CHAPITRE m. — IKTfiRSECTIONS DE DEUX SURFACES COURBES. iS'J

soit bien loin d'être, dans l'espace, taijgente à l'équateur, néaàtnoins les tangentes de ces deux lignes pour le point (U, L) se trouvant Tune et l'autre dans le plan langent qui est évidemment vertical tout le long de l'équateur, il en résulte que les projections horizontales de ces deux tangentes se confondront; et qu'ainsi la courbe KLM. . : touchera le cercle BLX en L et /.

355. Cette conséquence générale ne souffrira d'exception que quand la tangente au point (U, L) de la ligne à double courbure se trouvera exactement verticale. Alors Télément qui eût été commun aux projections horizontales de cette txingente et de l'équateur, disparait ou se réduit à un point mathématique; de sorte que la courbe cesse de toucher l'équateur, et vient le couper en formant ordinairement un rebroussement. Une drconstance analogue va se présenter ici pour les points (K', K) et (H', H), qui sont donnés immédiatement par la rencontre des deux méridiens principaux. En effet, dans chacun de ces points, les plans tangents aux deux surfaces sont nécessairement perpendiculaires aux plans méridiens, et, par suite, au plan vertical; donc leur intersection qui serait la tangente de la courbe, est aussi perpendiculaire à ce plan vertical, et s'y projette suivant un point unique'; d'où il arrive, par les raisons précédente^, que la projection K'L'H' n'offre plus de contact avec les contours apparents des deux surfaces, tandis que ce contact â lieu ordinairement. D'ailleurs, il n'y a point ici de rebroussement aux points K' et H', parce que les denx branches de l'intersection, situées l'une en avant et Tantré en arrière du plan wrtical OI, ont des positions symétriques et se confondent en projection verticale, comme on le voit d'après la construction générale qui a donné les deux points (M, M') et (m. M').

356. {Fig. 78.) Il est utile d'observer que la projection verticale K'L'H' sera nécessairement une ligne du second degré , toutes les fois que les deux surfaces de révolution seront elles-mêmes de cet ordre. En effet, le plan vertical Ol étant un plan méridien pour Tune et pour l'autre de ces surfaces, il divise évidemment en deux parties égaies tontes les cordes qui lui sont perpendiculaires, telles que (Mm, M') ; donc ce plan est un plan principal qui se trouve commun aux deux surfaces, et aloi's on démontre par un calcul fort simple que Tintersection de celles-ci se projette sur ce plan principal, suivant une ligne du second degré (*"). On devra donc profiter de cette notion acquise d'avance sur la nature de la courbe K'L'H^ pour redresser les erreurs de construction qui tendraient à produire, dans cette ligne, des inflexions ou une courbure qui ne s'accorderaient pas avec la forme bien connue des sections coniques.

337. Observons encore que, quel que soit le degré des deux surfaces de révo-

(*) Ce théorème intéressant est dd à M. /. Bînet. Voyez V Analyse appliquée à la géométrie des trois dimensions, chap. IX.

l58 LlVhE IV. -^INTERSECTIONS DI SURFÂCBS.

lution, ta Courbe plane K'L'H' considérée en elle-même, et indépendamment de la coui*be gauche dont elle reçoit la projectîoYi verticale, ne se termine pas brusquement aux points ¥k' et H^; mais qu'elle doit se prolonger au delà pour rentrer sur elle-même, ou pour s'étendre indéfiniment. De sorte qu'en continuant de tracer sur le plan vertical des cercles qui aient toujours le point 2' pour centré, et qui s'étendent au delà ou en deçà des points H' et K^ on pourra, si la forme des méridiens leur permet d'être encore coupés par ces cercles, obtenir des points de la courbe K'UH', situés au dehors de la partie qui reçoit la projection de l'intersection des deux surfaces. Cette circonstance, que l'on apercevra plus clairement dans l'épure 79 relative à' une question analogue (n** 34i), tient à ce que la propriété graphique qui sert à trouver chaque point M' de la Courbe plane K1/W est plus générale que la définition de ce même point, considéré comme la projection d'un point commun aux deux surfaces. En effets sous ce dernier rapport, i) faut que M' soit non-seulement à la rencontre des deux cordes D'£' et PG', mais encore situé dans Tintérieur du cercle DT'£'G\ comme nous l'avons énoncé n^533; de sorte que, quand les deux cordes D'E^ et F'G' ne se couperont que daus leur prolongement» le point de section conviendra bien encore à la courbe plane K'L'HS mais non plus à la courbe gauche suivant laquelle se coupent les deux surfaces de révolution.

538» {Fig. 78.) De la. tangente; première méthode. Nous pouvons trouver cette droite pour le point (M» M'), en cherchant l'intersection des plans qui touchent les deut surfaces en cet endroit. Or, le plan tangent relatif à l'ellipsoïde A'B'C, s'obtiendra (n° 155) en transportant le point M' en \3f sur le méridien principal, puis en traçant la tangente D'V à ce méridien; alors^ si l'on ramène le pied (T, T") de cette tangente en T sur le méridien OM, la droite TY perpendiculaire à OM sera la trace horizontale du plan cherché.

Quant à l'ellipsoïde a'i/c' dont Taxe n'est pas vertical, je ramène d'abord le point M' en F' sur le méridien principal; puis, je construis la normale F'N\ de laquelle je conclus (n*^ 156) la normale (M'N', MN) relative au point (M, M'); et alors il me suffira de mener par ce point un plan perpendiculaire à cette dernière normale. Pour cela, j'imagine dans ce plan une droite parallèle à sa trace verticale» el dont la projection verticale sera la ligne M'P' perpendiculaire à M'N^ tandis que sa projection horizontale sera MP parallèle à la ligne de terre; ensuite, par le pied (P, P') de cette ligne auxiliaire, je mène perpendiculairement sur MN la droite PQ qui sera évidemment la trace honzontale du plan tangent au point (M| M') de Tellipsoûle a'6'c'.

Cela posé, les traces PQ etTY des deux plans tangents allant se rencontrer au point 0^ c'est là le pied de la tangente demandée^ laquelle a ainsi pour projections ÔM et e'M'-