Quoique ces lignes doivent passer par le sommet, il

ne faut cependant pas les considérer comme terminées à ce point. Ainsi, pendant que la génératrice engendrera la surface d'un cône, le prolongement de cette droite engendrera une seconde surface de cône opposé au premier par le sommet. Cependant, l'usagan'est pas de regarder ces deux surfaces comme appartenant à deux cônes différents ; et parce qu'elles sont engendrées par la même droite, on les considère comme composant la surface d'un seul cône, dont elles forment ce que l'où appelle les deux nappes.

592. Les considérations qui précèdent s'appliquent à tous les cônes, maisil existe dans certains cas particuliers que Ton rencontre souvent dans la pratique des relations sur lesquelles j'appellerai Tattention du lecteur. Ainsi, par exemple, lorsqu'un cône aura pour directrice une courbe du second degré, le cône sera lui-même du second degré.

Si la directrice est une ellipse, le cône sera elliptique.

Si la directrice est ua cercle, et que le sommet soit sur la droite passant par le centre et perpendiculaire au plan du cerclH, le cône sera circulaire. La droite qui joint le centre du cercle avec le sommet se nomme, dans ce cas, axe du cône.

On peut dire encore que le cône circulaire est engendré par une droite qui tourne autour d'une seconde droite immobile avec laquelle elle fait toujours le même angle. Si cet angle augmente, le cône devient plus obtus, et si la génératrice faisait un angle droit avec Taxe, le cône se changerait en un plan.

593. Projection du cône. Soit, fig. 308, un cône ayant pour sommet le point ss' et pour directrice la courbe 5-6, on prendra sur cette ligne autant de points que l'on voudra, puis on fera passer une génératrice par chacun de ces points et par le sommet du cône.

694. Pour construire les traces du cône, on prolongera les génératrices jusqu'aux plans de projection. Ainsi, la courbe l'-5' sera la trace horizontale, et la courbe l''-6'' sera la trace verticale du cône ; le point 5 suivant lequel

288 SUAVACES PL. 60.

la courbe directrice perce le plan horizontal doit se trouver sur la trace horizontale du cône.

595. Pour exprimer qu'un point mm' appartient à la surface du cône, il suffira de placer ce point sur l'une des génératrices. «

En opérant de même pour tous les points d'une courbe, on exprimera que cette ligne appartient à la surface du cône.

596. On peut prendre pour directrice d'un cône une ligne • quelconque qui serait coupée par toutes les génératrices. Mais pour simplifier le travail graphique, on prend souvent pour directrice une courbe plane parallèle à Tûn des plans de projection ou située dans ce plan.

Si nous concevons plusieurs cônes ayant le même sommet, et pour directrices les lignes v-S'-w, l'-3'-5', z-y-x qui se touchent au point 3', tous ces cônes se toucheront suivant la génératrice commune ^-3'.

La droite pY 9"^ touche au point 3' les trois courbes vu, l'-5', zarsera la trace horizontale d'un plan tangent aux trois cônes, suivant la génératrice s-S!.

597. On peut supposer ici, comme pour le cylindre (450), que l'on a fait tourner le plan coupant spq autour de la droite ^-3' jusqu'à ce que deux génératrices de section soient réunies en une seule qui devient alors la génératrice de tangence.

598. Si la directrice du cône est une courbe fermée, les projections de ce cône seront contenues entre certaines limites que nous allons déterminer.

Supposons, par exemple, fig. 309, un cône qui aurait pour directrice la courbe 1 -2-6-3-4-5 située dans le plan horizontal, les deux tangentes ^-1, s-3 seront les traces de deux plans tangents verticaux entre lesquels toutes les génératrices seront nécessairement comprises, car il est évident que la directrice ne pourrait pas être rencontrée par une droite dont la projection serait au dehors de l'angle 1-^-3 ; on prendra donc les deux tang^teB^s-l , ^-3 pour limites de la projection horizontale du cône. Par la même raison, les deux

71^ 60* eoNiQQBS. 289

âFoites y-'2^ ^'-4' tangentes à la trace verticale du cône seront prises pour limites de la projection verticale.

599. Il est essentiel de construire avec une grande précision, les quatre pojhts de tangence i , 2, 3, 4.

Ces points déterminent les parties vues et cachées sur les deux projections du cône.

Ainsi, toute génératrice qui aurait son pied sur l'arc 1-2' «cra évidemment vue sur la projection horizontale, tandis que sur la projection verticale elle sera cachée. •

Toute génératrice qui aurait son pied sur l'arc 3-4 serait, au contraire, cachée sur la projection hoirizontale, tandis que sur la projection verticale elle serait vue.

Les génératrices qui auraient leurs pieds sur l'arc 2-6 seront vues sur les deux projections. Enfin, celles qui auraient leurs pieds sur Tare 1-4 seront cachées sur les deux projections.

600. Les droites &rx, h-œ sont les traces horizontales de deux plans tangents qui ?e coupent suivant la ligne s-x qui contient le sommet du cône.

Les droites z-h", 2-6^' sont les traces verticales des mêmes plans tangents ; oh remarquera que ces dernières lignes sont tangentes à la trace verticale du cône.

Le plan [z-W\ œ-h) touche le cône suivant la génératrice ^-5, ^-5', et le plan (z-6'^ x^) le touche suivant la génératrice 5-6, 5'-6'.

601. Développement de la sur[ace du cône. Dans les applications on développe ordinairement la surface du cône en opérant comme pour une pyramide oblique qui aurait un grand nombre de faces (288). Ainsi, en prenant sur la trace du cône des points assez rapprochés, on pourra, sans erreur sensible, remplacer par un triangle plan la petite portion de surface conique comprise entre deux points consécutifs de la trace et les génératrices correspondantes. Tous <XiS triangles, construits dans leur véritable grandeur et placés à côté les uns des autres, ont formé le développement du cône projeté, fig. 306.

S90 SUBFACBS PL, 60.

Pour obtenir les génératrices dans leur véritable grandeur; on les a fait tourner autour de la verticale projetante du sommet jusqu'à ce qu'elles soient parallèles au plan vertical de projection.

602. Si aucune condition ne détermine ^a position des génératrices, on pourra simplifier le travail en choisissant àù préférence celles qui ont une projection verticale commune, ou qui, deux à deux, ont leurs pieds à égale distance de la. verticale du sommet. ^

11 est facile de satisfaire en même temps à ces deux conditions ; ainsi, par exemple :

Les génératrices 1 et 15 ayant une projection verticale com^ mune, on prendra le point 16 déterminé par la tangente perpendiculaire à la ligne AZ, et l'arc de cercle 16-2 déterminera le point 2 par lequel on élèvera une perpendiculaire qui donnera le point 14. *

L'arc de cercle 15-3 déterminera le point 3 d'bù on di^duira le point 13 sur la perpendiculaire 3-13, etc.

603. Pour construire dans le développement un point mm appartenant à la surface du cône, on le rabattra en m^^ sur la génératrice correspondante, et de là en m''' dans le développement de la surface.

En recommençant cette opération pour tous les points d'une courbe quelconque qui serait située sur la surface du cône, on obtiendrait tous les points de cette courbe dans le développement. . .

604. Pour construire le dévelop"pement d'un cône circulaire, flg. 305, on décrira le secteur s-a^-a'^^ flg. 307, en prenant ^-a'' égal au côté s! -a' du cône, et faisant Tare a" a'^'^ égal à la circonférence de la base s-a. .

605. On peut obtenir beaucoup d'exactitude en opérant de la manière suivante. Soit x l'angle a" sa"' du secteur, et désignons par y l'arc a"-a"' qui sert de mesure à l'angle x, par R le côté s'-a^ du cône, et par r le rayon sa de la base : on doit avoir, en prenant l'angle droit pour unité :

a? : 4 = î/ : 2wR.

FL. 61. GORlQUiBS. Mi

Mais y = 2vr.

Substituant, on a rr 4 : = ^nr : 2nR. Ou, enfin, a? : 4 = r : R.

Donc a? = — ,

ce qui donne l'angle du secteur. Supposons, par exemple,

R==12 et r = 5.

Nous aurons : .

Ainsi, en décrivant un secteur de 150 degrés avec un rayon de 12 mètres, on aurait le développement d'un cône dont le rayon de la base serait 5, et le côté 12.

Quand le secteur sera construit, on pourra placer sur Tare a'^a'^' les pieds des génératrices qui seraient utiles pour résoudre la question proposée.

606. Plan passant par le sommet du cône. Cette relation est'la plus simple qui puisse résulter de la combinaison d*un plan avec un cône.

Un plan contiendra le sommet du cône toutes les fois qu'il contiendra une droite quelconque passant par ce point.