CHAPITRE III. — INTERSECTIONS DE DEUX SURFACES COURBES. l6l

M' OÙ se rencontrent ces deux, cordes, et qui tombe en dedans de la sphère, représente la projection verticale des denx points où se coupaient les circonférences 'de ces parallèles. Ce sont donc là deux points de Tintersection des surfaces proposées; et on les retrouvera sur le plan horizontal, en y traçant le parallèle (DME, D'F) et abaissant la verticale M' m M.

543. Des constructions analogues fourniront autant de points que l'on voudra de la courbe

(K'UX'M'H', KLXMHm/K),

suivant laquelle le paraboloîde est coupé par Thyperboloïde; et le méridien V'F'S'U' de cette dernière surface, qui se conclura de tous les points tels que F, devra toucher, sur le plan vertical, la projection de la génératrice au point (S, S') dans lequel cette droite traverse le méridien principal OT. D*ailleurs, ce sera la rencontre de ce méridien V'F'S'U'avec le méridien du paraboloîde, qui fournira les points extrêmes de l'intersection (K, K') et (H, H').

344. Observons aussi qu'une même sphère pourra fournir deux points tels que L' et X' situés sur un parallèle unique, et appartenant tou^ deux à l'intersection des surfaces proposées; tandis que, d'autres fois, une sphère sécante fournira deux points M' et /x', dont un seul appartiendra véritablement à l'intersection, parce que le deuxième serait placé en dehors du contour de la sphère. Cependant ce point fi\ continuant de satisfaire à la propriété graphique qui sert à construire chaqiie point de la courbe plane K'M'H', considérée indépendamment de la courbe gauche dont elle reçoit la projection, appartiendra toujours au prolongement de cette ligne plane, comme nous l'avons expliqué au n*^ 537; et celle-ci sera évidemment une hyperbole, d'après les raisons citées au n^ 336.

345. De la tangente. Cherchons, comme au n° 539, les normales des deux sur- £icespour le point quelconque (M, M'). Dans le paraboloîde, la normale E'R' du méridien fait connaître le point R' où aboutirait, sur Taxe O'Z', la normale de la surface en (M, M'); et sans tracer cette dernière droite, il nous suffît d'avoir obtenu ce point R'.

Dans Thyperboloïde, dont le méridien n'est pas donné par la question, j'observe que le plan tangent relatif au point projeté en (6, S') et rabattu en S*, passerait par la tangente ê"T du parallèle et par la génératrice (êP, ê'P') qui perce le plan . vertical 01 en (S, S') : par conséquent, sur ce plan des deux axes, le plan tangent aurait pour trace la droite TS' ; donc, en lui menant une perpendiculaire 6'N', ce sera la projection de la normale relative au point (6, &). Mais ce point est sur le même parallèle que (M, M') ; donc aussi, pour ce dernier, la normale delà surface rencontrerait l'axe FZ' au point N'; ainsi cette normale est suffisamment déterminée.

Cela posé, le plan des deux normales eji (M, M') coupera évidemment le plan

4« édit. ?ï

l62 LIVRE IV. — INTERSECTION DE gURFACES.

vertical 01 suivant la droite R'N' ; donc, en abaissant sur cette ligne une perpendiculaire M' 6', ce sera la projection verticale de la tangente à la courbe d'intersection. Ensuitei nous pourrions chercher sur le plan horizontal de projection, la trace du plan des deux normaleSi lequel passe par trais points connus {W, M), (R', O), (N', N); mais il sera beaucoup plus court de déterminer cette trace sur ]^ plan hori^ïontal D'E', où est déjà situé le point (Mj M'), Car en prolongeant R'N' jusqu'à ce qu*elle coupe ce plan en p% et projetant ce dernier point en p> la droite /9 M sera évidemment la trace demandée; ai donc on lui mène la perpendiculaire M^y on aura la projection horizontale de la tangente à rinlersection des deux surfaces,

346. Remarqub. La Méthode des sections hormntoU$ qui suffit toujours pour trouver l'intersection de deux surfaces quelconques, quoiqu'elle soit souvent trèslaborieuse, est susceptible, dans certains cas, d'une modification qui la rend trèsavantageuse, et que nous allons expliquer sur un exemple assez simple pour que 1q lecteur puisse tracer lui-même l'épure. Désignons par S un cône qui a pour base ou trace horizontale une courbe quelconque B ; soit S' un autre cône dont la base est un cercle C. En coupant ces deux surfaces par un plan horizontal quelconque, on obtiendrait deux courbes 6 et c dont la dernière serait un cercle; mais Vautre 6 serait une courbe qu'il faudrait construire par points, ce qui serait pénible. Au lieu de cela, imaginons un cône auxiliaire Sa qui ait le même aommet que S, et pour directrice le cercle c : ces deux cônes S et S, se couperont évidemment suivant une ou plusieurs génératrices rectil ignés G, G', qui passeront nécessairement par les points m, m\... communs aux sections 6 et c. Or il est facile de trouver ces génératrices; car, en prolongeant le cône St jusqu'au plan horizontal, il y tracera un cercle G, dont le diamètre s'obtiendra très-aisément; et alors la rencontre des bases B et C, fera connaître les projections horizontales des génératrices G, G',..., lesquelles à leur tour couperont la projection du cercle e aux poials cherchéfi w, m',.,, qui devaient être communs aux courbes 6 et c; et dès lors ces points appartiendront à l'intersection des deux cônes pritnirifs S et S'. Tout ceci revient à dire que Ton projette penspeciwemenl les sections 6 et c sur le plan horizontal, au moyen de droites issues du sommet S.

Cette méthode, où l'on n'emploie «pie la ligne droite et le cerck, sera évidemment applicable à la combinaison du cône S à base qnelcenque B, avise nne sphère, un conoîde, un cylindroïde, ou toute autre surface dans laquelle les sections^ horizontales sefoitt des cercles où <^s. droites; par exemple, le lie» engeniirfe par tin cwole variable, tomjomni hariaontaH et dont un diamètre s'^ppiiië constatnMent sur deux droites fisses

Si la première surface S était un cylindre à base quelconque B, on ehoitiTalt po»r la surface auxi^liAûre S^ un autte cy^liadre pairaUète au premier, et ayank fteur