Quatrième solution idti sixième problème

Les principes qui précèdent donnent une solution extrêmement simple pour le sixième problème de l'angle trièdre. En effet, supposons, ûg. 7,

10 Que la face demandée b coïncide avec le plan horizontal de projection que je désignerai par P ;

2» Construisons le plan P^ perpendiculaire au plan vertical de projection, et faisant avec le plan P l'angle mVz égal à Tangle dièdre donné A. Le plan P| contiendra la face c qui est une des quantités cherchées.

11 ne restera plus qu'à construire un troisième plan faisant l'angle C avec le plan P et l'angle B avec le plan V^ ;

3*^ Pour obtenir ce résultat, on construira d'abord, Figure 5, l'angle c^\ complément de l'angle C donné, et Figure 6, l'angle M, complément de l'angle B qui est également connu ;

4** On, tracera ensuite sur la figure 7 les droites 5V et *'o"', de manière que l'angle 0V2 soit égal à l'angle c'^ de la figure 5, et que l'angle o'^'s'm' soit égal à l'angle b^ de la figure 6 ;

S"" Les deux droites s'a" et ^c/'^ étant situées dans le plan

PL. 26. AUGIE TftlèDKE. tli

vertical de projection, âui'ottt la lîgae AZ pmt projection horizontale commutie ;

6*^ Si Ton fait actuellement tourner 5V autour de la dWite s'v, qui est perpendiculaire au plan P de la fece 6, on engendrera un cOne circulaire dont la génératrice s^o^ fera toujours l'angle c^^ avec le plan P de la face b ;

V Si Ton fait ensuite tourner s'o^'^ autour de la droite s'x, qui est perpendiculaire au plan P^ de la face c, on engendrera un second cône circulaire dont la génératrice s'o'" fera tou*jours Tangle 6^' avec le plaù P, de la face b ;

80 Or, les deux cônes engendrés par les droites 5'o" et 5V'' ayant le point s' ppur sommet commun, se couperont suivant une génératrice commune, qui fera l'angle c" avec le plan P de la face &, et l'angle b"" avec le plan P^ de la face c ;

9* Pour obtenir un second point de cette génératrice, qui contient le point y, on décrira de ce point, comme centre, un arc de cercle quelconque hy ;

10° Cet arc peut être considéré comme appartenant, à la projection verticale d'une slphère qui coupera le cône en* gendre par 5V, suivant un cercle projeté sur le plan vertical par 0 V ;

11® La même sphère coupera le cône engendré par ^V, suivait un cercle parallèle au plan ?^ et projeté sur le plan vertical par la droite o^'f(y ;

12* Les deux cercles oV et o"V étant situés sur la même sphère se rencontreront en un point, dont }a projection verticale âera 0', et dont la projection horizontale 0 sera située sur la projection horizontale de Tare, de cercle décrit par le point (/' ;

13* Joignant le point s" avec les deux points 0 et 0', on obtiendra les droites ^o, s^o^ pour les deux projections de la génératrice commune aux deux cônes ;

14* Si Ton construit actuellement un plan P^ perpendiculaire à la droite s'o, ^0' que l'on vient d'obtenir, il résulte évidemment de ce que nons avons dit (203), que ce plan P^ coupera le plan P de la face b suivant un angle C, complément de c'\ qui exprime l'inclinaison de la droite ^o, *V sur le plan P, et que par la même raison* l'angle formé par les

112 ANGLE TRIÈDBE. PL. 26.

plan3 P| et P^ sera égal à langle B, complément de l'anglp V' que la droite s'o^ s'o' fait avec le plan P, ;

15° Le plan P2 contiendra donc la face demandée a, et les trois plans P, P^ et Pj formeront lés trois faces de l'angle trièdre dont le sommet sera situé au point S sur le plan ho-^ rizontal de projection.

16° Il ne restera plus, pour obtenir les trois faces demandées a, 6, c, qu'à développer l'angle trièdre-en faisant tourner les plans P^ et P« autour de leurs traces horizontales.

Dans ce mouvement, le point m' tournant avec la face c, viendra se placer en m'^' sur la ligne AZ, et le même point tournant avec la face a, se rabattra en m'' que Ton obtiendra €n construisant le triangle rectangle zrmf' dont on connaît le côté de l'angle droit zr et l'hypoténuse 2m" égale à zm' (152).

205. Problème, flg. 10. Étant données les trois faces a, b, c d'un angle trièdre^ on demande les angles que chacune des arêtes fait avec la face qui lui est opposée. . Solution. Pour faciliter Texplication de l'épure, j'exprimerai par X l'angle que l'arête Sv fait avec la face a qui lui est opposée ; par Y, l'angle que l'arête Siù fait avec la face opposée c, et par Z, l'angle que l'arête SM de l'espace fait avec la face opposée b, qui coïncide ici avec le plan de la figure.

Nous rappelons d'abord {Géom.) que l'angle qui mesure l'inclinaison d'une droite sur un plan est égal à l'angle que cette droite fait avec sa projection sur le i-lan dont il s'agit. Ainsi, fig. 4, si l'on voulait avoir l'angle que la droite BC fait avec le plan P^ il faudrait :.

1^* Construire BA perpendiculaire sur P^ ;

2* Déterminer les points A et C ;

3** Tracer la droite AC ;

4** Mesurer l'angle ACB.

D;après cela, si par le point k de la droie Su, flg. 10, on conçoit une perpendiculaire sur le plan V^ de la face c, cette perpendiculaire, rabattueautourde ftu,* deviendra Ao ; de sorte que, si l'on ramène la droite AS en A*'" au moyen de l'arc S^'", décrit du point k comme centre, la droite os^^' sera là projection de ks''' sur le plan de la face c, et l'angle ks'"o = X

exprimera l'inclinaison de Tarêle SA; sur le plan de la face c •qui lui est opposée ; une opération analogue déterminera l'angle Y que Tarête §y fait avec la face opposée a. En effet, si par le point h de l'arête Sv on conçoit une perpendiculaire sur le plan P2 de la face a, cette perpendiculaire rabattue ' autour de hu deviendra he \ de sorte que, si l'on ramène la droite h& en hs'' en décrivant l'arc de cercle 55'^du point h^ €orame centre, la droite /î5" sera la projection deTarèteAv sur le plan de la face a, et l'angle hse = Y exprimera Tin- -ciinaison de l'arête SA sur le plan de la face a qui lui est opposée.

La construction, pour avoir l'angle Z, sera encore plus simple. En eftet, si l'on se rappelle, que dans toutes les figures précédentes, la droite Sm est la projection de la droite SM de l'espace sur le plan de la face b qui lui est opposée, il est «évident qu'en ramenant wS dans la position ms! perpendiculaire à mm'^', la droite s'm^'^ représentera la droite SM de l'espace ; ms' sera égale à la projection de SM sur le plan de la face 6, et l'angle m'^'s'm = Z exprimera l'inclinaison de Varète SM de Tespace sur le plan de la face b qui lui est opposée. *

Si au lieu des trois faces on connaissait quelques-unes des autres parties de l'angle trièdre, on commencerait par chercher les faces, et Ton agirait ensuite comme nous venons de ie dire.

206. Le problème qui précède complète évidemment la ■solution de tous les problèmes dont le but serait de déterminer les relations qui résultent de l'intersection de trois plans, et quoique nous n'ayons étudié qu'un seul des huit angles trièdres qui sont représentés sur la figure 10 de la planche 24, il n'en est pas moins vrai que Tune quelconque des épures précédentes suffira toujours pour faire connaître toutes les parties des huit angles qui ont le point S pour sommet commun, puisque celles de ces parties qui ne sont pas égales aux éléments de l'angle trièdre que nous avons étudié en sont nécessairement les suppléments.

Ainsi, en exprimant comme nous l'avons fait au numéro 187, l'angle MSN par a, l'angle NSO par b et l'angle OSM par c ;

appelant en outre les suppléments de ces trois angles A', B', C. Les faces des angles trièdres en commençant parles quatre qui sont situées en deçà du plan P| et tournant de N en M, la flg. 10, seront :

et pour les quatre angles situés derrière le plan "9^ on aura en tournant dans le même sens :

On remarquera que les angles opposés par le sommet sont composés des mêmes faces ou angles plans disposés dans un ordre symétrîqurs.

207. Problème. Étant donnés les angles que deux droites font avec la verticale, et l'angle que ces mêmes droites font entre elles, on demande de construire l'angle formé par leurs projections horizontales.

Solution. On pourra considérer les deux droites dont il * s'agit, et la verticale, comme les trjpis arêtes d'un angle . trièdre dont on construira le développement; lig. 2, pi. 26-

La face a sera Tangle que Tune des deux droites s'm^^ fait avec la verticale s's.

La face b sera Tangle que cette verticale fait avec la seconde

droite 5'U.

Enfin la face c sera l'angle que les droites obliques ^'M, ^U font entre elles.

Les' droites s^m^^ *et s^m'^' sont égales puisqu'elles représentent toutes deux la droite SM de l'espace.

L'angle trièdre étant développé, flg. 2, il ne reste plus

qu'à ramener les faces a et c à la place que chacune d'elles doit occuper dans l'espace. On obtiendra par ce moyen l'angle C pour la projection horizontale de l'angle c que les droites SM et SD font entre elles.

On dit alors que l'angle que les deux droites données font entre elles est ramené à l'horizon.

208. Théorème. Pour résoudre, au numéro 201, le sixième problème de l'angle trièdre, nous avons appliqué un théorème dont on trouve la démonstration dans les traités d'analyse, mais on peut démontrer facilement ce théorème par la géométrie élémentaire.

En effet, flg. 9, un cercle qui a pour diamètre TZ étant situé sur une sphère quelconque, si l'on prend à volonté le point X pour sommet d'un cône qui aurait pour directrice la circonférence du cercle TZ, il s'agit de prouver que la courbe lE, suivant laquelle le cône perce la surface de la sphère, est également un cercle.

Pour y parvenir, nous prendrons comme plan de projection: le plan du grand cercle qui contient le point X, le centre 0 de la sphère, et le centre C du cercle TZ.

Ce plan de projection contenant la ligne droite CO sera perpendiculaire au plan du cercle donné TZ, dont la projection se réduira par conséquent à son diamètre TZ.

Les génératrices TX et ZX du cône seront situées dans le plan de projection, et la droite lE sera une corde du grand cercle TZEI.

Le rône sera du second degré, puisque la courbe directrice TZ est un cercle.

Or, si nous concevons par la droite lE un plan perpendiculaire au grand cercle TZEf, la section du cône par ce plan sera une courbe que nous pourrons admettre provisoirement comme une ellipse, en admettant que nous ayons prouvé qu'elle est circulaire.

Le plan du grand cercle TZEI est un plan de symétrie par rapport au cône, puisqu'il contient le sommet X, et qu'il est perpendiculaire au plan du cercle directeur TZ, dont il contient le centre.

116 ANGLE TRIÉDRE PL. 26.

De plus, le plan P étaùl perprndiculaire au plan de projection TZX, il s'ensuit que la courbe lE sera coupée par ce plan en deux parties symétri^es, et que la droite lE sera l'un des axes principaux de l'ellipse.

Cela étant admis, concevons par un point quelconque de la courbe lE un plan P, parallèle au plan du cercle TZ, la section du cône par le plan P^ sera un cercle, puisque les deux sections parallèles TZ et HK doivent être semblables {Géom.).

Mais, le quadrilatère TZËl étant inscrit dans un cercle, l'angle TZU sera égal à l'angle HIm comme ayant le même supplément CZE.

L'apgle CZU est égal à l'angle mKE comme correspondants, d'où il suit que les angles HIm et mKE sont égaux entre eux, puisqu'ils sont tous les deux égaux à l'angle CZU.

De plus, les angles ImH, K^nE sont égaux comme opposés par le sommet ; par conséquent, les triangles ImH et mKE sont semblables, et Ton a la proportion :

Hm : mE ^ Im : rnK, d'où

(i) UmxmK = mExlm;

or, la courbe HK, semblable à TZ, est une circonférence de cercle, et si nous exprimons par y la perpendiculaire abaissée sur le plan de projection par le point de rencontre des deux courbes HK et lE, nous aurons [Géom.) :

(2) . 2/* =L Hm X mK.

Multipliant Téquation (1) par (2) et réduisant, on aura :

y« = mExIm;

donc, puisque l'ordonnée du point m est moyenne proportionnelle entre les deux segments Im et mE, il s'ensuit que la section du cône par le plan P est un cercle qui a pour diamètre la droite lE.

Mais ce même cercle sera . évidemment la section de la sphère par le plan P. Donc le cercle lE, situé en même temps sur le cône et sur la sphère, sera l'intersection de ces deux surfaces.

PL. 26. " ANGLE TRIÈDRE. ^ lit

209. Réciproque du théorème prédédent. Deux cercles TZ et lE étant situés sur une sphère, on peut toujours concevoir une surface conique qui les contiendrait tous les deux.

Pour le démontrer, concevons comme ci-dessus la sphère projetée sur le plan du grand cercle TZIE qui contient les centres des deux cercles TZ et lE.

Les projections de ces deux cercles se réduiront alors à leurs diamètres, et si Ton prolonge les droites TI et ZE, on obtiendra un point X situé dans le plan du grand cercle qui contient les quatre points TZEI.

Supposons actuellement que le point X soit pris pour som* met du cône dont les génératrices s'appuieraient ^ur le cercle TZ, je dis que le cercle lE sera situé sur la surface de ce cône.

En effet, concevons une génératrice quelconque XM, et désignons par m le point suivant lequel la projection de cette génératrice rencontre la projection du cercle lE.

Si par le point m on conçoit un plan P^ parallèle à celui qui contient le cercle TZ, ce plan coupera le cône suivant un cercle KH, puisque les sections d,u cône par les deux plans parallèles TZ et tiK doivent être semblables.

Or, si par le point m, nous concevons une droite perpendiculaire au plan de projection, cette ligne rencontrera les deux cercles lE et HK en deux points que nous supposerons différents jusqu'à ce qu'il soit démontré que ces deux points coïncident, et si nous exprimons par y l'ordonnée du cercle lE, nous aurons {Géom.) :

(1) 2/* = lwXmE;

mais si nous exprimons par Y l'ordonnée du cercle HK, nous aurons également :

{2} HmXmK = Y«.

De plus, la similitude des triangles ImH, mKE donnera» comme ci-dessus :

(3) im X mE = Hm X mK.

Or, si l'on ajoute' ou si l'on multiplie entre elles les (équations {!), (2) et (3), on aura après toutes réductions :

118 Xngle TRIÈDRE. ^ PL. 26.

d'où Ton peut évidemment» conclure que les cercles lE d^la sphère, et HK du cône, se coupent en un point qui est projeté en m sur le plan du grand cercle TZEl. .

11 résulte de là que la génératrice XM du cône s'appuie sur les deux cercles TZ et lE.

On démontrerait de la même manière que toutes les génératrices du cône, qui a poui* directrice la circonférence du cercle TZ, rencontrent celle du cercle lE ; d'où Ton peut conclure que les circonférences TZ, lE sont, situées sur la surface du cône qui a le point X pour sommet.

210. Tout ce que nous venons de dire peut être appliqué facilement au cas où le sommet du cône serait pris entre les plans des deux cercles TZ et lE.

211. Enfin, il est évident que le théorème s'applique également au cas où les deux cercles TZ et lE seraient égaux, ce qui éloignerait le point X jusqu'à Tinfini, et .changerait par conséquent le cône en un cylindre.

Ainsi, lorsque Vune des courbes de pénétration d'une sphère par un cylindre est un cercle, la seconde courbe de pénétration est également circulaire.

212. Problème. Trois points 'étant donnéSy on veut déterminer un quatrième point dont on connaît les distances aux trois premiers.

Exprimons les points donnés par M, N, V, pi. 27, et le point cherché par U. Supposons de plus que Ton doit avoir MU = 1 mètre-y ; VU = 8 mètres et NU = 9 mètres; il est évident que la question revient à construire le quatrième sommet d'un tétraèdre qui aurait pour base le triangle MNY et dont les arêtes adjacentes aii point U seraient égaies aux trois distances données. Pour y parvenir, on pourra opérer de la manière suivante : ^ *

lo On déterminera les traces du plan P qui contient les trois points donnés ;

9h. 27. ANGLE TRIÈDRE. 119

2* On projettera ces trois points ni'\ n", t;"sur un plan auxiliaire A'^Z'^ perpendiculaire à la trace horizontale du plan P;

3** On rabattra le plan P sur l'épure, et les trois points donnés seront m^^\ n"\ v'^^\

4* On construira les deux faces in/" v'" u^^ et m'" n'" m^ %VL faisant 'd" w^^ = 8 mètres; n'" u^v = n'" v^ = 9 mètres et m*" u^ = 7 mèires\

5** On ramènera les deux faces n'" v'" u^^ et n*" m'" u^ à leur place en les faisant tourner autour des arêtes n^" v'" et n'" m'" (188), ce qui donnera u'" pour la projection du point cherché sur le plan P rabattu;

6** L'arc de cercle que décrit vy en tournant autour du point 0 étant rabattu en w^ u^S la droite u'" ly^s perpendiculaire sur u'" u^^ sera la hauteur du tétraèdre, et, par ^x)nséquent, la distance du point cherché au planqui contient les trois points donnés;

7** On projettera le point u'" sur la droite K'^1", d'où on le ramènera en t/^" sur M^Z^" par un arc de cercle décrit du point À''^ comme centre;

8** On fera passer par ce point m^" une perpendiculaire à A'^'^Z'^^ et, par conséquent, au plan P, et l'on portera sur cette perpendiculaire les deux distances m^" u" égales à u^" w^'. Cette opération déterminera sur le plan ^'T^^les projections u", u" de deux points qui satisfont à la question proposée;

9° Les projections horizontales w, u de ces mêmes points seront situées sur les perpendiculaires abaissées sur A^'Z'^ par les deux points u" u"^ et sur la droite menée par u*" perpendiculairement à la trace horizontale du plan ^k!"V"\

10° Enfin, les projections verticales u'u' des deux points demandés pourront être obtenues sur les perpendiculaires uu\ uu' en faisant les hauteurs des points u' au-dessus de A'Z' égales aux' hauteurs des points l^^^ au-dessus de A'^Z^^

Si l'on a bien opéré, la droite u'u^ doit être perpendiculaire A la trace verticale du plan P.

213. Prol^lème. Construire une droite connaissant les angles suivant lesquels cette ligne coupe deux autres droites données.

Solution. Si les droites données étaient situées dans un

120 ANGLE TRIÉDH£. PL. 28.

même plan, il est évident qu'elles se rencontreraient, et la droite demandée, n'étant pas située dans le plan de ces^ droites, ne pourrait les couper toutes les deux qu'autant qu'elle passerait par leur point d'intersection.

Dans ce cas, les deux droites données et la droite cherchée seraient les trois arêtes d'un angle trièdre dont les faces ou angles plans seraient les deux angles donnés, et Tangle connu que les droites données font entre elles.

Ces trois angles étant placés A côté les uns des autres, il ne restera plus qu'à reformer l'angle trièdre (188), et les projections de la droite demandée dépendront de la position des^ droites données dans l'espace.

Nous allons d'abord résoudre cette première question ^ nous verrons ensuite ce qu'il faudrait faire si les droites^ données n'étaient pas situées dans un même plan.

214. Premier cas, fig. 1, pi. 28. Les droites ^N, su étant situées dans le plan horizontal de projection, il s'agit de construire une droite qui rencontre la droite ^N suivant l'angle donné a et la droite sO suivant Vangle c.

Solution. Par le point s suivant lequel se coupent Ie& deux droites données «N et ^0, on tracera les droites sm'' et sm'^^ de manière que l'angle m^'^N soit égal à Tangle donné a et que l'angle m'"sO soit égal à l'angle c, de sorte que si nous exprimons par b l'angle connu que les deux droites ^N et ^0 font entre elles, lés trois angles a, b, c seront les faces^ de l'angle trièdre qui aurait pour arêtes les droites données^ ^N, 50,>et la droite demandée rabattue en smH avec la face a^ et exi^m'" avec la face c.

Or, il est évident que si l'on reforme l'angle trièdre, en» faisant tourner la face ou angle plan a ay^our de ^N et la face c autour de ^0, jusqu'à ce que les deux droites sm" et sm'" soient réunies en une seule, cette dernière ligne sera la droite demandée dont la position dans l'espace sera déterminée. I

Les deux points m'' et m'" se réuniront en un seul point M dont la projection horizontale m sera déterminée par la rencontre des droites m"u et m"v (188;.

' Ces deux lignes perpendiculaires^ la première ^N et la

seconde sur ^0, sont les projections des arcs de cercle décrits par les points m" et m'" lorsqu'on ramène les faces a et c à la place que chacune d'elles doit occuper dans l'espace.

La projection horizontale sm étant déterminée, on rabattra le cercle vm^^w!" que décrit le point m'" en revenant à sa place, et l'ordonnée wm'^ sera la hauteur du point Al audessus de la face h \ de sorte qu'en faisant dm' égal à mmP^ le point w! sera la projection verticale du point M et les droites sm^ s'm' seront par conséquent les deux projections de la ligne demandée.

215.. Remarque. Lorsque l'on fait tourner la face a pour la ramener à la place qu'elle doit occuper dans l'espace, l'arête sm" engendre la surface du cône circulaire qui a pour axe la droite ^N, et pour base ou section droite le cercle parcouru par le point m" et projeté sur le plan horizontal par la droite m"u.

Lorsque l'on ramène à sa place la face ou angle plan c, la droite sm'" engendre la surface du second cône circulaire qui a pour axe la droite ^0 et pour la base le cercle projeté par la droite vm'" et rabattu par vmy^m'".

Or, les deux cercles m"ûy m'"v étant situés tous les deux sur la sphère qui a pour rayon sm"y il est évident qu'ils se coupent suivant deux points qui ont le point m pour projection horizontale commune, et les deux cônes ayant le points pour sommet- commun, se coupent suivant deux droites qui ont toutes les deux sra pour projection horizontale.

11 existe donc deux droites qui satisfont à la condition demandée, et pour distinguer ces deux lignes nous désignerons l'une d'elles par s A et la seconde par 5-2.

En faisant d-2 égal à mm'^, on obtiendra la projection verticale ^'-2 de la seconde droite.

Pour éviler la confusion, je n'ai tracé en ligne pleine, sur la projection verticale de chacune des deux lignes trouvées-, que la partie de cette ligne qui est au dessus du plan horizontal de projection.

C'est pour la même raison que je n'ai pas mis d'accents pour les projections verticales des points qui sont désignés par des chiffres, les accents placés au dessus des lettres sdf-

122 AKGLE TKIÈDRE PIr. 28.

Usant pour faire distinguer les projections des lignes correspondantes.

216. En examinant avec attention la figure 2, on reconnaîtra facilement que les deux cônes n'ont pas d'autres génératrices communes que les deux droites S-i et S-2.

Mais si la somme des deux angles donnés, flg. 3, était plus grande que Tangle obtus OSiN que les deux droites SN et SO font entre elles, ou en d'autres termes, si la somme des trois faces (a + 6 + c) de l'angle trièdre était plus grande que deux angles droits, la base ou section droite -de l'un des deux cônes rencontrerait en quatre points les deux cercles du même diamètre situés sur le deuxième cône, d*où il résulte que les deux cônes ayant quatre génératrices communes, ily aurait alors quatre droites S-1, S-2, S-3, S-4, satisfaisant aux conditiÔQS demandées.

217. Si la somme des.' angles donnés était égale à Tangle obtus NSO que font, entre elles les deux droites données, les deux cônes, fig. 4, seraient tangents suivant une droite S-3 qui serait située dans le plan qui coo tient les deux droites données ; cette droite S-3 remplacerait les deux droites S-3 et S-4 de la figure 3, lesquelles droites seraient alors réunies en une seule par suite de la condition en vertu de laquelle les deux cônes seraient tangents l'un à l'autre.

Mais iadépeodamment de la droite S-3 suivajit laquelle se touchent les deux cônes,flg. 4, ils se couperaient encore suivant deux droites S-i et S-2, de sorte que, dans le cas actuel, il y aurait trois droites qui satisfont à ta question proposée.

218. Si la somme des angles donnés M^'SN, M'^'SO, flg. 9, était égale à Tangle aigu NSO que les deux droites données font entre elles, ou en d'aulres termes, si la somme des faces (a -\-c) était égale à la face *, les deux cônes ne se couperaient pas, mais ils se toucheraiept suivant la droite SM, située dans le plan de deux lignes données. Il n'y aurait alors qu'une seule droite satisfaisant aux conditions demandées.

219. La même chose aurait lieu si Tangle a était égal à b 4- c, ou, ce qui revient au même, si l'angle b était égal à a — c ; mais alors l'un des cônes toucherait l'autre intérieurement, comme on le voit sur la flgure 8.

220. Enfin, on doit se rappeler que le problème serait impossible si l'un quelconque des trois angles a, ^ ou c était plus grand gue la somme des deux autres [Géom.)^ de sorte que si nous exprimons par b Tangle aigu que les deux droites données font entre elles, et si nous supposons que a soit le plus grand des deux angles, on doit toujours avoir b plus petit que a-\-c ei plus grand que a — c.

Ce qui précède étant admis, nous allons choisir comme études quelques-uns des cas les plus intéressants de la question proposée.

221. Deuxième cas. Les droites données ^N, ^0, fig. 5, sont situées, comme précédemment, dans le plan horizontal de projection^ mais la somme des angles donnés m'^^N, m^^^sO étant plus grande que l'angle obtus NsO, il existe quatre droites qui satisfont aux conditions du problème.

Pour les obtenir on construira :

r Les projections horizontales des cônes engendrés par les droites sm^\ sm'" ;

2** Les projections horizontales ^-1, ^-2, 5-3, 5-4 des quatre droites suivant lesquelles les deux nappes du premier cône coupent les deux nappes du second ;

3* On rabattra le cercle décrit par le point m", et les ordonnées wim"", rn^rn^" seront les distances des points 1 , 2, 3, 4, au plan horizontal qui contient les deux droites données ;

4** On fera les droites m'-i, m'-3 égales à mm''' et les droites ^""-4, m"" -2 égales à m^'in^^ ;

5" On joindra le point s^ avec les points 1, 2, 3, 4, ce qui donnera les projections verticales des quatre droites qui: satisfont aux conditions données.

222. Troisième cas. Les droites données, fig. 7, étant situées dans un plan P, perpendiculaire au plan vertical de projection, on opérera de la manière suivante.:

124 ANGLE TÀIÈDRË. PL. 28.

l"" On rabattra le plan P sur l'épure en le faisant tourner autour de sa trace horizontale ;

2** On construira sur ce plan P' rabattu, les- projections des cônes engendrées par les droites s"m"^ s"m'" ;

3* La somme des deux angles donnés mVN, m^'s^'Q étant plus grande que l'angle obtus WO formé'par les droites données, on bbliendra pour réponse les quatre droites s^A^ $"-2^ ^'^-3, s" A, projetées par s"m et s'^rn' ;

4» En ramenant le plan P à sa, place, les points m et m" viendront se projeter en m' et m^' ;

5** On rabattra le cercle m^'m^^rrC^v que décrit le point m"^ en tournant autour de la droite ^'0 ;

6* Les ordonnées m wi'\ m^'m''" seront les distances des points 1, 2, 3, 4 au plan P ;

7** On portera ces dislances sur les droites menées par les points m' et m'' perpendiculairement^au plan P ;

8"* En joignant les quatre points obtenus parxetle dernière opération, avec le point /, on aura les projections verticales des quatre droites demandées ;

9° Les projections horizontales des points 1, 2, 3, 4 seront déterminées par la rencontre des perpendiculaires abaissée^ de la projection verticale sur la ligne AZ, avec les droites menées parallèlement à la ligne AZ par les projections des mêmes points sur le plan P rabattu.

223. Quatrième cas. Les droites données, ftg. 10, étant encore situées dans un plan P perpendiculaire au plan vertical de projection, la disposition de Tépure sera la même que pour le problème précédent.

Mais la somme des angles donnés 7nVN, m"'s"0 étant égale ài*angle obtus N^^^O que les deux droites données font entre elles, on n'obtiendra pour réponse que les trois droites s''A,s^'i,s"'i.

La dernière de ces trois lignes étant située dans le plan P» sa projeclion Verticale devra coïncider avec la trace verticale de c^plan.

Tout le reste se fera comme pour le problème qui précède. Ainsi, le cercle décrit par le point m'"^ étant rabattu sur Të-

pure, Tordonnée mmT déterminera sur la projection verticale les distances des points 1 et 2 au plan P.

224. Si les drqiles données étaient situées dans un plan perpendiculaire au plan horizontal, il est évident qu'il suffirait de faire sur le plan vertical toutes les opérations que Ton vient de faire sur le plan horizontal et réciproquement.

225. Cinquième cas. Les droites données, flg. 6, étant situées dans un plan incliné quelconque, on devra opérer de la manière suivante : on construira (132)

'l° Le plan auxiliaire de projection YAZ', sur lequel on déterminera la troisième trace du plan P et la troisième projection s" du point S suivant lequel se rencontrent les deux droites données SN et SO ;

2* Les projections s'^n" et s"o" de ces deux droites sur le plan Y'AZ', se confondront avec la tr'oisième Iraoe du plan P ;

3* On fera tourner ce plan P autour de sa trace horizontale jusqd'à ce qu'il soit rabattu sur le plan horizontal de projection ;

* Dans ce' mouvement, le point S de l'espace se rabattra en s^'' et les droites données deviendront s"'n"'^ s'^'o"' ;

4* On obtiendra la première de ces deux lignes en construisant les projections successives x, x^' et œ'" d'un quelconque de ses points ;

5* Pour la droite sf"o^' on joindra s^" avec le point z qui est situé sur la trace horizontale du plan P, et qui par conséquent n'a pas changé de place ;

6** Les droites données étant rabattues avec le plan P, sur le plan horizontal de projection, on exécutera successivement toutes les opérations nécessaires pour déterminer les projections des cônes engendrées par les droites s"' m" et s"'m"'y tournant autour des deux lignes données, et la somme des angles donnés m"sf"n"^y m"'s^''&" étant plus grande que l'angle obtus n"'sl''o"\ on obtiendra quatre points comme dans les deuxième et troisième problèmes ;

7* Les projections des points 1, 2, 3 et 4 étant déterminées

126 ANGLE TRIÈDHE. PL. 28.

sur le plan P rabattu, on ramènera ce plan à sa place, et les deux points m et m^ deviendront m' et m"^ ;

8° On rabattra le cercle décrit par le point m'' et les ordonnées wm^v, m'^m^^^ seront les dislances des points cherchés au plan P qui contient les deux droites données ;

9® On fera les distances w'-i et m'-3 égales à l'ordonnée mm^^ et les distances m^'-2, mvi-3, égales à m^m''^\ ce qui déterminera les projections des points I, 2, 3 et 4 sur le plan auxiliaire Y'AZ' ;

10** Les projections horizontales des mêmes points seront déterminées par les perpendiculaires à la droite AZ' abaissées de leurs projections sur le plan Y^AZ', jusqu'à la rencontre des droites menées perpendiculairement à la trace horizontale du plan P par les projections des mêmes points sur le plan P rabattu.

Ces dernières lignes seront les projections des arcs de cercle décrits par les points demandés lorsqu'on les ramène à la place qu'ils doivent occuper dans l'espace ;

11** Pour déterminer les projections verticales des quatre points, on tracera par la projection horizontale de chacun d'eux une perpendiculaire à la ligne AZ et la hauteur de la projection verticale de ce point au dessus de la ligne AZ sera égale à la hauteur du point correspondant sur le plan auxiliaire de projections Y'ÂZ' ;

12** Les points 1, 2, 3, 4 étant déterminés, il ne restera plus qu'à les joindre avec le point de rencontre des deux lignes données, et Ton obtiendra les quatre droites qui satisfont aux conditions du problème.

226. Sixième cas. Nous avons supposé, dans les problèmes qui précèdent,* que les droites données étaient situées dans un même plan. Lorsque cette condition n'aura pas lieu, le problème sera un peu plus composé.

Pour le résoudre^ on décomposera la question de la manière suivante : . ,

1** On déterminera d'abord/ quelle doit être la direction de la ligne demandée ;

2** On cherchera quelle doit être la position de cette droite dans l'espace.

fU 29. ANGLE TRIÈDRE. ' 127

227. Première opération, Délerrainer la direction de la droite demandée.

1* Étant données, flg. 3, pi. 29, les deux droites A et B, situées comme Ton voudra dans l'espace, on choisira un point ^ quelcotique S sur Tune des deux lignes données sur la droite A, par exemple ;

2** On fera, passer par le point S une droite parallèle à la droite B ;

, 3"' Les droites A et C étant situées toutes les deux dans le plan P, il sera facile, en opérant comme dans les exemples qui précèdent, de construire une droite SM faisant avec A un angle donné a et avec la droite C un angle donné c.

Or, la droite C étant parallèle à B, il s'ensuit que toute parallèle à SM, qui couperait la droite B, ferait avec cette dernière ligne un angle égal à l'angle donné c.

Il est donc évident que la droite SM est parallèle à la ligne demandée et que par conséquent la direction de cette dernière ligne est déterminée.

228. Deuxième opération. Déterminer la position que la droite demandée doit occuper dans l'espace.

Cette seconde partie du volume peut être résolue de plusieurs manières.