Si Tune des sections MN, fig. 12, est une ellipse

toutes les sections pardllètes seront des ellipses semblables à HN, et, dans ce cas^ on projettera les trois droites S'0^ S^M% S'N'. La première S'O' de ces trois droites déterminera les centres o de toutes les ellipses ; la droite S^M^ déterminera les extrémités m de tous les grands axes, et la droite S'N' donnera les extrémités n des petits axes.

Enfin, on déterminera aussi facilement les points u et v» suivant lesquels ces ellipses sont touchées par les deux gêné* ratrices SU et SV, qui forment les limites de la projection horizontale du cône.

624. Il arrive souvent, flg. Il, que le sommet du cône ne peut pas être projeté sur l'épure. Dans ce cas, on peut presque toujours le remplacer par une section mn, semblable et parallèle à la directrice MN. Les droites passant par les points homologues de ces deux figures seront les projections horizontales des génératrices du cône. On construira les projections de ces lignes sur un plan vertical A'Z', perpendiculaire au plan coupant P. Puis, en opérant comme nous l'avons dit aux n"" 616 et 617, il sera facile de projeter et de rabattre la courbe de section K, K', et K". ^

625. Tout ce que nous avons dit au numéro 529 pour la courbe de section d'un cylindre par un plan s'appliquerait également à la section plane de toute autre surface.

Ainsi la figure 2, planche 63, contient les op^^ioes né* cessaires pour déterminer le point le plus élevé et le point le plus bas de la courbe de section d'un cône par le plan P.

Le tout se réduit évidemment à construire les deux [ïlans tangents P^ et Pt dont les traces horizontales «ont parallèles à la trace horizontale du plan P.

626. Sur la figure 1, on a déterminé le point le plus prà^ et le plus éloigné d'un plan donné Pt flg. 4.

Pour cela on a construit, flg. 1 :

lo Le plan Pg parallèle au plan donné P? flg. 4 ;

2? La droite uu\ intersection des plans P et Pg ;

3*" Les deux plans tangents P, et P4 jûtrallèles à la droite

99B SUftFiLGBS PL. 64.

é"* Les deux tangentes Ts et T4 suivant^ lesquelles le plan P est coupé par les plans tangents Ps et P4;

5* Enfin les deux génératrices suivant lesquelles le cône est touché par les mêmes plans.

627. Sur la figure 3, on a déterminé le point le plus à droite'et celui qui est le plus à gauche, ou, ce qui revient au même, Je point le plus près et le plus éloigné d'un plan quelconque Pg perpendiculaire à la ligne AZ.

Ainsi on a construit :

!• Le plan P,^ parallèle au plan P9 donné ;

2' Les deux plans P et Pio se coupent suivant la droite uu rabattue en u^^ sur le plan vertical de projéctio» ;

3** La droite s'o^^ parallèle à it" est l'intersection des deux plans tangents demandés ;

4* La droite s'v^^ ramenée dans le plan f^ détermine le point '(;, et par suite les traces horizontales Pa^et Pg des deux plans tangents ;

5° Les deux tangentes T« et Tg doivent être perpendiculaires à la ligne AZ ;

6* Enfin ces deux tangentes détermineront les deux points cherchés 5 et 6 sur les génératrices suivant lesquelles le cône est touché par les plans Pb et Pg.

628. Cône elliptique. Le cône elliptique est celui qui a pour directrice une ellipse. Or, lorsqu'un plan est dirigé de manière à œuper toutes les génératrices de la même nappe d*un cône elliptique^ la courbe de section tst une ellipse. . .

En efiet, on sait, flg. 4, pi. 64, que dans toute ellipse AU, rapportée à deux diamètres conjugués quelconques, on a toujours :

AN X ND : AN' x N'U = MN : M'iV .

C'est-à-dire que les rectangles formés par les deux segments d'un diamètre sont entre eux comme les quarrés des ordonnées correspondantes.

La relation que nous venons d'énoncer est également vraiQ

H.. 64. ^ GOHIOUBS.

pour deax ellipses semblabiâ, et quels que soient les pieds des ordonnées ; car si les deux ellipses AU et au, tlg.A et 6, sont semblables on aura

AN : an = MN :'mn, NU : nu = MN : mn;

multipliant, on obtient

AN X NU : anxnu^^ MÎT :mn .

Nous admettrons la réciproque qui est démontrée dans tous les traités d'Algèbre appliquée ; c'est-à-dire que, si les reo tcmgles formés par les deux segments d'un diamètre sont entre eux comme les quarrés des ordonnées correspondantes , la courbe sera une ellipse.

D'après cela, supposons, flg. 6, un cône droit ou incliné, qui aurait pour directrice Tellipse RKFH.

Concevons les 4eux sections IBMC, rB'M'C, parallèles et, par conséquent, semblables à la directrice RKHF. Quelle que soit la direction du plan coupant P, les droites IH, FM' seront parallèles entre elles.

Concevons RF parallèle aux droites IH, VW, et menons le plan SKH, de manière que le diamètre KH soit le conjugué de RF. 11 en résultera que les cordes IM et FM' seront conjuguées avec les diamètres BC e^ B'C, et que la droite AH sera Tintersection du plan SKH par le plan P qui contient la courbe de section AMM'UFI. ' .

Or les triangles semblables ABN, AB'N' donneront

AN:AN' = BN:BW; (1)

les triangles semblables UCN, UC'N' donneront

NU:N'U = NC:N'G'; (2)

multipliant l'équation (1) par (2), on aura

AN X NU : AN' X N'U = BN-X NC : BW X N'C. (3)

Mais les deux courbes IBMC et FB'M'C étant semblables à la directrice RKFH, sont des ellipses; et, par le principe énoncé au ri* 628, on a

BN X NG : B'N' X N'C = MN* : SPN'* ; (4)

MO SCRPAOES , PL. 64.

multipliant (3) par (4) el réduisant, on obtient