Deuxième méthode

1*» La droitq MS, flg. 7, étant déterminée par les opéra-

i28 ANGLE TRIÈD&E. PL. 29.

tions indiquées précédemment;, on fera passer par la droite B un plan P^ parallèle à P ;

2*» On détefrminera le point U suivant lequel ce plan P|coupe la droite SM ;

3^ On tracera par le point 0 une droite CZ parallèle à la ligne donnée A. Cette opération déterminera le point Z ;

A^ On fera passer par le point Z la droite ZR parallèle à SM et la question sera résolue ;

50 11 est bien entendu qu'il faudra recommencer cette opération pour chacune des droites qui satisferont aux conditions du problème.

231. Épure. Les principes précédents ont été appliqués sur les figures 2, 4, 5 et 6.

Voici quelles sont les opérations successives que l'on doit faire pour obtenir les lignes demandées :

1* Les droites données A et B étant déterminées par leurs projections aa' et 66', fîg. 2 et 5, on prendra (227) sur A un point quelconque ss' ;

2° pn fera passer par ce point une droite C, parallèle à la droite donnée B.

Les projections c et c' de la droite C seront parallèles aux projections 6 et b' de la droite B ;

3<> Par les droites A et C qui se coupent au point S, on construira le plan P ;

4* On construira, flg. 4, le plan auxiliaire de projection YAZ' perpendiculaire sur la trace horizontale du plan P, puis opérant comme dans le cinquième problème, on fera toutes les opérations nécessaires pour déterminer les droites S-î et S-2 qui satisfont à la question.

La somme des angles donnés mVO, m'V^N, tig. 6, étantplus petite que Tangle obtus T^'^'N, et plus grande que l'angle aigu N5'"0 que les deux lignes données ^"0 et ^'''N font entre elles, on ne ti:ouve que deux droites satisfaisant aux conditions du problème (2 16) ;

5* On déterminera les projections de ces droites, d'abord sur le plan auxiliaire Y'AZ' rabattti,flg. 4, puis ensuite sur le plan horizontal, fig. 6, et sur le plan vertical de projection,

6" Le point e, flg. 5, étant la trace boriz«ataIe de la droite B, on projettera ce point, d'abord en e^' sur la ligne AZ', puis •de là en e"' sur le plan P rabattu ;

7» La droite 6''' menée par e'" parallèlement à ^"N sera la projection de la droite B sur le planP rabattu ;

8» Par le point e^^ projection du point e sur le plan auxiiiaire Y'AZ', flg. 4, on tracera la droite M parallèle à la troi- «ième trace du plan P ;

9* La droite b^^ sera la troisième projection de la ligne B, et la trace du plan P^ mené parla droite B parallèlement jiu plan

10* On déterminera sur la projection auxiliaire Y'AZ', flg. 4, les points u^^ et a/^ suivant lesquels leplan P^ est percé par les deux droites .ç^'-l, ^'-2 (230) ;

11* On déterminera les projections des mêmes points sur 4e plan horizontal et sur le plan vertical de projection ;

12* On s'assurera que les hauteurs des projections verticales de ces points au dessus de la ligne AZ sont bien exactement égales aux hauteurs des points correspondants sur la projection auxiliaire Y'AZ' ;

13® Par les projections u et u' du point U, on tracera la ^droite uz parallèle à a, et la droite u'z' parallèle à a'. Cette opération déterminera les deux projections z et z' d'un point qui appartient à Tune des droites demandées (230) ;

14* Les deux projections zr, z'r' de cette droite seront parallèles aux projections de la droite S-l,eisi Ton a bien •opéré, les deux points r et r' seront situés sur une perpendiculaire à la ligne AZ ;

* 15« On agira de même pour obtenir les deux projections de la deuxième droite ; ainsi,

16o Le point œ^^ étant déterminé sur la projection auxiliaire Ï'AZ', on construira :

17» Les projections œ et x*^ de ce même point, tig. 5 et 2 ;

18"* Les droites xv et a/v' parallèles aux projections a et a' de la droite A ;

19* Cette opération déterminera le point vv' par les projec tiens duquel on tracera les projections vn, v'n' de la droite parallèle à S-2. ^

130 ANGLE TRIÈDRB» PL. â9«^

Quand les projfections des droites demandées serpnt déter-' minées sur les figures 2 et 6, on pourra, comme exercice ou comme vérification, projeter les deux droites obtenues zr, z'r' et vn, v'n* sur la projection auxiliaire, flg. 4, et sur le plan P rabattu, flg. 6.

232. Remarque. Il arrive souvent qu'en prenant le» données au hasard, les quantités cherchées sont situées en dehors de la feuille sur laquelle on dessine, et dans ce cas, il est .é^Hdent qu'aucune opération auxiliaire ne peut faire trouver le r(^sultat!

233. Ainsi, par exemple, si, dans la question qui précède^ la somme de deux angles mVO et m'V'N, flg. 6, difiTérait très-peu de Tangle aigu N^^'O que les deux droites données font entre elles, il est évident que l'ordonnée mm^""', et, par conséquent, les droites tri' A et m^-2 de la figure 4 seraient très-petites.

Les droites ^^'-1 et s"'1 feraient deux angles très-aigusavec le plan P et par conséquent elles rencontreraient trèsloin le plan P^, d'où il résulte que les points u" ^id^ ne seraient pas sur l'épure et ne pourraient par conséquent être obtenus par aucune construction. C'est pourquoi j'engagerai le lecteur, avant d'entreprendre l'étude d'une question composée, à prendre bien exactement les données telles qu'elles sont établies sur l'épure.

Sans cette; précaution il s'exposerait souvent à faire un travail inutile.

Cela ne l'empêchera pas de changer ensuite les donnée» pour s'exercer aux constructions particulières dans chaque cas, mais ces exercices ne doivent se faire que lorsque la question est complètement étudiée avec des donn(^es assez favorables pour qu'on ne soit pas distrait à chaque instant du principe général par la nécessité de recourir à des constructions auxiliaires.

Au surplus, ce genre de difllculté n'existe pas daps les applications, parce qu'alors les données ont preâlçue toujours une' certaine régularité de forme ou de position que Ton doit

PL. 29. ANGLE TBIÈDRE. ' • 131

au contwre éviter dans l'étude des principes généraux. '

234. Septième cas. Non-seulement il y a des cas oà les . quantités demandées sont situées très-loin de la place occupée par les données du problème, mais il peut encore arriver que les points ou les lignes cherchées soieht situées à rinflni. Ainsi, par exemple :

Si' la somme des deux angles donnés m"9f'f0^m!^'9/"^^ llg. 6, était égale à l'angle aiffu W'Q formé par les droites données, les cônes engendrés par les droites s^'^m^'el s^nmif' se toucheraient suivant une génératrice commune située dans le plan P (218) ; cette droite satisferait aux conditions données à l'égard des droites s"*Q et ^"'N, mais il est évident qu'étant située dans le plan P, flg^ 4, elle ne pourrait pas rencontrer la droite B qui est située dans le plan P| d'où Ton pourra conclure qu'aucune ligne ne peut satisfaire à' la question.

Quoiqu'il n'existe pas d€t moyen de satisfaire aux conditions demandées, on peut cependant approcher de la solution.

En effet, supposons que le plan P ait été transporté, flg. 1, et que l'on ait obtenu la ligne SM faisant l'angle a avec la droite A et l'angle c avec la droite C. La somme des angles a -[- c, étant égale à Tangle CSA, la droite SM sera située^ans le plan P (218).

^ La droite demandée devant être parallèle à SM et couper la droite A, ne peut pas quitter le plan P, elle ne peut donc pas couper là droite B qui, étant parallèle au plan P, n'a aucun point de commun avec ce plan.

Mais concevons par la droite SM un plan P^ perpendiculaire au plan P et supposons que l'on fasse mouvoir ce plan parallèlement à lui-même. Il coupera les droites A et B suivant des points désignés sur l'r^pure par les chiffres 1, 2, 3 qui correspondent aux diverses positions du plan mobile -P^.

Si l'on joint les points correspondants par les droites 1-1, 2-2, 3-3, etc., toutes ces lignes étant inclinées par rapport au plan P, les angles qu'elles font avec les deux lignes données A et B ne sont pas égaux aux angles donnés a et r, situés dans le plan P. Mais ces angles se projettent par le

plan P par a* et cf qui sont égaux aux deux angles donnés a et c.

Or, à mesure que la drpite mobile s'éloignera du plan P^, son inclinaison par le plan P diminuera, et lorsque cette droite mobile sera parvenue jusqu'à Tinfini, les angles suivant lesquels elle coupera les deux lignes donn(5es ne différeront plus de. leurs projections a' et c^ Ainsi :

Lorsque la somme des deux angles di et c sera égale à r angle aigu que les deuaniroites données font entre elJleSy ia ligne demandée ne pourra être située qu'à V infini.

Il en sera de même pour la droite suivant laquelle se louchent les deux cônes, lorsque la somme des angles donnés a + c est égale à l'angle obtus que les droites données font entre elles (2 17),

235. Huitième cas. Pour ne rien laisser à désirer sur la question qui nous occupe, j'ai donné, pi. 30, toutes les opérations nécessaires dans lé cas où la somme des deux angles que la droite cherchée fait avec les deux droites données est plus grande que l'angle obtus que ces deux lignes font entre elles (216).

Les opôrations^à effectuer sur l'épure étant les mêmes que pour le cas où l'on n'obtient que deux lignes droites, il est inutile d'en recommencer les détails.

11 suffira donc de faire quatre fois sur la planche 30 chacune des opérations que Ton avait faite deux fois sur la planche 29. Les notations suffiront pour faire retrouver, sur l'épure, tous les points ou les lignes dont nous allons indiquer la position dans l'espace (voir page 18).

Ainsi, les droites données étant désignées par A et par B^

on construira successivement :

1« Le point S pris à volonté sur la droite A ; 2^ La droite C parallèle à B ; 3* Le plan P qui contient les droites A et C ; 4* Le plan auxiliaire de projection Y'AZ' ; 5* Le plan P rabattu, flg. 7 ;

6** Les projections sur le plan P rabattu des droites S-l» S-2, S-3, S-4 ;

P£. 30. ANGLE TRIÉDRË. 133

7" Les projections des mêmes droites sur le pian auxiliaire . TU/ ;

S"" Les projections horizontales des mêmes lignes, fig. 5;

9» Lenrs projections verticales, flg. 2 ;

ÎO* Les quatre points u",u",u",u" suivant lesquels leâ^ quatre droites obtenues, flg. 4, percent le plan P^ mené par la droite B parallèle à P (230) ;

^ il® Les projections horizontales UyU,u,u des quatre points précédents ;

12" Les droites uz menées par ces points, parallèlement à la droite A, détermineront sur la projection horizontale de la ligne B quatre points z, z^z,z\

13** Les droites zr menées par chaque point z, parallèlement à la droite qui jofnt le point s avec le point u correspondant, seront les projections horizontales des lignes demandées ;

14* Les points r, r, r, r, suivant lesquels ces lignes coupent la projection horizonXale de la droite A, détermineront les projections horizontales des parties des lignes demandées qui sont comprises entre les deux droites données ;

IB*' Les droites obtenues ZR sont évidemment les lignes» S-1, S-2, S-,3, S-4 que Ton a fait glisser sur la droite A et paralièlemeat à elles-mêmes, jusqu'à ce qu'elles coupent la ligne B suivant les points Z ;

Pour que l'on puisse plus facilement retrouver lesdroites ZR« j'ai reporté sur le prolongement de chacune de ces lignes le num^o qui la désignait lorsqu'elle passait par le point S ;

16« Les quatre droites ZR étant projetées sur le plan horizontal par zr^ on déterminera leurs prcjeclions verticales par des perpendiculaires à la ligne AZ, et l'on s'assurera que chacune des projections verticales zV est parallèle à la projection verticale de la ligne correspondante du point s' \

17^ Vérilicatloap. Les perpendiculaires à la droite AZ', menées par les projections horizontales des points z et r, dé termineront sur la figure 4, les projections z"t^ qui devront être parallèles chacune à la projection de la ligne correspondante du point 5'';

On devra encore s'assurer que les hauteurs des points zf'-

134 ANGLE /TRIÈDRE. Pï.. 30.

et t" au dessus de la droite AZ' doivent être égales aux hauteurs des points z' et r' au dessus de AZ ;

18* Le point o, suivant lequel la droite B perce le plan horizontal de la projection, se projette en o" sur la ligne AZ' ;

La perpendiculaire abaissée du point o'' sur le plan P détermine un point v" qui se rabat sur AZ' en v"*\

Enfin, la droite v"'o"', parallèle à la trace horizontale du plan P, détermine la projection o"' du point o sur le plan P rabattu ; de sorte que la droite 6'" parallèle à c'" sera la pro-' jection de la droite B sur le plan P rabattu ;

Au lieu du point o on aurait pu projeter sur le plan P tout autre point de la droite B ;

19* Les droites menées par les points z et r perpendiculairement à la trace horizontale du plan P, détermineront sur b"' et a'^' les projections des points z"' et r"\ et par suite les projections z"'r'" des quatre droites demandées, parallèles chacune à la droite correspondante du point s^'^ ;

Les points z" et r^' de* la figure 4 étant projetés sur le plan P, les arcs de cercle décrits du point e comme centre détermineront huit points sur AZ', et les droites menées par ces huit points parallèlement à la trace horizontale du plan P devront passer par les points z'^'.el i-^" de la figure 7.

236. Remarque sur le problème précédent. L'épure composée des figures 2, 4. 5 et 7 contient la solution complète du problème général énoncé au numéro 213, mais le grand nombre de lignes nécessaires pour résoudre ou vérifier le problème ne permettrait pas d'exécuter l'épure sur un tableau et Ton comprendra difiicilement qu'elle ait pu figurer pendant quelque temps dans le questionnaire de Saint-Cyr.

En résumant, la solution générale du problème consiste à construire :

1° lin point quelconque sur l'une des lignes données, sur A par exemple ;

2** Par ce point une droite C parallèle à B ;

3° Le plan P qui contient les deux droites A et C ;

4° Kabattre le plan P, et construire le développement de l'angle trièdre :

5* Reformer langle trièdre, ce qui détermine les droites demandées ;

6*» Ramener ces lignes à la place qu'elles doivent occuper •dans l'espace ; 7*» Faire toutes les vérifications possibles.

237. Neuvième cas. Pour offrir aux élèves quelques -occasions d'exercices, j'ai ajouté plusieurs cas particuliers, ^ssez simples pour qu'il soit possible d'en faire dés questions d'examen. Ainsi, par exemple :

Sur la figure 6, les projections verticales a' et V des deux droites données étant parallèle?, le j)lan P sera perpendiculaire au plan vertical de projection. ^

On rabattra* ce plan autour de sa trace horizontale et Ion -exécutera les constructions nécessaires pour déterminer :sur le plan P rabattu la projection si' m de la droite demandée.

La somme des angles donnés m^^VN, mVO étant plus petite que Tangle obtus que les droites données font entre elles, •on obtiendra deux droites projetées en une seule /"tn, sur le plan P rabattu.

Mais pour ne pas surcharger cette épure, je n'ai conservé -que les opérations qui se rapportent à l'une des deux droites •qui se proiettent sur le plan P par /'wi.

Ainsi, ramenant le point'm en m' et faisant m'v' égale à mv"\ on obtiendra /v'-pour la projection verticale delà droite cherchée, on déterminera ensuite comme dans toutes les épures précédentes :

1** La projection horizontale sv de la même droite *,

2° Le point u'u suivant lequel cette droite perce le plan P^ mené par la droite B parallèlement au plan P ;

3« On fera glisser la droite sxi, ^u' parallèlement à ellemême en l'appuyant sur la ligne aa' ;

Dans ce mouvement, le point uu' décrit la droite uz, u^zf parallèle z.aa* \

kf Enfin, lorsque le point uu' sera parvenu en %z' sur la droite W, on tracera zr, «V parallèle à la droite m, sfu'y ce

qui déterminera les deux projections de la droite cherchée ;

5° On pourra vérifier les opérations en construisant les projections 6" et «V^ sur le plan P rabattu ;

Il ne faut pas oublier dans ce cas que l'on doit avoir V parallèle à c'' et z''r'' parallèle à s^w..

238. Dixième cas. Sur la fig. 8 le^ projections horizontales a et h des deux droites données sont parallèles, d*où il resuite que le plan P sera vertical.

Dans ce cas, les opérations seront absolument les mêmes que pour l'exemple qui précède.

11 suffira d'exécuter sur le pten vertical toutes les constructions qui, sur la flg. 6/ étaient exécutées sur le plan horizontal, et réciproquement. v

230. Onzième cas. Sur la fIg. 3, les deux droites don* nées a et 6 sont parallèles au plan de projection, qui coïncide alors avec le plan P, ce qui évite le rabattement de ce plan.

Dans ce dernier exemple, la somme des deux angles donnés étant plus grande que l'angle obtus que les droites données font entre elles, la solution complète du problème donnerait quatre droites (216), mais je n'ai conservé que les opérations qui se rapportent à Tune d'elles.

240. Douzième cas. Je terminerai l'étude de la question qui nous occupe par le cas où les angles donnés m's^'^^ 7>iV0, flg. 1, seraient droits tous les deux. Dans cet exemple, les droites données étant inclinées d'une manière quelconque àans l'espace, on adoptera la disposition d'épuré des septième et huitième problèmes, et lorsque le plan P sera rabattu sur le plan horizontal de projection, ce qui donnera les trois faces a, 6, c de l'angle trièdre développé, il est évident que le cône engendré par Tarôte extérieure ^"m' de la Hace a sera remplacé par le plan Pa perpendiculaire sur la droite ^''N.

Le cône engendré par le côté extérieur ^^'m* de l'angle e sera également remplacé par le plan P, perpendicuJalre sur la droite ^'^O. L'Intersection de ces deuî^plaos sera perpendi^

PL. 30 ANCSilfi TBièOfiB. iS*!!

culaire sur le plan P et se projettera sur ce plan par le point s'^' ; la ligne demandée parallèle à l'intersection des deux plans P, et Pj sera par conséquent la perpendiculaire commune aux deux droites données.

^ La direction de cette ligne étant connue, sa position dans l'espace sera déterminée en opérant comme dans tous les exemples qui précèdent ; ainsi, on construira :

1« La projection ^'V de la droite suivant laquelle se coupent les deux plans P, et P, ;

2" La projection horizontale 5w et la projection verticale s'u' de la même droite ; '

3** Les projections u'', u et w' du point suivant lequel cette droite perce le plan P| mené par la droite B parallèlement au plan P ;

4o Les projections W2, uV de la droite parcourue par le point uu'y lorsque l'on fait glisser la droite su.s'u' sur la ligne aa' jusqu'à ce qu'elle rencontre la droite bf \

5<» Les deux projections zr, z^r' de la ligne demandée ;

6" On pourra, comme vérifications, ajouter les projections' z"i " et z"'r"' de la même droite ,sur le plan Y' KU et sur le plan P raoattu ;

7<» La projection ^'r" sera la distance des deux lignes don-: nées, puisque la perpendiculaire quji exprime cette distance est parallèle au plan auxiliaire de projection Y' AZ'*;

8" Enfin, on remarquera que Ton pdurrait sans inconvénienf supprimer tout ce que l'on a projeté sur le plan P ra-* battu, cette partie de l'épure ne servant dans le cas actuel qu'à rattacher la question particulière que nous venons de résoudre au problème général énoncé au numéro 213.

138 PUNS COTÉS. PL. 31.

CHAPITKE V.

Plan» coté».

241. Définitions. Jusqu'ici nous avons supposé que les plans de projection faisaient partie des données ; mais cela n'a jamais lieu dans la praticfue.

Les éléments du problème à résoudre dépendent presque toujours des dispositions principales d'un objet plus ou moins composé dont les dimensions sont souvent exprimées par des nombres. Ainsi, par exemple, s'il s'agit d'un monument, on dessinera le plan ou projection horizontale nécessaire pour bien indiquer la distribution intérieure; puis on pourra provisoirement indiquer par des nombres les hauteurs des planchers, des'portes ou des fenêtres.

Lorsqu'un ingénieur veut étudier un grand projet, tel, par exemple, qu'un chemin de fer, un canal, un système de fortifications, il commence par lever bien exactement les plans ou projections horizontales du projet et du terrain primitif; puis, afin de pouvoir évaluer la quantité de matériaux qu'il faudra déplacer, il indiquera par des nombres la hauteur de ^ chaque point au dessus d'un plan horizontal quelconque que ron nomme plan de comparaison. C'est là ce que l'on entend par un plan coté.

242. Les nombres placés ainsi à côté de la projection horizontale de chaque point, indiquant sa hauteur au dessus du plan de comparaison, il pourra sembler singulier que l'on ait eu ridée de nommer cela un plan coté. En effet, ce ne

sopt pas les lignes du plan qui ^ont cotées, ce sont les hauteurs. Pour que 1^ plan fût coté, il faudrait que les nombres indiquassent les dimensions horizontales, comme, par exemple, les longueurs et les épaisseurs des murs, les côtés des triangles qui ont servi à déterminer la projection horizontale de chaque point, ou les abscisses et ordonnées de ces points rapportés à des axes de convention. Ce serait alors le plan qui serait coté, tandis que dans le cas actuel les cotes n'expriment évidemment que les hauteurs.

On aurait une représentation complète de l'objet en indiquant par des cotes à l'encre noire les dimensions horizontales, et en cotes rouges les hauteurs des points essentiels au • dessus du plan de coipparaison. Mais, cela ne pourrait se faire que pour des objets très-simples et, dans le cas où la question est composée, on préfère ordinairement indiqueras cotes de hauteurs sur les ordonnées verticales de l'élévation.

Quoi qu'il en soit, nous adopterons l'expression en usage, et nous donnerons le nom de plati coté à- la projection horizontale sur laquelle on a désigné par des nombres les hauteurs des points essentiels.

243. Plan de comparaison. Le plan de comparaison peut être pris où l'on voudra et peut être élevé ou abaissé suivant les ciriconstances particulières de la question que Ton étudie.

11 suflSt alors de diminuer ou d'augmenter toutes les cotes d'une quantité égale à la dislance qui existe entre le premier et le second plan de comparaison.

Mais lorsque plusieurs plans sont destinés à être réunis, il vaut mieux adopter un plan de comparaison commun. Dans les grands travaux, on prend le niveau, dé la mer pour plan de comparaison.

244. Si les dimensions horizontales sont dessinées sur le plan avec une exactitude sufllsante, il est évident que les cotes de hauteur exprimées en nombres compléterqnt la description des parties essentielles du projet, mais la question ne sera pas résolue.

i4Ù PLANS COTÉS. PL. 31.

La projection unique que l'on aura ainsi obtenue ne coptiendra que les données du problème et ne dispensera pas dé construire les nombreuses projections auxiliaires sans lesquelles il serait souvéut impossible de résoudre toutes les parties de la question proposée.

245. L'utilité (l'un plan coté ne provient donc pas, comme quelques personnes paraissent le croire, de co que toutes les dimensions sont exprimées sur une seule projection, mai^ de ce que rien ne déterminant, à priori^ le second plan de projection, on peut toujours le choisir de manière à obtenir

. les opérations les plus simples. Nous allons compléter ce qui précède par quelques exemples.

246. Le numéro 14 de la figure 1, planche 31, indique un point situé à 14 t^iètre^ au dessus du plan de comparaison Le numéro 2,73 est un point situé à 2 mètres 73 centimètres. On a 273 centimètres de hauteur. S'il y a beaucoup de cotes exprimées en fractions du mètre, on prendra le centimètre ou le nnllimètre pour unité.

247. Pour simplifier les questions que nous allons résoudre, nous supposerons, sur la planche actuelle, que toutes

.les cotes de hauteur sont exprimées par un nombre exact de mètres, çt que le mètre est représenté graphiquement par la droite M, qui est égale à cinq millimètres ou -i- de mètre.

, 248. Ce qui précède étant admis, les deux cotes 9 et 4» de la figure 1, détermineront complètement la droite qui joint les points correspondants de l'espace, et si Ton divise la projection horizontale de cette droite en cinq parties égales, on aura les cotes de hauteur pour les points intermédiaires situés à 5, 6, 7 et 8 mètres au dessus du plan de comparaison.

/ En portant quatre fois la distance comprise entre deux^ de ces points, sur le prolongement de la droite 9-4, on obtiendra les cotes des points 3, 2, 1, et enfin 0, qui est la trace hw^izontale de la droite donnée. La ligné 9-0 est ce que l'on nomme l'échelle de pente de cette môme droile.

249. VouTohten\rl9.cote de hauteur à* \in point quelconque u de la ligne donnée 8-5, ûg. 8, on rabattra cette ligne sur le plan horizontal qui contient l'un quelconque de ses pointe, le point 5, par exemple ; on obtiendra ainsi les deux triangles semblables 5'-5"'^-8 et 5'-5"-w', puis on résoudra l'équation :

5^-5"^ : 5'-5"' = 5'^'-8' : 5''-u' qui devient S'-ô"' : y-b"" = 3 : 5'"- a'

d'où 5''-u'=:

Remplaçant 5'-5'' et 5'-5"' par leur longueur en mètres ou fractions de mètres, on obtiendra 5''-m' qui, ajouté au nombre 5, donnera la cote de hauteur pour le point D de fespace.

On peut écrire la proportion sans rabattre le triangle qui n'a Hé tracé dans le cas actuel que pour Texplication du principe.

250. Faire passer un plan par trois points dont les cotes Je hauteur sont 8, 5 et 3, flg. 2.

l'» On tracera les droites 8-5, 8-3 ; ?• On déterminera les échelles de pente et leur trace (248), par lesquelles on fera passer la trace horizontale 0-0 du plan

demandé P.

Toutes les droites 5-5, 4-4 ou 2-2, passant par les points de cotes égales sur les lignes données, sont des horizontales du plan P.

La droite 8-a perpendiculaire sur la trace 0-0 du plan P est l'échelle de pente de ce plan.

251. Les droites 3-c, 5-e sont également les échelles de pente du même plan. En général, toute droite abaissée d'un point quelconque d'un plan, sur sa trace horizontale, sera son échelle de pente ; d'où il résulte qu'un plan aune infinité d'échelles de pente qui sont toutes parallèles entre elles (253). On peut encore cpnclure de ce qui précède que la position d^un plan sera déterminée dans l'espace dès que l'on connaîtra une quelconque de ses échelles de pente. Ainsi les

44â PLANS COTÉS. FL. 31.

points 5 et 2, llg. 4, étant situés surTéchelle de pente d'an plan P, on déterminera le point 0, et la trace horizontale du plan P sera perpendiculaire sur la ligne 5-0.

252. Si Ton veut déterminer la cote de hauteur d'un point a situé dans le plan P, on tracera l'horizontale am perpendiculaire à l'échelle de pente, et Ton calculera la cote du point m, en opérant comme nous Tavons dit au n« 249.

253. Deux droites 11-5 et 9-3, flg. 3, sont parallèles lorsque leurs échelles de pente sont parallèles, égales et inclinées dans le même sens, La trace 0-0 du plan P, qui contient ces deux droites, passera par leurs traces et sera parallèle à toutes les droites qui joindraient les points de cotes égalqs sur les deux droites données. 11 ne faut pas confondre les échelles de pente des deux parallèles données avec les échelles de pente du plan P qui contient ces deux lignes.

254. Si deux plans sont parallèles, tLg. 13, leurs éciielles de pente 6-2, 7-3 seront parallèles et perpendiculaires aux traces horizontales des plans donnés P et P^. Réciproquement, si les échelles de pente de deux plans sont parallèles, ces deux plans seront parallèles.

255. Déterminer Vintersection de deux droites, fig. 6. Pour que deux droites se coupent, il faut qu'elles soient dans un même plan, ce que l'on reconnaîtra lorsque les horizontales 1-1, 3-3 ou 5-5, etc., seront parallèles.

Pour obtenir la cote de hauteur du point d'intersection U, on rabattra Tune des droites 0-5', et Ton calculera la cote de hauteur u\] en opérant comme nous l'avons dit au n° 249.

256. Trouver, ûg. 7, rinterrection d'une droite 1 1-7 et d'un plan déterminé . par so?^; échelle de. pente 13-6. On rabattra le plan projetant vertical 'AZ de cette échelle, ce qui donnera 13^6' pour la trace verticale d'un plan donné, on projettera la droite donnée 11-7 sur le plan AZ rabattu, ce qui donnera 11 '-7', et le point m' sera la projection vepticale

Pt** ^. PLANS GOTtS. 143

du point demandé dont la projection horizontale u sera dét^minée. Pour obtenir la cote de hauteur du point uu' on calculera mu' en opérant comme nous l'avons dit au n* 249, et Ton ajoutera le .nombre 7 au résultat obtenu.

267. Construire l'intersection KH de deux plans P et P| déterminés par leurs échelles de pente tO-3 et 7-2, flg. 8,

1» L'horizontale 7 du plan P rencontrera l'horizon taie 7 du plan P| en un point qui sera le point 7 de la droite demandée KH ;

2*» L'horizontale 3 du plan P et l'horizontale 3 du plan P| se couperont çuivant le point 3 de la droite KH qui par conséquent sera déterminée.

258. Sur la figure 9 l'intersection KH 'des plans P et P| est déterminée par les horizontales 8 et 3 de ces plans.

259. Sur la figure 10 les projections 10-2 et 9-5 des échelles de pente des plans donnés étant parallèles, les horizontales de même hauteur seraient également parallèles; dans ce cas Tinlersection KH des plans àorinés sera perpendiculaire aux échelles de pente et pour obtenir la projection verticale H' de celte intersection on pourra opérer de la manière suivante :

!• On rabattra le plan projetant vertical AZ de l'échelle de pente 9-5 du plan P^ et l'on projettera l'échelle 10-2 sur ce plan AZ rabattu. Les droites 9'-5' et 10'-2' seront les traces verticales de deux plans donnés, et ces plans étant perpen diculaires tous deux au plan vertical de projection AZ, leur intersection sera projetée sur ce plan par un seul point H' qui suffira pour construire la projection horizontale KH, et pour calculer sa cote de hauteur, en opérant comme nous l'avons dit au numéro 249.

260. Sur la figure il les échelles de pente des plans don- ^ nés sont inclmées dans le même sens, et leurs projections

sont parallèles; mais les traces verticales S'-S' et 6'-4' se rencontrent très-loin et très-obliquement. Dans ce cas, on aura recours au calcul, ainsi on écrira l'équation de la droite qui contient les points 8^ et 3' de la première trace ; on écrira

Hjyns amÉB.

sIh atl.

égalemeor. réqaatioB de la deuxième trace ; ob éliminera les a, et la valeur de y sera la cote de hauteur de la droite cherebée, qai sera comme ci-dessus perpendiculaire aux échelles de pente des plans donnés.

261. Sur la figure 12, les projections 11-6 et 5-4 des échelles de penle étant presque parallèles, les horizontales de cotes égales se couperaient trop obliquement. Dans ce cas, on rabattra comme ci-dessus le plan projetant vertical AZ de réchelle de pente 5-4, et la droite 5'-4' sera la trace du plan Pj perpendiculaire au plan vertical AZ.

On projettera sur ce dernier plan deux échelles de pente quelconques (251) ll'-6', ir^-G'' du plan P et les points m^rh et u^u suivant lesquels ces droites perceront le plan 5'-4', détermineront la droite KK qui sera la projection horizontale de l'intersection demandée.

262. Sur la figure 13, les échelles de pente 7-3 et 6-2 étant parallèles (253), les plans donnés seront en même temps parallèles (254) et ne se couperont qu'à l'infini.

283. Trouver le point d" intersection de trois plans P, P, et Pj déterminas' par leurs échelles de pente 7-3, 8-4 et 5-2, fLg. 14.

1<> En opérant comme nous l'avons dit au numéro 257, on obtiendra l'intersection KH des plans P et P^ ;

2* En opérant comme au numéro 256, on obtiendra le point n'u suivant lequel le pian Pj est percé par la droite K'H'.

Le plan P^ perpendiculaire au plan vertical projetait de son échelle de pente 5-2 se projettera sur ce plan, par sa trace vertical^ 6'-2', et la projection K'H' sera déterminée par les points 7 et 3 de la projection horizontale Kff.

264. Remarque. On voit, par ce qui précède, que le principal avantage des plans cotés provient surtout de ce que la projection verticale, étant remplacée par les cotes de hauteur, les donnôes peuvent être projetées dès Vorigine sur le plan qui convient le mieux à la question particulière que l'on veut résoudre, ce qui évitera souvent l'emploi des plans auxiliaires de la projection (î?45).

PL. 31. VlkANS COTÉS. 145

266. Par un point 8, déterminé par sa cote de hauteur, flg. 15, faire passer des droites parallèles à un plan qui a pour échelle de pente la droite 5-2.

Le plan donné, perpendiculaire au plan projetant vertical AZ de son échelle de pente, se projettera sur ce plan par sa trace verticale 5'-2'. Le point donné se projettera par 8', et la droite 8'-6' parallèle à 5/-2' sera la trace verticale d'un plan passant par le point 8,8' et parallèle au plan 6'-2'.

La droite 6'-6'' sera une horizontale du plan 8'-6', et toutes les droites 8-6" qui, passant par le point donné 8-8', s'appuieront sur l'horizontale 6'-6'', seront situées dans le plan 8'-6' et seront, par conséquent, parallèles au plan donné 5'-2'. - .

266. Par une droite 4-1, flg. 16, construire un plan parallèle à une seconde droite 10-7.

i<» Par, un point quelconque 3 de la première droite on construira une droite 5-2 parallèle à la droite 10-7 (253) ;

2* La droite 0-0 sera la trace horizontale du plan demandé qui contiendra la droite donnée 4-1, et qui, de plus, sera j^arallèle à la droite 10-7, puisqu'il contiendra la droite 5-2 qui lui est parallèle.

267. Par une droite donnée 11-5, flg 17, faire passer un plan perpendiculaire à un plan donné 6-1.

Par un point quelconque 7 de la droite donnée 11 5, on construira la droite 7-2 perpendiculaire au plan donné. Cette perpendiculaire 7-2, rabattue autour de AZ, deviendra 7'-2' perpendiculaire sur la droite 6'-l' suivant laquelle ie plan donné 6 1 coupe le plan projetant? vertical '7-2. Enfln, la droite passant par le point 0 des deux droites 7-2 et 11-5 sera la trace horizontale du plan demandé P^.

268. Déterminer la distance d'un point 6, flg. 18, à un plan donné par son échelle de pente 7-3.

1* On rabattra le plan projetant AZ de la droite 7-3 qui deviendra 7'-3' ;