Asymptotes. Il existe dans le plan de toute hyper
bole deux droites qui jouissent de propriétés remarquables. Ces droites, AD, AE, passent par le centre de la courbe et s'en rapprochent sans jamais la toucher, ou, en d'autres termes, elles ne touchent la courbe qu'à l'infini. On leur donne le nom d'asymptotes.
. 387. Les asymptotes fournissent un moyen très-sjimple de construire une hyperbole lorsqu'on en connaît un point. En effet,
Soit donné le point s et les deux asymptotes DD', EE'. On construira dans une direction quelconque, en passant par le point s, la sécante pw, et prenant p^, on le portera de u en v; ce qui donnera le point v. De même, construisant une autre sécante si, on portera st de e en i. En continuant ainsi dans toutes les directions, on aura autant de points que Ton voudra sur les deux branches de la courbe.
388. La courbe étant construite, le centre et les axes pourront être retrouvés comme dans leWipse. Pour obtenir les foyers, on décrira un arc du point A, comme centre, de manière à passer par le points, où l'asymptote est rencontrée par l'ordonnée BA ; les intersections de ce cercle avec l'arc transverse seront les foyers.
On ferait l'opération inverse si l'on voulait construire les asymptotes, connaissant les foyers.
389. Tangentes À l'hyperbole. Les tangentes à l'hyperbole s'obtiennent par les mêmes moyens que les tangentes à
■ l'ellipse.
Ainsi, par exemple, m étant le point donné, flg. 215, on construira le rayon Am, puis la corde Wc parallèle à ce rayon, enfin la corde supplémentaire cB, qui sera parallèle à la tangente et qui en déterminera la direction.
390. On peut encore, pour obtenir la tangente en un point donné de l'hyperbole, construire pm parallèle à Tasymptote, puis faisant Ao = 2A;?, le point a appartiendra à
la tangenle. Celta construction provient de. ce que, dans toute hyperbole, si l'on construit une tangente, le point de tangence doit toujours occuper le milieu de la portion de la tangente comprise entre les asymptotes.
391. Enfin, on peut encore construire la tangente en un point donné m\ en Qonstruisant les deux rayons vecteurs Pm', Fm' et partageant l'angle que ces rayons font entre eux, en deux parties égales.
392. Pour construire une tangente parallèle à une ligne d(âinée ts^ on mènera d'abord la corde Bc parallèle à cette ligne, puis le rayon Xnt passant par le milieu de la corde Bc déterminera en m le point de tangence, et comme l'ont connaît la direction de la tangente, il sera facile de la construire.
393 Construire une tangente à r hyperbole par un pointpris en dehors de cette courbe.
^oit 0 le point donné. De ce point, comme centre, on décrira un premier cercle passant par l'un des foyers F. De Taut^re foyer F' comme centre, avec un rayon égal à B'B= 2m, on décrira un second arc de cercle, et Ton joindra par deux droites les points d'intersection de ces deux cercles, avec le foyer F' qui a servi de centre au second ; les points m', m'\ où ces droites rencontreront la courbe, sont les points de tangence.
394. La similitude entre les constructions précédentes et celles que nous avions indiquées plus haut pour l'ellipse est une conséquence de l'analogie qui existe entre les propriétés des deux courbes.
395. Problèmes. Diamètres conjugués de Vellipse. Nous avons dit au d° 367 comment on peut construire une
ellipse, lorsque l'on connaît deux . quelconques de ses rfiamètrcs conjvgués. ♦
Cette question devant se présenter souvent par la suite, nous allons la reprendre avec quelques détails.
Étant donnés les deux diamètres AA' et BB', flg. 1, pi. 43, on décrira. la circonférence qui a pour diamètre AA' et Ton construira le triangle ÔMB. Cela étant fait, tout triangle omfe, o'm'b'^ etc., semblable et» parallèle au triangle OMB, déterminera un point ft, b', ¥ de l'ellipse demandée. Mais on sait que dans la construction des courbes, il vaut mieux commencer par tracer un certain nombre de tangentes, parce que la courbe se confondant avec sa tangente dans le voisinage du point de tangence, cela permet de tracer la courbe avec une plus grande précision
On commencera donc par construire le parallélogramme EFGH, dont les côtés parallèles à l'un des diamètres donnés AA' ou BB' seront tangents aux extrémités de l'autre diamètre.
Ensuite, la tangente au point m' du cercle de rayon OA déterminera le point & de la tangente au poitit b' de la courbe ; ce qui provient de ce que les deux tangentes c'm' et c'6' doivent avoir la même sous-tangente cV.
On obtiendra ainsi autant de tangentes que Ton voudra. La tangente au point ¥ ne rencontrant pas sur l'épure le prolongement du diamètre AA', on construira d'abord la tangente m"m"\ puis le triangle o"'m'"b^" semblable et parallèle au triangle OMB. Ce qui déterminera le point V et par suite la tangente b"b"*.
Le rayon OB de Tellipse étant prolongé jusqu'au point my^ du cercle, la droite m 1^6^^, perpendiculaire au tayon 0^'% sera tangente en même temps au cercle et à Tellipse. On déterminera le point 6^^, en construisant le triangle rnivoi^èiv, semblable et parallèle à OMB.
On déterminera de même le point 6^ et la tangente h^ mv; enûn, les deux points &»v et h^ devront former les extrémités d'un diamètre ô»^6^.
Si l'on trace MN et le rayon om^i perpendiculaire sur MN, on obtiendra un point m^^ sûr la circonférence du cercle ; la tangente m^'-n, parallèle à MN déterminera le point n sur le prolongement de AA' et la droite n^^', perpendiculaire sur AA', touchera l'ellipse en un point b^\ que l'on obtiendra en
construisant le triangle mvio^'ô^i semblable et parallèle au triangle 0MB.
On obtiendra de môme le point 6^" et les deux points b^^ et ftv" seront les extrémités d'un diamètre è^'ô^".
396. Trouver les axes d'une ellipse lorsque Von connaît deux quelconques de ses diamètres conjugué^.
On sait qu'entre les axes et les diamètres conjugués d'une ellipse, on a toujours les relations suivantes :
(2) aè = a'6' sin (a' — a)
la seconde équation multipliée par 2 deviendra
(3) 2ab = 2a'b' sin {«' — «) ;
ajoutant les équations (1) et (3), on obtient
(4) a« + 6« + 2ab = a'» + è'» + 2a'b' sin W — «) ;
retranchant l'équation (3) de (1), on a
(5) a* + 6» — 2ab = a'« + V^ — 2a' V sin [J. — a) ;
en faisant pour simplifier
(6) a'* + ft'« + 2a'V sin {af — «) = m^
(7) a'« + i'« + ia'V sin («' — «) = n« ;
les équations (4) et (5) deviendront
a« + 6« + 2ab = m», a^ + ** — 2a6 = n* ;
extrayant
la
racine
, on
obtient a — 6 :
d'où
Tn ~ 2^
Il ne reste donc plus qu'à obtenir les valeurs de m et de n. Or, si Ton exprime par u le complément de Tangle <«' — a) que font entre eux les deux dianjètres conjugués, on aura sin {a! — a) = cos u, et les équations (6) et (7) deviendront
m* — a'* + 6" + 2a' b' cos «,
n* o'* + f* — '2a'b' cos u ;
mais (Trigonométrie) Téquation (^i exprime évidemment les Telations qui existent entre les trois côtés n, a' et 1/ d'un triangle dans lequel le côté n serait opposé à l'angle u, complément de a' — a, et l'équation (8) exprime les relations entre les trois côtés d'un second triangle, dans lequel l'angle compris entre a' et b' serait égal au supplément de u. D'où résulte la construction suivante :
397. Soient, flg. 3, les deux rayons conjugués OA' = a', Od' = fc^ U s'agit de trouver le dem*î grand axe OA* = a et le demi petit axe OB = 6.
1*» On mènera OA' en OA'' par un (juart de cercle A'A" décrit du point 0 comme centre ; l'angle A"OB' sera égal ku, complément de B'OA' = a' — a.
2° On construira le parallélogramme A"OB'D, et Ton tracera ses deux diagonales OD, A"B'.
La plus grande OD sera la valeur de m, et la plus petite
771 Tl
A"B' sera égale à n, ce qui donnera OC = -^ et A"C = - .
3* Du point C, comme centre, on décrira la demi-circonférence HA"K, et Ion aura par conséquent
0H = 0C + CH = 0C+.CA" = ^4-^ = a,
OK = OC - CK = OC ^ CA" = ^ - 5= b.
Les constructions précédentes donnent les valeurs des axes principaux 2a et 26 ; mais pour construire Tellipse, il faut encore connaître les directions de ces axes.
200 COURBES DU DEUXIÈMIi] DEGRÉ. PL. 43.
Pour y parvenir, on décrira du point 0 la circonférence qui a pour rayon OH = a, cette circonférence coupera les côté& du parallélograuQme conjugué en deux points M et N, par lesquels on tracera MF perpendiculaire sur IL, et NF perpendiculaire sur LG ; le point d'intersection F de ces deux lignes sera Ihin des foyers de l'ellipse demaildée. . *
Cela résulte de ce théorème connu, que la circonférence du cercle de rayon OA, fig. 9, doit contenir les pieds m des perpendiculaires abaissées des foyers F et F' sur toutes les tangentes à l'ellipse, et paî conséquent sur les deux droites ILetLG delà fig. 3.
Le foyer F et le centre 0 déterminent la direction du-grand axe AÂ, et par suite celle du petit axe dont on connaît la grandeur BB, égale à 2 OK.
Pour plus d'exactitude, on fera bien de déterminer le foyer F' en opérant comme le foyer F.
Si Ton prolonge les f côtés du parallélogramme conjugué ILGP jusqu'à ce qu'ils rencontrent la circonférence de rayon OH, on aura les huit sommets de deux rectangles MM'M"M'", NxN'N'^N"', dont les côtés se couperont aux foyers F et F' de l'ellipse demandée.
Enfin, si ces droites se coupaient suivant des angles trop aigus, on tracerait la droite XY, et la perpendiculaire PZ abaissée du point P sur cette droite devrait contenir le foyer F^
Cela provient de ce que les perpendiculaires abaissées par les trois sommets sur les côtés du triangle PXY doivent passer par un même point [Géométrie).
398. La figure 2, 'dégagée des lignes de vérification précédentes, ne contient que ce'qui est absolument nécessaire pour déterminer les axes. Ainsi, on tracera :
I*^ Le quart de circonférence A'A'' et le rayon OA" ; ce qui donnera l'angle A"OB' = u, complément de {a! — a) ;
2? On tracera la droite A''B', dont on, déterminera le milieu C ;
3^ On décrira du point C la demi-circonférence HA'^K, et Ton aura OH = a et OK = ^ ; puis on agira pour le reste comme nous l'avons dit plus haut.
399. Courbure des lignes du second degré. Nous avons dit, au numéro 316, que le centre et^e rayon de courbure en un point d'une courbe doniiée dépendent des propriétés géométriques de cette courbe, et, lorsque ces pro • priétés sont connues, on peut obtenir par le calcul le centre et le rayon du cercle osculateur. La nature de l'ouvrage actuel et le but auquel il est destiné ne permettent pas que nous donnions à cette question tous les développements dont elle est susceptible.
11 suffit presque toujours, en effet, dans la plupart des applications gi'aphiques, de considérer corpme cercle osculateur celui qui passe par trois points peu éloignés, et si Ton croyait utile d'obtenir une plus grande exactitude, on trouverait dans les traités d'Algèbre appliquée Texpression des rayonî^ de courbure des lignes définies géométriquement.
Mais les courbes du second degré offrent dans les applications un intérêt tellement exceptionnel, que je crois être utile à quelques lecteurs en rappelant ici les formules qui permettent de construire, dans tous les cas, le centre et le rayoîi de courbure pour un point pris à volonté sur une de ces lignes:
400. Paramètre. Dans toute courbe du second degré, le paramètre est la corde qui passe par le foyer et qui est perpendiculaire a l'axe principal 2a.
Ainsi, la droite désignée par GH, sur la figure 4, est le paramètre de Tellipse.
L'expression algébrique de cette corde est
Ainsi, en exprimant le paramètre par p, on aura
2b^ GH = p=— • a
401. On démontre par l'Algèbre, que dans une courbe du second degré, ellipse, parabole ou hyperbole, le rayon de courbure AI au sommet A est toujours égal au demi-para-
mètre; donc, en exprimant ce rayon de courbure par r, on
aura r=GF=^=— , d'où résulle la proportion a:b=b:r.
L'expression qui précède convient évidemment pour l'ellipse et pour r hyperbole, mais dans la parabole les valeurs
b^ de a et de ft étant infinies, l'expression — , quoiqu'elle soit
exacte, ne donnerait plus une idée suffisamment nette de la valeur du rayon de courbure au sommet.
Or, on sait que dans toute parabole, flg . 7, le paramètre vaut quatre fois la distance AF du sommet au foyer; donc le double de cette distance sera le demi-paramètre ou le rayon de courbure au sommet A de la parabole.
Ainsi on aura: r= A1 = 2AF = 6F— | •
402. Normale. La normale, considérée comme exprimant «ne direction, est une droite infinie, menée par le point de langence, et perpendiculairement à la tangente ; mais, lorsque la normale exprime une longueur, elle n'est plus infi«ie et se compte depuis le point de tangence jusqu'à sa rencontre avec le diamètre 2a, lorsqu'il s'agit d'une courbe du second degré.
Par conséquent, sur les figures 4, 7 et 8, la normale correspondante au point M sera MK.
403. Rayon de courbure. On démontre, en Algèbre, que le rayon de courbure en un point quelconque d'une ligne du second degré est égal au cube de la normale divisé par le carré du demi-paramètre.
Ainsi, en exprimant la normale par n, le demi-paramètre
par \^ et le rayon de courbure par MC, on aura :
Nous avons dit plus haut (401) que le demi-paramètre est le rayon de courbure au sommet, et puisque nous avons exprimé ce rayon par r, on aura :
pour l'expression générale du rayon de courbute, en un point <|Uelconque M d'une ligne du second degré.
La valeur de r étant une quantité constante, il s'ensuit que dans une ligne du second ' degré le rayon de courbure est toujours proportionnel au cube de la normale, et l'on reconnaîtra facilement que, dans la parabole et dans l'hyperbole, ce rayon augmentera depuis r jusqu'à l'infini, à mesure que le point d'osculation s'éloignera du. sommet A de la courbe. è
Mais il n'en sera pas de même dans Tellipse, flg. 6, où le rayon de courbure atteindra sa valeur maximum, lorsque le point, d'osculation sera parvenu à l'extrémité B du petit axe 26. ^ ' .
Dans ce cas, la normale BO sera égale à 6, et le rayon de courbure que nous nommerons R deviendra
Mais nous avons vu (401) que
On aura donc
d'où
j\ i^^ ~~"~ ""^ — ri^^ ^~~^ i^z ' ■ • r* r* 6* b
. 404. Ainsi, on aura pour l'ellipse, fig. 4
a ir b
r = lA étant le plus petit rayon de courbure, MC le rayon de courbure en un point quelconque M, et R = BS étant le plus grand rayon de courbure.
Ainsi, dans Tellipse, le rayon de courbure à l'extrémité de a
est égal à —, et le rayon à l'extrémité de 6 est égal à -r- • Pour la parabole et pour l'hyperbole on aura :
r=-=^; MG=— ; R=oo.
405. Construction du rayon de courbure en un point quelconque .d'une courbé du second degré.
L'expressioa algébrique de ce rayon en un peint quelconque
elant — , on aura Or, si nous exprimons pour un moment — par a?, nous au-
rons
ce qui revienl^à la construction des deux formules suivantes :
n* nx
a? = — : MC = — • r r
D*après cela, on construira la tangente au iJoint M en opérant par l'un des moyens connus, puis on fera, fîg. 4 :
1^ MD égal au demi-paramètre GF ;
2" MN égal à la normale MK ;
3*» On tracera DN ;
4o On construira NT perpendiculaire sur DN ;
4^ La droite TG, perpendiculaire sur NT, coupera la normale NC en un point G qui sera le centre du cercle osculateur au point M.
En effet, les deux triangles DMN, NMT, étant semblables, on aura la proportion
