En généra], le nombre des lignes de section ou de

^Si SURFACES Pt. 61 «

tangence dépendra du nooibre de. points suivant lesquels la trace du cône sera touchée ou coupée par la trace du pian.

609 Plans tangents au cône. Construire un plan tangent à un cône par un point pris sur la surface de ce cône.

Soient, flg. 311, le cône AA' et le point mm' situé sur la surface, on construira d'abord la génératrice sm, s'm'; puis par le point ft, où celle généralrice rencontre le plan horizontal, on mènera une tangente à la trace horizontale du odoe. Cette ligne sera la trace horizontale du plan tangent, donl la trace verlicale se déterminera facilement, puisque ce plan doit contenir la ligne mb, m'V (66).

(Jid. Normale. Les droites mn, mV, perpendiculaires sur les traces du plan /), seront les deux projections de la normale. Tout plan qui contiendrait la droite mn, tn'n! serait un plan normal au point m^ m'.

611. Construire un plan tangent à un cône par un point pris en dehors de la surface.

Soient, flg. 312, le cône A A' et le point mm', on fera passet

f)ar ce point et le sommet du cône la droite sm^ ^m', et par te point h, où cette droite perce le plan horizontal, on construira deux tangentes à la trace horizontale du tbtte ; C68 deux lignes seront les traces horizontales de deux plans tang^ntife. Les traces veriicdles de ces plans devront passer par fa trace verticale de la droite sm^ s'm\

Si l'on n'avait pas ce point sur l'épure, on y suppléerait facilement m assujettissant les plans cherchés à contenir le Sbmtnet du cône ou tout autre point de la ligne sm, s'm\

On devrait aussi se rappeler que chaque plan tangent doit tJomenir l'une des deux droites {se, s'&) [sd, s'd') qui sont les génératrices de tangence.

612. Consttuire un plan tangent à un cône, parallèle" ment à une droite donnée.

Soient, flg. 313, le cône A, A' et la droite donnée \aa oa

n. 6®. CONIQUES. 2J3

cQûStruira par le sommet du côae la droite sb, s'a' parallèla à la ligne donnée aa\ Il ne restera plus qu'à i'aire passer par la droite sb, sfV deux plans tangents au cône ; ce qui se fera comme dans l'exemple précédent. Oa conçoit, en effet, que lea deux lignes aa\ bV, étant parallèles, tout plao contenaiji^ la seconde de ces deux droites sera parallèle à la premièrer Les droites {sd, s'^) (so, s'd) sont les génératrices de tangence.

613. Intersection de la surface du cône par une ligne droite. Soit aa\ fig. 314, la droite donnée ; on prendra sur cette ligne un point quelconque mm\ on joindra ce point avec le sommet du cône par la droite sm^ s'm\ et Ton fera passer un plan par les deux droites {am, a' m'] {sm, s^m^j.

Ce plan passant par le sommet du cône coupera la surfa,ce suivant les deux génératrices {sb, ^'ft'), €}t les intersections de ces deux lignes par la droite donnée (am, a^m') seront les points demandés,

La portion [vu, v^u') de la ligne donnée est dans l'intérieur du cône.

614. Si la trace horizontale pq du plan auxiliaire ne renr contrait pas la trace du cône, on en conclurait que la ligne donpée ne rencontre pas le cône ; et si là trace pq touchait la trace du eône, cela indiquerait que la ligne donnée touche le cône.

Le point de tangence serait déterminé par l'intersection de la ligne donnée avec la génératrice suivant laquelle le plan auxiliaire toucherait le cône.

615. Sections planes du cône. Supposons, pi. 62, qu'une surface conique soit déterminée par sa projection horizontale, flg. 7, et par sa projection sur le plan vertical k!Z\ fig. 9 ; 'on veut obtenir la section de ce cône -par le plan P, dont on connatt les traces.

On sait que la courbe de section d'un cône par un plan contient tous les points suivant lesquels ce plan coupe les génératrices du cône. H suffira donc, pour obtenir chacun ée ces points, de faire la construction qtie nous avons donnée au

n* 87, et qui a» pour but d'obtenir le point de section d'une ligne droite par un plan.

Ainsi, par exemple, le plan P^ qui contient la génératrice Sa coupe le plan donné P suivant la droite vu, dont la rencontre avec la droite Sa détermine le point m, qui appartient à la projection horizontale de la courbe demandée.

Le plan P| étant langent au cône, la droite vu doit être tangente à la courbe de section M.

616. On pourrait, en opérant comme nous venons de le faire, déterminer les points de section de toutes les génératrices du cône par le plan P. Mais ici, comme dans toutes les questions de même nature (521), on simplifiera les opérations et Ton augmentera Texactit^de, en faisant usage, fig. 5, d'un plan auxiliaire de projection A''Z", vertical et perpendiculaire au plan coupant P.

Par suite de cette disposition d'épuré, la courbe de section M" se projettera par une ligne droite zœ ; de sorte que pour obtenir la projection horizontale de cette ligne, il suffira d'abaisser des perpendiculaires à A^^Z^^ par les points suivant lesquels la droite zx est rencontrée par les projections des génératrices du cône.

La projection M' de la courbe sur le premier pian vertical de projection se d(^duira de la projection horizontale M, en élevant, par chaque point de cette* projection, une perpendiculaire à AT.

On pourra vérifier le résultat, en-exprimant :

t*" Que chacun des points obtenus est situé dans le plan P ;

2'' Que ces points sont bien exactement à la même hauteur sur les deux projections verticales AT, tig. 9, et A'^Z'', flg.5.

617. La figure 8 est la courbe de section M^, rabattue sur le plan horizontal P3 en tournant autour de Thorizontale projetante du point B ; on suppose, qu'avant d'efiectuer ce rabattement, on a fait avancer le plan P parallèlement à lui* même jusqu'à ce qu'il soit venu prendre la position P,.

Les opérations pourront facilement être liées en prenant

Jà charnière de rabattement sur la bissectrice CB de l'angle A'CA'' que font entre elles les traces AT et h!{TJ' des deux plans verticaux de projections.

618. La figure 2 est le développement du cône que Ton <X)nstruira en opérant comme nous l'avonsdit aun**601, la courbe de section est représentée sur ce développement par ia ligne KM'^H.

619. Tangentes. Nous avons déjà dit bien des fois combien la construction des tangentes augmente l'exactitude des <<^urbes en déterminant leur direction dans le voisinage des points de tangence. C'est pourquoi on devra commencer par •construire les points situés sur les génératrices limites des projections horizontale et verticale du cône.

On fera bien également de construire quelques autres tangentes au crayon, que Ton pourra effacer lorsque la courbe :sera tra(*.ée avec toute l'exactitude nécessaire. On ne doit pas ^oublier que ces tangentes, ayant pour but de faciliter le tracé <le la courbe, doivent être construites avant cette ligne ; et pour cela on devra se rappeler ce que nous avons dit au

Ainsi, pour obtenir la tangenceen un point n de la courbe •de section, flg. 7, on trafeera d'abord la génératrice Se, qui <X)ntient. le point donné ; la tangente au pied c de cette génératrice sera la trace horizontale du plai^ tangent P4 et la droite DT, intersection du plan tangent P* et du plan coupant P, sera la tangente au point n de la courbe. La projection de celte tangente, sur le plan vertical AT, sera D'T', et ]a projection W^" de la même droite sur le plan vertical k!*V' «coïncide avec la trace P du plan coupant.

Le point D, projeté en W" et rabattu en IK', détermine la tangente D"T" au point n'" de la figure 8, et pour obtenir cette même tangente D"'T"', sur le développement, flg. 2, il :sufflra de construire le triangle nVD'^, dont on connaît les trois côtés ; savoir, nV déterminé en yraie grandeur sur le «développement du cône, flg. 2, d^ïT égal à la trace cD du .plan tangent, fig. 7, et n'^'lT égal à la tangente n'"D'" ra- Jbattue, flg.S.

296 SUKPAGBS PL. 6ai

620. Dans les appli€ation3, on évite presque toujours ia. projection sur le plan verticaf AT.

En oget, si l'on connaît la trace horizontale direAriee du cône, la hauteur du sommet au dessus du plan qui contient cette courbe, la trace horizontale du plan coupant et la hauteur d'an point quelconque de ce plan ; cela suffira pour établir l'épure, que l'on disposera comme on le voit, fig. 10> où Ton n'a conservé les notations que pour le point n, par lequel on a construit une tangente à la courbe.

621. Si le plan coupant est horizontal, la courbe de sec* lion sera semblable à la trace horizontale du cône ; et, dans ce cas, il suffira de déterminer un point de la courbe demandée. En effet, lorsque l'on connaîtra, fîg. 1, le point jn homologue du point M, on tracera le côté mu parallèle à MD, ce qui déterminera le point jw sur la génératrice SU du cône : puis, il ne restera plus qu'à construire les triangles mum^ semblables chacun à chacun aux triangles MUN. Ce qui déterminera autant de points que Ton voudra de la courbe demandée.

Toutes les droites Nn doivent concourir au point S.

Cette remarque est fort utile, parce qu'il est souvent nécessaire de couper un cône par une suite de plans horizontaux, comme on le voit, flg. 3. Dans ce cas, une seule génératrice, S'M', percera les plans P^ PjPs etc., suivant des pomts tn', m/, m' qui, étant projetés sur le pian horizontal, dé-^ termineront sur chaque courbe un point m suffisant pour la construire.

62à. Si le système de plans parallèles, par lesquels on veut couper le cône, était incliné' par rapport au plan horizontal, on disposerait l'épure comme cela est indiqué sur la figure 4 ;. puis, après avoir ilét^miiié la courbe HN, M^^ en opérant comme nous l'avons dit aux numéros 616, 620, il ne resterait plus qu'à construire toutes les courbes semblables, mn^ pour chacune desquelles on obtiendrait le point m, en constro^* sant la génératrice S'G^ .