Troisième solution du sixième problème

On peut éviter .remploi du cône qui a son sommet en a?, en opérant fle la manière suivante :

1** Les données étant les mêmes que pour le problème qui précède, on disposera Tépure comme sur la figure 1, c'est-àdire que Ton prendra, flgr. 3, un plan de projection perpendiculaire aux plans P et P, qui contiennent les faces demandées a et c. L'angle msn sera par conséquent égal à l'angle B donné ;

•2<* On choisira un point 0 quelconque, situé où Von voudra dans rintérieur de l'angle msn, et de ce point comme centre, on décrira un cercle que Ton pourra considérer comme la projection d'une sphère dont Je rayon Or peut être pris à volonté;

3° On construira la tangente ici/, qui fait avec le plan P l'angle donné C ; puis, faisant tourner cette tangente autour de la droite qx perpendiculaire au plan P, on engendrera un cône circonscrit à la sphère du rayon Or, et toupies plans tangents à ce cône feront évidemment l'angle G av^c le plan P et par conséquent avec la face a qui coïncide avec Ce plan ;

4° On construira ensuite la tangente zv, qui fait avec le plan P^ un angle svz égal à l'angle donné A; puis, -faisant tourner cette tangente au tour de la droite sp, perpendiculaire au plan P^, on engendrera un second cône circonscrit à la sphère, et tous les plans tangents à ce deuxième cône feront l'angle A avec le plan P^ et par conséquent avec la face c qui est située dans ce plan ;

FI«. 2& ASaLfi TRIÂDBE. 409

5^ Il est donc évident qu'il ne restç plus pour obtenir la face b qu'à construire un plan tangent aux deux cônes. . Pour y parvenir on tracera successivement :

6* La droite zœ qui contient les sommets des deux cônes, et qui perce les planés P et P^ aux points m et n ;

?• La circonférence décrite du point g, 'comme centre avec le rayon uq, sera la section du premier cône par le plan P qui contient la face a ; , \ . *

8<» La tangente m/ sera l'intersection du plan P de la face ^, par le plan qui est tangent aux deux cônes, et qui doit contenir la face 6 ;

9« La droite ss', perpendiculaire sur ms, sera l'intersection des plans P et P^ ou, ce qui est la même chose, des faces a et c ;

10» L'angle ms'* sera par conséquent égal à la face demandée a ;

11* La circonférence décrite du points comme centre avec le rayon gv, sera la section du second cône par le plan P< de la face c ;

12^ La tangente n^' sera l'intersection du plan P^ de la fece c, par le plan de la face 6, qui est tangent aux deux cônes ;

13« La droite ss'' perpendiculaire sur ns doit être égale à ss\ puisque ces deux lignes, ramenées à leur place, n'en feraient qu'une seule proje'téejpar le point s, et provenant de l'intersection des faces aetc\

14" L'angle n'ss sera égal à la face demandée c ;

15° Enfin, les trois droites s'm, mn ei ns" seront les trois côtés du triangle au sommet duquel est situé Tangle ms'"n égal à la face b cherchée ;

16** L'angle ms'^^n représentant la face b rabattue sur le plan de l'épure, la droite ^^'', projeciioa de Parc de cercle parcouru par le point S de Tespape, doit par conséquent être perpendiculaire sur la droite mn autour de laquelle se fait ie rabattement.

203. Théorème. Concevons, flgr. 4, deux plans P et 9^ situés d'une manière quelconque dans l'espace ;

CoDcevoDs de plus une droite AB perpendiculaire à } ua des deux plans donnés, jau plan P| par exemple ;

Si par la droite AB nous cohcevons le plan ABC, perpendi* culaîre sur la droite CS intersection des deux plans P et ?<, le plan ABC coupera les deux plans P et P4 suivant les droites BC et CA ; l'angle BCA sera Tangle dièdre formé par les deux plans P et P4 et Tangle ABC mesurera Tinclinaison de la droite AB sur le plan P ; . •

Or, la droite BA étant perpendiculaire sur le plan P^ le triangle BAC est rectangle en A, et les deux angles B et C sont compléments Tun de l'autre.

Par conséquent, si Ton veut construire un plan P4 faisant avec le plan P un angle donné ACB, on pourra opérer de la manière suivante :

i^" On tracera une droite quelconque AB faisant avec le plan P un angle ABC, complément de l'angle donné ACB ;

2o On construira un plan P| perpendiculaire à la droite AB.