A, A'), (B,B'), (C,C), (D,DO, (M, M

et par là on obtiendra le développement de la surface conique, sur lequel la base primitive aura pour transformée la courbe

531. Dans cette méthode, la courbe intersection du cône avec la sphère concentrique coupe évidemment toutes les génératrices à angles droits; de sorte qu^elle lient lieu ici de ce que nous avons nommé dans les cylindres la section droite Où section ortliogonale, courbe qui nous a servi très-commodément (n** 245) à développer un cylindre quelconque, parce que nous connaissions d'avance la forme irectiligne qu'elle devait prendre après le développement du cylindre. Dans les surfaces coniques, on connaît aussi d'avance la forme circulaire que doit prendre, sur le développement, la section ortliogonnle du cône, faite par une sphère con-r centrique; mais malheureusement cette section n'est plus une ligne plane, de sorte que pour mesurer ses arcs on est obligé de lui faire perdre une ses courbures (*), en effectuant le développement préalable d'un cylindre. Ainsi, il faut avouer que celte méthode exigeant un grand nombre d'opérations préliminaires qui nuilti* plient toujours les chances d'erreurs, elle ne fournira pas des résultats graphiques plus exacts que si l'on avait suivi la marche plus courte indiquée au n** 267.

PROBIJÈME VI. Intersection de deux surfaces de révolution dont les axes se ren^ contrent.

552. {Fig. 78.) Choisissons les plans de projection de manière que le premier soit parallèle aux deux axes, et le second perpendiculaire à l'une de ces droites; CQ dernier plan étant regardé comme horizontal, Taxe de la première surface aura pour projections la verticale O'Z' et le point O, tandis que l'autre axe sera pro-

(^) Nous parlons ici suivant le langage ordinaire^ mais voyez ce que nous disons de la courbure da Ugaea gaucbes au &«* f et OM.

ao.

l56 LIVRE IV. — INTERSECTIONS DE SORFACBB.

jèlé suivant Tl T, et OI parallèle à la ligne de terre. Les méridiens principaux A'B'C et a'b'c'y c*est-à-dire ceux qui se trouvent dans le plan vertical OI^ sont donnés par la question, et se projettent verticalement suivant leur véritable grandeur; ces courbes, qni forment en même temps les contours apparents des ckux surfaces (n° 131) sur le plan vertical, sont ici deux ellipses; mais la méthode que nous allons exposer est indépendante de la nature des méridiens. Sur le plan horizontal, le premier ellipsoïde a pour contour apparent Téquateur BLX/; et quant à l'autre surface, nous n'en ferons pas mention sur ce plan de projeclfon, parce que le tracé de son contour apparent exigerait ici la recherche de la courbe de coniacl de cet ellipsoide avec un cylindre circonscrit et vertical (n** 106), question que nous apprendrons à résoudre plus tard, mais qui compliquerait sans utilité le problème actuel.

, 333. Cela posé, observons que deux surfaces de révolution qui ont un axe commun en direction, ne peuvent se couper que suivant un ou plusieurs cercles perpendiculaires à cetaxe^ et décrits par les points où se rencontrent leurs méridiennes. D'ailleurs, une sphère pouvant être tjonsidérée comme de révolution autour de chacun de ses diamètres, si nous imaginons une série de sphères sécantes, ayant toutes pour centre le point {Z\ O) commun aux deux axes, chacune de ces sphères coupera les surfaces proposées suivant deux cercles respectivement perpendiculaires aux axes, et dont il sera facile d'avoir les points de section* En effet, traçons du point Z', avec un rayon arbitraire, le cercle D'F'E'G' pour repré* senter la projection d'une de ces sphères : elle i encontre les méridiennes données aux points IK et E', F' et G'; alors il résulte des observations précédentes que les droites Ji'W et F' G' sont les projections verticales des deux cercles suivant lesquels les ellipsoïdes sont coupés par la sphère projetée sur D'FŒ'G. Or, les plans de ces deux cercles ayant pour intersection une corde horizontale (M', M m) qui tombe ici en dedans du contour de la sphère, nous pouvons affirmer que leurs circonfé* rences, situées d'ailleurs sur cette splière^ se couperont elles-mêmes en deux points projetés verticalement sur M', et horizontalement eu M et m, à la rencontre de la corde Mm avec le cercle (DIV^E, D'E'). Ces points étant évidemment communs aux deux ellipsoïdes, appartiendront à leur ligne d'intersection; et des opérations semblables, répétées sur d'autres sphères décrites toujoui*s du point Z', fourniront pour les deux projections de cette courbe les lignes

K'UM'H' et KLMHm/K.

334. Il faudra spécialement appliquer la méthode précédente à la sphère qui passe par l'équateur (B'X', BLX); parce qu'on déterminera ainsi les deux points (L', L) et (L'j /) à partir desquels la courbe passe au-dessous de l'équateur, et devient invisible sur le plan horizontal. D ailleurs^ quoique cette courbe d'intersection