la droite (ou, o'u'), inclinées en sens contraire dans le même^ plan projetant' vertical.

En effet, considérons pour, un instant comme différentes les surfaces engendrées par ces deux droites ; la génératrice (ac, aV) appartenant à la première surface, la droite o^'u"^ Qtnyfit ggi-a ung génératrice de la seconde. Or, les cordes ac, cf'u" étant égales, il s'ensuit évidemment que les droites ao"^ eu" seront parallèles, de plus les droites (âo", aV) et [pu'\ c'u"'), qui ont leurs projections horizontales a&', eu" parallèles, sont situées dans les plans horizontaux cV, a'o"', par conséquent elles sont parallèles dans l'espace et les quatre points a, o", c, vt"' sont dans un même plan. Donc les deux lignes (ac, aV) {o"u"^ o"'u"') se rencontrent au point mm'.

Ce que nous venons de dire des deux droites (ac, a'&) {o"u", o"'u"') pouvant s'appliquer û toutes les autres, quelle que soit leur position, il en résulte que toutes les génératrices de la première surface rencontreront nécessairement toutes celles de la deuxième, et par conséquent ces deux surfaces coïncident dans tous leurs points.

Les deux systèmes de génératrices partagent toute la surface de rhyperboloïde en un nombre infini de petits quadrilatères qui diminuent de grandeur dans le voisinage du cercle de gorge.

ÏL. ,81. DE RÉVOLUTION. 391

Quoique Ton n'ait construit sur la figare 401 qu'une seule des deux générations de l'hyperboloïde, on peut se faire une idée de la disposition de tous les quadrilatères dont nous venons de parler, parce que les lignes ponctuées qui représentent les parties cachées de la première génération deviendraient les parties vues de la seconde et seraient, dans ce cas, tracées en lignes pleines.

804. Section méridienne.^On pourrait projeter, flg. 401, un certain nombre de génératrices et construire le point où •chacune de ces lignes serait coupée par le plan pq, ou bien 00 opérera de la manière suivante:

La droite génératrice ac, a'c' de l'hyp'erboloïde étant donnée, fig. 403, on tracera les parallèles passant par chacun àe ses points, et la section de toutes ces, circonférences par le plan vertical posera le méridien principal.

805. Nous rappellerons que les projections verticales des génératrices de la surface doivent être tangentes à la section méridienne principale (796).

Cette remarque nous donnera un moyen de reconnaître la nature de cette courbe.

En effet, la génératrice {ac, a'c*) étant donnée, faisons faire à cette droite une demi-révolution pour l'amener dans la position (a V,o'w').i Les deux projections verticales se couperont en un point x' situé sur la projection de l'axe de la surface.

Si nous prenons actuellement pour génératrice la droite ou, oV et que nous amenions cette ligne dans une position quelconque (oV, o'"u"^), elle coupera les deux droites (ac, a'c') {a"c", o'a') aux points mm', nn', et le point v suivant lequel la génératrice &^u", o"'u"' perce le plan du méridien principal étant le milieu de mn, sa projection verticale i;' sera pareillement le milieu de mV.

Or, il résulte évidemment de cette propriété que la section méridienne sera une hyperbole ayant pour asymptotes les xieux droites a V, &u'; car on sait {Algèbre appL) que le point . ^ù rhyperbole est touchée par une droite quelconque se

392 SURFACES PL. Si»

trouve toujours au milieu de la partie de cette droite comprise entre les asymptotes (390).

Les deux génératrices {ac, a'c') (a"c"^ o'u') ne percent le plan méridien qu'à Tinfini, ce qui s'accorde avec la propriété

connue des asymptotes.

806. Ce qui précède nous fournit le moyen le plus simple de construire la section méridienne d'une hyperboloïde de révolution dont on connaît la génératrice ac, afd.

En effet, cette ligne étant successivement amenée'dans les deux positions (ac, o!d) {a"d\ o^u'], on construira- les projections verticales correspondantes, ce qui donnera les asymptotes de rhyperbole demandée.

On connaît de plus les sommets appartenant au cercle de gorge dont le rayon est égal à la droite œr, abaissée du point ar perpendiculairement sur ac : cela suffit pour que Ton puisse construire la courbe.

807. Si par le point xx' on conçoit une droite parallèle k la génératrice et que l'on fasse iourner cette ligne autour de Taxe, elle engendrera un cône droit à base circulaire que Ton nommevdi cône asymptote, parce qu'il ne touche la surface qu'à une distance infinie du centre.

• L' hyperboloïde de révolution à une nappe enveloppe le cône asymptote, tandis que Thyperboloïde à deux nappes, flg. 402, est au contraire enveloppée par ce cône.

808. La surface annulaire ou le tore est la plus importante des surfaces de révolution parce qu'elle renfferme.les éléments de tous les cas particuliers de ce genre de surface.

En effet, quels que soient les contours ou sinuosités de la section méridienne donnée pour génératrice, on pourrait toujours considérer cette ligne comme composée d'un certain-, nombre d'arcs de cercle qui se raccordent.

Ainsi, par exemple, la courbe acvu, fig, 404, étant composée des trois arcs ac, cv, vu, la zone acac sera une portionde la surface annulaire engendrée par le cercle qui a so&. .centre au point 1.

La zone cvcv appartient à une seconde surface annulaire

engendrée par un cercle décrit du point 2 conime centre* Enfin, la zone vuvu fait partie d'une troisièrpe surface

annulaire engendrée par le cercle qui a pour centre le

point 3.

La première zone se raccorde avec la deuxième, parce

qu'elles sont touchées toutes deux par un même cylindre,

suivant le cercle horizoatal ce, La seconde zone sfe raccorde avec la troisième, parce

qu'elles sont touchées suivant le cercle vv par un cône circulaire qui a son sommet au point s.

809. Cette propriété d'être touchées suivant un parallèle^ par un cône ou par un cylindre circulaire, appartient à toutes les surfaces de révolution.

En général, éi en un point v on conçoit une infinité de courbes qui soient touchées par une même droite sv, et que l'on fasse tourner toutes ces courbes autour de l'axe commun mn, toutes les surfaces de. révolution engendrées par ces courbes se toucheront et seront touchées par un même cône circulaire ayant pour génératrice la droite sv. '

De plus, tous les plans tangents à ce cône seront également tangents aux surfaces de révolution qui ont le cercle vu pour parallèle commun. On pourra donc considérer à volonté toute surface de révolution comme étant continue, ou composée de plusieurs autres surfaces de révolution qui se raccorderaient suivant les parallèles passant par les points de raccordement des différentes courbes dont se compose la section méridienne.

La surface que nous venons de prendre pour exemple se nomme une scotie.

810. Axe commun. Si on fait tourner l'ellipse et Thyperbble, fig. 399, autour de la droite ac, on obtiendra defux surfaces de révolution qui se couperont suivant les deux cercles vu^ zx.

Les deux paraboloïdes, flg. 400, se couperont suivant le parallèle vu ; l'hyperboloïde à deux nappes et la sphère projetées, fig. 402, se couperont suivant les deux parallèles-

f)U^ zx» .

En général, toutes les fois que deux surfaces de révolution auront un axe commun, elles se couperont suivant autant de parallèles qu'il y aura de points communs à leurs sections méridiennes.

811. Exprimer qu'un point appartient à une surface de révolution. Supposons que l'on connaisse la projection verticale z'y flg. 397 et 403, on construira le parallèle correspondant ; puis on abaissera la perpendiculaire z'z, dont Tintersection avec le parallèle donnera deux points z\ z, qui tous deux satisfont^ aux conditions demandées. Si Ton avait donné la projection horizontale z, on aurait pu comipencer par construire le parallèle ; puis élevant la perpendiculaire jsz. ses intersections avec le parallèle auraient déterminé les projections verticales des points demandés.

812. Développement. Les surfaces de révolution ne peuvent se développer qu'approximativement et par des moyens analogues à ceux que ùous avons employés (682) pour la sphère^.

En construisant un certain nombre de plans méridiens et -de plans perpendiculaires à Taxe, toute la surface ^e trouvera partagée en trapèzes. Si l'on place à côté les uns des autres, et dans leur véritable grandeur, tous les trapèzes compris entre deux parallèles consécutifs, on aura \<b développement par zones, tandis qu'en construisant l'un audessous de l'autre tous les trapèzes compris entre deux plans méridiens, on aura le développement par fuseaux.

Ce dernier mode de développement est souvent préféré dans les arts, parce qu'en ayant le soin de construire les plans méridiens à égale distance les uns des autres, tous les fuseaux seront égaux entre eux, et le développement' de Tun d'eux servira pour tous les autres ; tandis que toutes les 2ones différant entre elles, il faudrait Construire séparément le développement de chacune.

Nous verrons plus tard pourquoi les cônes et les cylindres de révolution jouissent de la propriété d'être développables.