M''N'' — — SI

Uif^w. S'F.

Deux de ces normales sont tangentes à Tare S'I', situé comme le point V dans l'angle droit BOA', formé parles deux diamètres principaux de Tellipse, tandis qu'aucune des quatre normales n'est tangente à Tare IS, situé dans l'angle droit opposé A OB'.

Si le point V coïncidait avec le centre 0 de l'ellipse, les quatre normales se confondraient avec les axes AA' et B'B ; et si le point V était situé sur l'un de ces axes, deux seulement des normales se confondraient avec cet axe, et les deux autres normales seraient placées symétriquement par rapport aux premières.

Si le point V appartençiit à l'un dés arcs de la développée STS'F, les deux normales tangentes à cet arc se réduiraient à une se/ile, et Ton n'obtiendrait, dans ce cas, que trois normales à l'ellipse.

Enfin, par Tun des quatre points de febroussement, ou par tout autre point pris' où l'on voudra en dehors de la courbe SIST, on ne pourra construire que deux normales.

Oq obtiendra de la même manière les développées et les normales de l'hyperbole, fig. 8, et de la parabole, flg. 7. -

413. Rectification des lig^nes courbes. On ne connaît, jusqu'à présent, que deux méthodes pour obtenir la longueur d'une courbe, savoir : le calcul intégral ou la rectification graphique du polygone inscrit. Mais les diflicultés souvent insurmontables des intégrations, et la longueur des calculs nécessaires pour obtenir le résultat par cette méthode, rendent à peu près inutiles les formules indiquées par la théorie.

414. Les praticiens se bornent à rectifier graphiquement le polygone inscrit, et considèrent le résultat ainsi obtenu comme suffisamment exact : ce qui est vrai dans le plus grand nombre de cas. ^

En eflfet, fîg. 8, pi. 44, dans une épure de coupe de pierres, pour la construction d'une voûte ou d'un arc de pont,' dont le cintre KH aurait un très-grand rayM de courbure, il est évident que, si l'on remplace cette courbe par le polygone ABG...D, l'erreur sera tout à fait insensible, par suite du

différence qui existe entre chacune des cordes et la partie de courbe qu'elle sous-tend.

On peut même ajouter que, pour la solidité de la construction, Terreur sera absolument nulle, pourvu, flg. 7, <iue les surfaces de joint CD rencontrent les cordes DD suivant des angles parfaitement identiques avec ceux qui sont indiqués par répure. Il en résultera seulement qu'après J'exécution on' aura construit un berceau prismatique au lieu d'un berceau cylindrique qui était projeté. Mais il est évident qu'en taillant la surface cylindrique après la pose, ou après le tracé des joints sur les faces de tète, on rétablira la courbure demandée, quel que soit le rayon de la voûte.

Il est donc certain que, dans un grand npmbre de cas, on pourra remplacer la ligne donnée par le polygone qui lui ^t inscrit.

Cependant il peut exister des circonstances où Ton aurait besoin de connaître la longueur d'une courbe avec une grande exactitude. Il est vrai qu'en choisissant un plus grand nombre de points sur la ligne que l'on veut rectifier, on diminue la ditt'érence qui existe entré chacune des cordes et l'arc souS;lendu ; mais, d'un autre côté, on multiplie le lionabre des erreurs, et, par conséquent, on perd d'un côté ce que Ton avait gagné de l'autre.

415. Il est évident que Ton sera beaucoup plus près de la vérité, si l'on remplace chacun des côtés du polygone inscrit par un arc de cercle, dont la différence avec la partie correspondante de la courbe donnée pourra toujours être aussi petite que l'on voudra. De sorte que la question sera réduite à rectifier là courbe formée par les arcs de cercle par lesquels on "aura remplacé les côtés du polygone inscrit.

416. Pour atteindre ce but, exprimons, flg. l,rarc de cercle MKN par, a, Tanglè MON par a, la corde MN par c et le rayon OM par R. On aura {Géométrie) :

(2) c = 2MI = 2R sin }■ «, d'où

^' c 368 sin 4 «■

Ainsi, le rapport d'un arc à sa corde ne dépend que du nombre de degrés de cet arc, quel que soit le rayon du cercle auquel cet arc appartient.

417. Cela étapt admis, supposons qu'il s'agit de rectifier une courbe quelconque.

On choisira sur* cette ligne des points assez rapprochés poiir que la courbure des arcs compris entre deux points consécutifs soit sensiblement uniforme, puis on tracera les cordes qui forment les côtés du polygone inscrit.

Or, en exprimant ces cordes par c, c^ c'' et c'", les arcs de cercle sous-tendus par a, a', a", a"', et les angles formés par les normales consécutives par a, a', af\ on aura (416) :

360 sin T a

360 sin 4 «'

an''

360 sin i a'' etc

Puis, en exprimant la courbe rectifiée par L, on a

^ "^260 sin 4- a ^ 360 sin 4- «' "*" 360 sin 4- « Or si l'on fait a = a' = af\ on aura :

L = -^^K—' — ï— (^ *+ C' + c" 4- ... etc.) 360 sin T «

Le tout sera donc réduit :

r A remplacer la courbe donnée par une suite d'arcs de cercle semblables entre eux ;

2° A rectifier le polygone formé par les cordes qui sousendent ces arcs de cercle ;

FL. 44. DES COURBES. 2ii

• TTa

3* A multiplier le résultat obtenu par -—- — : — ; — ^ ^ 360 sin T a

wa ' I

418. Ainsi, par exemple, pour rectifier la partie de courbe comprise, fîg. 2, entre les normales AH et FK, dont nous supposons la direction bien exactement déterminée :

1^ On tracera par un point 0, prii^à volonté, flg. 1, les deux droites OA', OF' parallèles aux normales extrêmes HA et KF de la courbe que Ton veut rectifier;

2** On partagera l'angle A'OF' en autant de parties égales que l'on supposera d'arcs de cercle dans la ligne par laquelle on veut remplacer la courbe donnée, et l'on tracera un rayon par chacun des points ainsi obtenus sur AT;

3** On construira une normale à la courbe donnée, flg: 2, parallèlement à chacun des rayons de Varc AT.

Ces normales partageront la ligne donnée en une suite d'arcs semblables entre euxy et semblables en même temps à chacune des parties égales de l'arc de cercle A'F'.

419. On remarquera que les arcs semblables suivant lesquels on aura ainsi décomposé la courbe donnée seront proportionnels à leurs rayons, et deviendront, par conséquent, plus petits dans la partie de cette courbe où la courbure sera plus grande, ce qui augmentera beaucoup l'exactitude du résultat, quand même on négligerait la multiplication par le

coeflBcient

360 sin

420. Lorsque Ton aura déterminé les points qui partagent la courbe donnée, figr. 2, en autant d'arcs semblables qu'il y a de parties égales dans Tare de cercle AT, flg. 1, il ne restera plus qu'à exécuter les opérations suivantes :

!• Oa tracera les cordes AB, BC, CD, etc., de chacun des arcs suivant lesquels on a décomposé la courbe donnée AF ;

2* On fera la somme de toutes ces cordes, ou, ce qui est la même chose, on rectifiera le polygone inscrit ;

3» On multipliera le résultat obtenu AF"»par ^ —

360 sin

421. SiTaîîgle A'OF', flg. 1, que font entre elles les deux normales extrêmes AH el FK de la figure 2, n'est pas donné en nombre, on pourra obtenir cet angle avec un bon rapporteur, et même avec un rapporteur médiocre. Pour cela, on mesurera l'angle plusieurs fois, en partant successivement des points 0, 10, 20 de l'instrument , puis on prendra une moyenite ; ce qui n'est autre chose que le principe de la répétition appliqué à un instrument commun.

Supposons que, dans l'exemple actuel, l'angle A W soit

égal à 145 degrés; on aura a = -— = 29, et le facteur

^* dé-viendra ^^n oir. JIa. oaa = i .» » 1 •

360 sin -l- « 360 sin (14--300

Ainsi la droite AF'' mesurée avec soin, et multipliée par 1,011, sera la longueur delà courbe rectifiée.

422. Pour mesurer la droite AF'^ on emploiera un mètre bien divisé ; et si l'ota compte la longueur successivement à partir des points 0, 10, 20, 30 millimètres, etc., on pourra, en prenant la moyenne, obtenir beaucoup d exactitude (421).

423. Si Ton a bien compris tout ce qui précède, il est évident quele problème de la rectification des courbes se trouve réduit à remplacer la ligne donnée par une suite d'arcs de cercle semblables entre eux, et dont les extrémités seront déterminées par les normales parallèles aux rayons qui partagent en parties égales Vangle des normales extrêmes; d'où il résulte que la question peut être considérée comme complètement résolue pour toutes les courbes auxquelles on sait mener une normale parallèlement à une droite donnée. *

Lorsque la courbe à rectifier, tig. 2, ne sera pas définie géométriquement, on pourra se contenter de construire avec soin la développée KH, en opérant comme je l'ai dit au commencement du second livre de Géométrie descriptive, puis on construira une tangente à La développée, parallèlement à chacun des rayons de l'arc A'F', fig. 1. Ces tangentes seront normales à la courbe donnée AF, et partageront cette ligne

ïl. 44. DES COURBES. 213

en arcs que Ton pourra considérer CQmme semblables.; mais lorsqu'il s'agira d'une courbe déQnie, on pourra toujours construire les normales avec une grande exactitude.

Ainsi, par exemple, si la courbe donnée est du second degré, on pourra opérer de la manière suivante.